ชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีศาสตร์

1. ชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีศาสตร์ชุดวิชาคณิตศาสตร์และสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีศาสตร์ หน่วยที่ 3ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับ และอนุกรม รองศาสตราจารย์ ดร. สาคร บุญดาว

2. หน่วยที่ 3ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับ และอนุกรม • ความสัมพันธ์ • ฟังก์ชัน • ลำดับ และอนุกรม

3. ความสัมพันธ์ พิจารณาราคาหุ้นของบริษัทมหาชนแห่งหนึ่ง หุ้น 1 หน่วย ราคาหุ้นละ 5 บาท การจับคู่ระหว่างจำนวนหุ้นและราคาหุ้น แสดงในรูปคู่อันดับได้ ดังนี้ (1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25), (6, 30), (7, 35), (8, 40), (9, 45), (10, 50), …, (n, 5n)

4. การเท่ากันของคู่อันดับการเท่ากันของคู่อันดับ บทนิยาม คู่อันดับ(x, y) = (a, b) ก็ต่อเมื่อ x = a และ y = b

5. ผลคูณคาร์ทีเซียน ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {2, 4} ถ้าเขียนคู่อันดับโดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นสมาชิกของ A และสมาชิกตัวหลังเป็นสมาชิกของ B จะเกิดการจับคู่กันได้ทั้งหมด 6 คู่ ดังนี้

6. สมาชิกของ A 1 2 3 สมาชิกของ B 2 4 2 4 2 4 คู่อันดับ (1, 2) (1, 4) (2, 2) (2, 4) (3, 2) (3, 4)

7. เซตของคู่อันดับทั้งหมดนี้คือ {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} เรียกเซตนี้ว่า ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B

8. บทนิยาม ให้ A และ B เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ Bคือคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของ A และ b เป็นสมาชิกของ B ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ Bเขียนแทนด้วย AB

9. AB อ่านว่า เอคูณบี เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ ดังนี้ AB= {(a, b)  aA  bB}

10. AB = BA = AA = BB= ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {2, 4} จงเขียนเซต AB, BA, AA และ BB แบบแจกแจงสมาชิก {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} {(2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4)}

11. ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป Bก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ ABถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป A กล่าวว่า r เป็นความสัมพันธ์ใน A ให้ A = {1, 2, 3} และ B = {2, 4} จงเขียนความสัมพันธ์r = {(x, y) AB y + x < 5} และแสดงกราฟของความสัมพันธ์

12. 9 7 5 4 3 2 1 2 -1 -5 -2 -1 7 5 6 8 -6 Y 0 -2 8 -5 6 X -4 3 4 -3 -3 -4 จงเขียนความสัมพันธ์r = {(x, y) AB y + x < 5} และแสดงกราฟของความสัมพันธ์ เนื่องจาก AB ={(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} จะได้ r = ={(1, 2), (2, 2)}

13. ให้ r เป็นความสัมพันธ์ในเซตของจำนวเต็ม r = {(x, y)II y = x2} จงแสดงกราฟของ r r เป็นเซตอนันต์ที่เขียนแบบแจงสมาชิกไม่ได้จึงหาคู่อันดับบางคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r และเขียนกราฟของคู่อันดับเหล่านั้นบนกราฟของ II เพื่อทราบลักษณะกราฟของ r

14. กราฟของ r เป็นจุดเรียงกันในแนวโค้งพาราโบลา มีแกน y เป็นแกนสมมาตร จุดต่ำสุดของกราฟอยู่ที่ (0, 0) เนื่องจาก x2  0 ทุกค่าของจำนวนเต็ม x กราฟจึงอยู่เหนือแกนนอนดังรูป

15. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -2 -4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Y การมีลูกศรไว้ที่กราฟ เพื่อแสดงว่ายังมีจุดอื่นๆ อีกมากมายที่เป็นสมาชิกของ r การมีลูกศรไว้ที่กราฟ เพื่อแสดงว่ายังมีจุดอื่นๆ อีกมากมายที่เป็นสมาชิกของ r X

16. กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, 4} และ r = {(x, y)ABy = x} โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ ดังนี้ r = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)}

17. พิจารณาเซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับใน rจะได้เซต {2, 4, 6} เรียกเซตนี้ว่า โดเมนของ r พิจารณาเซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับใน rจะได้เซต {1, 2, 3} เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ของ r

18. ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B โดเมนของ r เขียนแทนด้วย Dr Dr คือเซตของสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับใน r Dr = {x| มี y ซึ่ง (x, y)r}

19. เรนจ์ของ r เขียนแทนด้วย Rr Rr คือเซตของสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับใน r Rr = {y| มี x ซึ่ง (x, y)r}

20. ให้ r เป็นความสัมพันธ์ เป็นตัวประกอบของ จาก A ไป Bเมื่อ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {10, 15, 20, 25} จงหาโดเมน และเรนจ์ของ r

21. x เป็นตัวประกอบของ y หมายความว่า x หาร y ลงตัวเมื่อ xA และ yB จะได้เซต r แบบแจกแจงสมาชิกดังนี้ r = {(1, 10), (1, 15), (1, 20), (1, 25), (2, 10), (2, 20), (3, 15), (4, 20)}

22. r = {(1, 10), (1, 15), (1, 20), (1, 25), (2, 10), (2, 20), (3, 15), (4, 20)} โดเมนของ r คือ Dr = {1, 2, 3, 4} เรนจ์ของ r คือ Rr = {10, 15, 20, 25}

23. x – 2y = 2 Y (2, 0) (0, -1) X 0 กำหนดให้ความสัมพันธ์ r ในเซตของจำนวนจริง ดังนี้ r = {(x, y)RRx - 2y = 2} จงเขียนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจ์ของ r กราฟของ r เป็นเส้นตรง การวาดกราฟ เริ่มจากหาคู่อันดับสองคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r ซึ่งเป็นจุดบนแกน x และแกน y เช่น (2, 0) และ (0, -1)

24. กำหนดให้ความสัมพันธ์ r ในเซตของจำนวนจริง ดังนี้r = {(x, y)RRx - 2y = 2} จงเขียนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจ์ของ r โดเมนของ r= Dr = {xx เป็นจำนวนจริง} เรนจ์ของ r= Rr = {yy เป็นจำนวนจริง}

25. กำหนดให้ความสัมพันธ์ r ในเซตของจำนวนจริง ดังนี้r = {(x, y)RR y = 4 - x2} จงเขียนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจ์ของ r

27. (0, 4) (-1, 3) (1, 3) (2, 0) (-2, 0) (-3, -5) (3, -5) กำหนดให้ความสัมพันธ์ r ในเซตของจำนวนจริง ดังนี้ r = {(x, y)RR y = 4 - x2} จงเขียนกราฟของ r และหาโดเมนและเรนจ์ของ r Y โดเมนของ r คือ Dr = {xx เป็นจำนวนจริง} X เรนจ์ของ r คือ Rr = {yy  4} y = 4 - x2

28. พิจารณา r = {(x, y)RR y = 4 - x2} ในกรณีที่ไม่มีกราฟ เราสามารถหาโดเมน และเรนจ์ของ r ได้ โดยการวิเคราะห์สมการ y = 4 – x2 ดังนี้ สำหรับจำนวนจริง x ใดๆ ย่อมมี 4 – x2R ดังนั้น Dr = {xx R}

29. จากสมการ y = 4 – x2 จัดรูปสมการใหม่ได้ x2 = 4 – yเนื่องจาก x2 0 ดังนั้น 4 – y  0นั่นคือ 4  y จะได้ว่า Rr = {yR  y  4}

30. จงหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r r = {(x, y)RR y = } พิจารณาสมการ y = จำนวนจริง x ที่ทำให้ เป็นจำนวนจริงคือ 9 - x2 0นั่นคือ x2  9 แสดงว่า -3  x  3 จะได้ว่า โดเมนของ r คือDr = {xR -3  x  3}

31. จากสมการ y = จะเห็นว่า 9 - x2 0จะได้ว่า 0  y  3 จะได้ว่า เรนจ์ของ r คือRr = {yR 0  y  3}

32. Y (0, 3) (-3, 0) (3, 0) X 0 พิจารณาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r เมื่อr = {(x, y)RR y = } โดยดูจากราฟของ r Dr = {xR -3  x  3} Rr = {yR 0  y  3}

33. ความสัมพันธ์ผกผัน r = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} ถ้าสลับตำแหน่งของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังของแต่ละคู่ใน r จะได้ความสัมพันธ์ใหม่ เรียกว่าความสัมพันธ์ผกผันของ r เขียนแทนด้วย r-1จะได้ r-1 = {(0, 0), (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}

34. ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ความสัมพันธ์ผกผันของ rเขียนแทนด้วยr-1คือความสัมพันธ์จาก B ไป A ซึ่งเป็นเซตที่ประกอบด้วยคู่อันดับ (y, x) สำหรับทุกๆ (x, y)r นั่นคือ r-1 = {(y, x)(x, y)r}

35. r = {(x, y)RR y = x2} การหาความสัมพันธ์ผกผันของ r ให้กระทำโดยการสลับที่ระหว่างตัวแปร x และ y ในสมการ y = x2จะได้ความสัมพันธ์ผกผันของ r คือ r-1 = {(y, x)RR y = x2} r-1 = {(x, y)RR x = y2}

36. y = x Y y = x2 x = y2 X 0 พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ r และความสัมพันธ์ผกผัน r-1r = {(x, y)RR y = x2}r-1 = {(x, y)RR x = y2}

37. กำหนดให้ r = {(x, y)RR y = 9x - 3}จงหาความสัมพันธ์ผกผัน r และแสดงกราฟของ r และ r-1 สมการที่กำหนด r-1เกิดจากการสลับที่ระหว่าง x และ y ในสมการ y = 9x – 3 สมการที่กำหนดคือ x = 9y – 3ดังนั้น r-1 = {(x, y)RR x = 9y - 3}

38. Y r-1 r x = 9y - 3 y = 9x - 3 x 0

39. ฟังก์ชัน บทนิยาม ฟังก์ชันคือ ความสัมพันธ์ที่สมบัติว่า ถ้าคู่อันดับสองคู่ใดๆ มีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับนั้นต้องเท่ากันด้วย

40. ถ้า (x, y)f และ (x, z)f แล้ว y = zแสดงว่า f เป็นฟังก์ชัน f ไม่เป็นฟังก์ชันถ้า (x, y)f และ(x, z)f แล้ว y z

41. จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันก. r1 = {(0, 1), (1, 0), (-1, 1), (2, 1)}ข. r2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (1, 4)}ค. r3 = {(x, y)RR y = 2x + 1} ง. r4 = {(x, y)RR x2 + y2 = 1}

42. r1 -1012 01 พิจารณา ก. r1 = {(0, 1), (1, 0), (-1, 1), (2, 1)} จะเห็นว่าไม่มีคู่อันดับใดที่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน แสดงว่า r1เป็นฟังก์ชัน

43. r2 1234 123 พิจารณา ข. r2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (1, 4)} จะเห็นว่ามีคู่อันดับ (1, 2), (1, 4) อยู่ใน r2 ซึ่งสมาชิกตัวหน้าคือ 1 เท่ากัน แต่สมาชิกตัวหลังคือ 2 และ 4 ไม่เท่ากัน ดังนั้น r2ไม่เป็นฟังก์ชัน

44. Y y = 2x + 1 X 0 พิจารณา ค. r3 = {(x, y)RR y = 2x + 1} เมื่อแทนค่า x หนึ่งค่าในสมการ y = 2x + 1 จะได้ค่า y เพียงค่าเดียวเท่านั้น ดังนั้น r3 เป็นฟังก์ชัน

45. กำหนดให้ x = 0 แล้วแทนค่า x = 0 ในสมการ x2 + y2 = 1 จะได้ว่า (0)2 + y2 = 1 หรือ y2 = 1 หรือ y =  หรือ y =  1นั่นคือ y = -1 หรือ y = 1 จะเห็นว่า (0, -1), (0, 1) อยู่ใน r4แต่ -1  1 ดังนั้น r4ไม่เป็นฟังก์ชัน Y 1 (0, 1) X (-1, 0) (1, 0) 0 -1 1 -1 (0, -1) พิจารณาง. r4 = {(x, y)RR x2 + y2 = 1}

46. ค่าของฟังก์ชัน จากความหมายของฟังก์ชันx หนึ่งค่า จะกำหนดค่า y หนึ่งค่าเท่านั้นดังนั้น ถ้า (x, y)f จะเขียนแทน y ด้วย f(x) หรือ y = f(x) เรียก f(x) ว่า ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x

47. โดยทั่วไปเรานิยมเขียนค่าของฟังก์ชัน y = f(x) แทนฟังก์ชัน f เช่น f = {(x, y)RRf(x) = 2x + 1หรือ f = {(x, y)RRy = 2x + 1}หรือ f(x) = 2x +1หรือ y = 2x +1

48. ถ้าค่าของf(x) ที่ a จะเขียนแทนด้วย f(a) เช่น f(0)หมายถึง ค่าของ f ที่ x เท่ากับ 0 f(-3) หมายถึง ค่าของ f ที่ x เท่ากับ -3

49. ทุกสมาชิก xDfDg พีชคณิตของฟังก์ชัน บทนิยาม ให้ f และg เป็นฟังก์ชัน (f + g)(x) = f(x) + g(x)(f – g)(x) = f(x) – g(x)(fg)(x) = f(x)g(x) ทุกสมาชิกxDfDg- {xg(x)0}

50. ให้ f = {(1, 2), (-1, 3), (2, 4), (4, 3)} g = {(1, 3), (-1, 0), (3, 1), (4, 2)}จงหา f + g, f – g, fg และ หา DfDg เมื่อ Df = {-1, 1, 2, 4} และ Dg = {-1, 1, 3, 4}ดังนั้น DfDg= {-1, 1, 4}