EKONOMETRIA CZ. II

1. EKONOMETRIACZ. II W. Borucki

2. Met. Simplex – rozwiązanie początkowe • Doprowadzić zadanie do postaci kanonicznej (poprzez wprowadzenie zmiennych swobodnych - nieujemnych) tak by prawa strona równań była nieujemna (Uwaga: zmiennym swobodnym przypisujemy zerowe wartości współczynników funkcji celu) • Poszukać macierzy jednostkowej. Tej macierzy odpowiadać będzie rozwiązanie bazowe, którego odpowiednie zmienne bazowe przyjmą wartości równe wartościom odpowiednich składowych wektora wyrazów wolnych. • Jeśli nie można wskazać macierzy jednostkowej, to należy wprowadzić zmienne sztuczne do odpowiednich równań tak by można było wskazać macierz jednostkową Uwaga: a) rozwiązanie zawierające zmienne sztuczne nie jest rozwiązaniem dopuszczalnym; dopiero nieujemne bazowe rozwiązanie nie zawierające zmiennych sztucznych jest rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym b) trzeba wyeliminować zmienne sztuczne z rozwiązania i w tym celu współczynniki funkcji celu im odpowiadające przyjmują wartości bardzo duże dla minimalizowanych funkcji celu i bardzo małe dla maksymalizowanych funkcji celu. 4. Dopuszczalne (nieujemne) bazowe uznajemy za rozwiązanie początkowe i dla tego rozwiązania sprawdzamy kryteria optymalności rozwiązania

3. Metoda simplex – sprawdzenie optymalności rozwiązania • Zmiennym bazowym (dla bazy B) z otrzymanego, poprzedniego rozwiązania przyporządkowujemy odpowiednie współczynniki występujące w funkcji celu (xi ↔ ci; pamiętamy, że zmienne nie bazowe mają wartość 0) • Obliczamy wartość funkcji celu dla otrzymanego rozwiązania (suma iloczynów cixi ) • Dla każdej zmiennej wyznaczamy wartość zj (suma iloczynów cidij, gdzie dij - współczynniki kombinacji równoważnej zawarte w macierzy B-1A) • Obliczamy różnice Kj = cj – zj. Kj wskazują o ile wzrośnie wartość funkcji celu gdy do rozwiązania wprowadzona zostanie jedna jednostka zmiennej xj, wartości Kj dla aktualnych zmiennych bazowych zawsze wynoszą zero • Rozwiązanie jest optymalne gdy wszystkie wartości Kj są niedodatnie (ujemne i zera) w przypadku zadania, w którym maksymalizujemy funkcję celu, a nieujemne w przypadku zadania, w którym funkcja celu jest minimalizowana • Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, to otrzymane rozwiązanie nie jest optymalne i trzeba przejść do kroku poszukiwania rozwiązania lepszego od poprzedniego. • Jeżeli rozwiązanie jest optymalne, to obliczenia można zakończyć. • Warto jednakże na koniec przeprowadzić analizę wrażliwości rozwiązania.

4. Metoda simplex – poprawa rozwiązania • Zgodnie z interpretacją wartości K do nowego rozwiązania bazowego wprowadzamy zmienną o największej efektywności poprawy wartości funkcji celu (dla zadań z max. – zmienną xj , dla której Kj = max) • Następnie wskazujemy tę zmienną xi (ze starej bazy), dla której iloraz (xi /dij) jest najmniejszy. Ta zmienna zostanie z bazy usunięta, a na jej miejsce wprowadzona będzie zmienna xj, dla której Kj było maksymalne. • Ta operacja zapewni nam, że następne rozwiązanie bazowe będzie nieujemne (trzeba zastosować operacje elementarne doprowadzające do uzyskanie wektora jednostkowego w j-tej kolumnie z jedynką w i-tym wierszu - odpowiadającym zmiennej xi). • Po dokonaniu przekształceń należy przejść do procedury sprawdzenia optymalności rozwiązania.

5. Metoda simplex - zadanie 1 3x1 + 4x2 + 8x3→max x1 + x2 + 5x3 ≤ 1 3x1 + x2 + x3 ≤ 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0

6. Metoda simplex – zadanie 2 3x1 + x2 + x3 → min x1 + 5x2 + 2x3 = 9 2x2 + x3 = 4 x1 + x2 = 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0

7. Problem diety 1 • Dany niech będzie zbiór produktów żywnościowych P1, P2, …Pn ,możliwych do wykorzystania w planowanej diecie. • Każdy z produktów charakteryzuje się zawartością aij jednostek j-tego składnika odżywczego (spośród m składników) w i-tym produkcie. • Dla każdego składnika odżywczego znane są dolne (dj) i górne kresy (gj), poniżej lub powyżej których ich spożycie jest niewskazane ze względów zdrowotnych. • Znane są też jednostkowe ceny nabycia poszczególnych produktów żywnościowych – ci . • Należy zaproponować taki sposób wyżywienia indywiduum (określić ilości produktów – xi // zmienne decyzyjne), ażeby spełniając warunki zdrowego żywienia koszt jego wyżywienia był minimalny.

8. Problem diety 2

9. Problem wyboru planu produkcji • W danym zakładzie produkcyjnym produkuje się wyroby w1, w2, …, wn. • Każdy z wyrobów, do jego wyprodukowania, wymaga zastosowania określonej ilości zasobów z1, z2, …, zm (np. energii, pracy, surowców, …), których wielkości są limitowane odpowiednio l1, l2, …, lm. • Ograniczenia panujące na rynku są takie, że z jednej strony (dla utrzymania stałych klientów) należy wyprodukować co najmniej di jednostek produktu i, a z drugiej strony, ograniczony rynek nie jest w stanie wchłonąć więcej niż gi jednostek produktu i. • Ceny sprzedaży hurtowej na poszczególne produkty są stałe i wynoszą ci jednostek. • Należy sporządzić taki plan produkcji wyrobów (określić ile jednostek poszczególnych produktów należy wyprodukować – xi // zmienne decyzyjne), ażeby osiągnąć maksymalny przychód.

10. Problem wyboru planu prod. 2

11. Problem rozkroju (jednowymiarowego) • Dane są podzbiory elementów o długości wj (dla j=1,…n) i każdy z nich liczebności odpowiednio gj. • Elementy tych podzbiorów należy pociąć na wyroby A o długości l1 i B o długości l2 • Jeden komplet stanowi r wyrobów A i p wyrobów B. • W wyniku cięcia elementów powstaje odpad (część elementu do pocięcia, z której nie można uzyskać wyroby o długości l1 lub l2 , lub nie ma już takiej potrzeby). • Elementy przeznaczone do pocięcia należy pociąć w taki sposób, ażeby zminimalizować odpad lub zmaksymalizować liczbę kompletów • Jaka zmienna decyzyjna? • Jakie zależności – warunki ograniczające?

12. Problem rozkroju (jednowymiarowego) 2 • Zmienna decyzyjna – ile razy zastosować określony sposób cięcia (xj) • Jak utworzyć tabelę wydajności technologii -sposobów cięcia (dla elementów o długości wi)

13. Problem rozkroju (jednowymiarowego) 3

14. Dualność w programowaniu liniowym • Definicja zadań dualnych • Dla zadań w postaci standardowej • Dla zadań w postaci kanonicznej • Jakie korzyści mamy z zadań dualnych • Twierdzenie o równowadze • Jak interpretujemy zmienne dualne • Ceny równowagi / jakie ceny równowagi?

15. Prymalne i dualne zadania programowania liniowego Dualność cTx → max Ax ≤ b x≥ 0 cTx → min Ax ≥ b x≥ 0 bTy → min AT y ≥ c y ≥ 0 bTy → max AT y ≤ c y ≥ 0

16. Dualność 2 • Twierdzenie o równowadze – wartość funkcji celu dla rozwiązania optymalnego zadania prymalnego równa jest wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego zadania dualnego. • Warunkom ograniczającym zadania prymalnego spełnionym z równością dla rozwiązania optymalnego, odpowiadają zmienne dualne, których wartości są różne od zera (bazowe) dla rozwiązania optymalnego zadania dualnego. • Interpretacja zmiennych dualnych dla rozwiązania optymalnego zadania dualnego: ceny zasobów wykorzystanych w pełni (zgodnie z limitem) w warunkach równowagi

17. Dualność – przykład – – rozwiązać zadanie 3x1 + 4x2 + 8x3→max x1 + x2 + 5x3 ≤ 1 3x1 + x2 + x3 ≤ 1 x1 , x2 , x3 ≥ 0

18. Analiza wrażliwości • Powody: • Uproszczenia modelowania (ograniczenie listy zmiennych decyzyjnych lub warunków ograniczających), • Zmienność otoczenia (np. zmienność wartości parametrów funkcji celu, lub wartości limitów zasobowych), • Zmienność wewnętrzna, np. zastosowanie innowacji (np. konieczność wprowadzenia nowych zasobów – warunków ograniczających), • Niedoskonały pomiar wartości parametru zadania – możliwość zmiany wartości współczynników technologicznych, • Podstawowe pytania • Czy znalezione rozwiązanie pozostanie optymalne pomimo zmiany wartości parametrów, lub • dla jakiego przedziału zmienności parametrów rozwiązanie pozostaje optymalne? • Jak zmieni się rozwiązanie optymalne gdy parametry zadania ulegną zmianie? (Czy zmieni się lista zmiennych decyzyjnych występujących w decyzji optymalnej z wartościami niezerowymi – czy zmieni się baza dla decyzji optymalnej?),

19. Analiza wrażliwości (kilka definicji pomocniczych) • Krawędzie sąsiednie zbioru rozwiązań dopuszczalnych dla rozwiązania optymalnego, bazowego – krawędzie mające wspólny punkt (rozwiązanie bazowe) • Gradienty krawędzi – wektory prostopadłe do płaszczyzn zawierających odpowiednie krawędzie. • Warunek wiążący – warunek posiadający ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych co najmniej jeden punkt wspólny • Warunek istotnie wiążący – warunek wyznaczający rozwiązanie optymalne

20. R2. - Analiza wrażliwości 2

21. Analiza wrażliwości 3

22. R2.- Analiza wrażliwości 4 • Zmiany wartości współczynników funkcji celu w granicach wskazanych przez „gradienty graniczne” (odpowiadające krawędziom zbioru rozwiązań dopuszczalnych sąsiednim w stosunku do analizowanego rozwiązania optymalnego nie pociągają za sobą zmiany rozwiązania optymalnego zadania. • Jeżeli zmiany wartości ograniczeń (dostępności zasobów) dotyczą warunków wiążących to modyfikują zbiór rozwiązań dopuszczalnych • Jeżeli zmiany wartości ograniczeń dotyczą warunków istotnie wiążących, to zawsze skutkują zmianą rozwiązania optymalnego. • Zmiany wartości ograniczeń dla warunków niewiążących mogą wpłynąć na rozwiązanie, jeżeli prowadzą do ograniczenia zbioru rozwiązań dopuszczalnych (stają się wiążące lub istotnie wiążące).

23. R3. Zadanie transportowe Danych jest n dostawców i m odbiorców pewnego jednorodnego towaru. Każdy z dostawców posiada ai jednostek (i=1,…,n) tego towaru, a odbiorcy zgłaszają zapotrzebowanie na bj jednostek (j=1, …m) tego towaru. Znane są też jednostkowe koszty transportu cij od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy. Towar należy przewieźć od dostawców do odbiorców w taki sposób, ażeby zaspokoić poszczególnych odbiorców towarem pochodzącym od dowolnego dostawcy i jednocześnie zminimalizować łączne koszty transportu. Jest oczywiste, że dowolny dostawca nie może wysłać więcej towaru aniżeli sam posiada. Tak sformułowane zadanie ma rozwiązanie gdy Zadanie, dla którego warunek spełniony jest z równością nazywamy zamkniętym zadaniem transportowym

24. R4. Zadanie transportowe 2 • Model matematyczny

25. R3. Zadanie transportowe – algorytm ogólny • K1. Znaleźć rozwiązanie początkowe • K2. Ocenić czy rozwiązanie jest optymalne • a. Jeżeli tak, to zakończyć obliczenia w K4. • b. Jeżeli nie, to przejść do K3. • K3. Znaleźć inne rozwiązanie, nie gorsze od otrzymanego i przejść do K2. • Przyjąć rozwiązanie optymalne i wyznaczyć wartość funkcji celu

26. R3. Zadanie transportowe – rozwiązanie początkowe • Zbilansowanie macierzy przepływów • (uwaga: nie musi to być rozwiązanie bazowe!) • Metoda kąta północno zachodniego • (uwaga: może to być bardzo odległe od rozwiązania dobrego!) • Metoda minimum kosztu jednostkowego • (uwaga: to tylko optymalizacja lokalna)

27. ZZT rozw. pocz. 2 Przykład Tabela [Xij]

28. R3. Zadanie transportowe – ocena dobroci rozwiązania • Oczywiście najlepsze rozwiązanie jest wtedy, gdy wszystkie niezerowe zmienne decyzyjne związane są tylko z takimi trasami, dla których koszty jednostkowe transportu są zerowe (wtedy tez minimalna wartość funkcji celu wynosi zero) • Warto zauważyć, że jeżeli do wiersza lub kolumny macierzy kosztów jednostkowych dodamy (lub odejmiemy) stałą, to rozwiązanie optymalne ZZT nie ulegnie zmianie • Jak połączyć oba fakty ? • Należy dodać do wierszy lub kolumn takie wartości (αi, βj), ażeby otrzymać w każdym wierszu i kolumnie zera pozwalające na wpisanie takich wartości zmiennych decyzyjnych, dla których spełnione są warunki ograniczające. • A jeśli nie wszystkie zmienne dadzą się wpisać na pola o zerowych wartościach, to należy zastanowić się gdzie w tabeli można (powinno się) otrzymać zero .

29. R3. Zadanie transportowe – ocena dobroci rozwiązania 2 • Wyznaczyć koszty zastępcze: αi i βj • Rozwiązać układ równań ĉij= (αi - βj), przy czym ĉij=cij dla (i,j) € B (aktualna baza) • układ m+n-1 równań o m+n niewiadomych (jeden stopień swobody – ustalić jedną wartość np. α1 = 0). • Wyznaczyć tabele różnic • rij= cij –ĉij • Jeśli wszystkie są nieujemne, to rozwiązanie jest optymalne. • Jeżeli istnieje rij<0, to rozwiązanie nie jest optymalne i należy przejść do poprawy rozwiązania. Tabela cij

30. ZZT - Ocena dobroci rozwiązania 3 • Tabela ĉij

31. R3. Zadanie transportowe – poprawa rozwiązania Tabela rij • Znaleźć najmniejszą (ujemną ) wartość rij • Znaleźć cykl zmian wartości xij • Wyznaczyć wartość zmiennej wprowadzanej • Skorygować wartości zmiennych z cyklu zmian • Usunąć z bazy (jedną) zmienną, która przyjęła wartość zero, • Przejść do kroku „Wyznaczyć wartości kosztów zastępczych” Tabela X2ij

32. Zadania pokrewne 1 Zadanie transportowo-magazynowe W n magazynach znajdują się odpowiednio ai jednostek pewnego jednorodnego towaru, który zamawiany jest przez m odbiorców składających zamówienia w ilości bj jednostek (Σai >Σbj ). Jednostkowe koszty transportu z i-tego magazynu do j-tego odbiorcy wynoszą cij. Nadwyżki towarów ponad zapotrzebowanie odbiorców pozostają w magazynie. Ich składowanie pociąga za sobą koszty proporcjonalne do ilości magazynowanych jednostek, a jednostkowe koszty magazynowania wynoszą mi. Należy wyznaczyć taki plan przewozów i magazynowania nadwyżki towarów ażeby zminimalizować łączne koszty transportu i magazynowania.

33. Zadania pokrewne 2 Model zadania transportowo-magazynowego

34. Zadania pokrewne 2 Zadanie transportowo-produkcyjne Danych jest n zakładów produkcyjnych, których zdolności produkcyjne przewyższają zapotrzebowanie rynku i wynoszą odpowiednio ai jednostek określonego i jednorodnego produktu. Jednostkowy koszt produkcji zależy od zakładu i wynosi odpowiednio pi jednostek. Towar po wyprodukowaniu transportowany jest do m odbiorców, którzy zgłaszają zapotrzebowanie w ilości bj jednostek. Jednostkowe koszty transportu z i-tego zakładu produkcyjnego do j-tego odbiorcy wynoszą odpowiednio cij jednostek. Należy tak zaplanować wykorzystanie zdolności produkcyjnych poszczególnych zakładów i zaproponować taki plan transportu wyprodukowanych towarów, ażeby zminimalizować łączne koszty transportu i produkcji towarów.

35. Zadanie pokrewne 4 Model zadania transportowo-produkcyjnego

36. Zadanie pokrewne 5 • Zadanie wieloetapowe Jednorodny towar znajduje się u n dostawców w ilościach odpowiednio ai (i=1,2,…n) jednostek. Na towar zgłasza zapotrzebowanie m odbiorców odpowiednio w ilościach bj (j=1,2,…m) jednostek. Towar ten może trafić do odbiorców jedynie za pośrednictwem jednego z k magazynów, których zdolności magazynowania wynoszą odpowiednio dl (l=1,2,…,k) jednostek tego towaru. Znane są jednostkowe koszty transportu na etapie od dostawców do magazynów – c1il i na etapie od magazynów do odbiorców c2lj. Należy wyznaczyć taki plan przewozu na obu etapach, ażeby łączny koszt transportu towaru na obu etapach był minimalny.

37. Zadanie pokrewne 6 • Model zadania dwuetapowego

38. Zadania pokrewne 6 Sprowadzić do ZZT z macierzą kosztów

39. Zadanie transportowe 1 • Trzech dostawców, z których każdy ma po 250 jednostek pewnego towaru ma dostarczyć ten towar do pięciu odbiorców zgłaszających zapotrzebowanie w ilości odpowiednio 40, 55, 125, 140 i 180 jednostek. Nadwyżka towaru nad zapotrzebowanie powinna pozostać w magazynach, przy czym odpowiednie jednostkowe koszty magazynowania wynoszą 4, 6, i 8, a jednostkowe koszty transportu do poszczególnych odbiorców wynoszą : od dostawcy pierwszego 3, 5, 7, 4, 5, od dostawcy drugiego 6, 8, 2, 4, 1, a od dostawcy trzeciego 3, 3, 2, 2, 3 • Wskazać plan przewozów i magazynowania nadwyżki towarów nad zapotrzebowanie minimalizujący łączne koszty transportu i magazynowania.

40. Zadanie transportowe 2 Trzech dostawców posiada odpowiednio 105, 145 i 185 jednostek pewnego towaru. Na towar ten zgłaszane jest zapotrzebowanie przez czterech odbiorców w wysokości odpowiednio: 70, 80, 110 i 130 jednostek. Zanim towar trafi do odbiorców musi przejść przez jeden z dwóch magazynów, których pojemność wynosi po 300 jednostek każdy. Jednostkowe koszty transportu od dostawców do magazynów wynoszą odpowiednio: 2, 4, 6 do pierwszego magazynu i 3, 7, 5 do drugiego magazynu, zaś jednostkowe koszty transportu z magazynu pierwszego do kolejnych odbiorców wynoszą: 9, 7, 9, 5, a z magazynu drugiego odpowiednio: 5, 7, 7, 5. Nadwyżka towarów nad zapotrzebowania pozostaje w magazynach, w których jednostkowy koszt magazynowania wynosi 3 i 4. Wyznaczyć plan przewozów minimalizujący łączne koszty transportu na obu etapach oraz koszty magazynowania nadwyżki towarów nad zapotrzebowanie.