第十一章
Download
1 / 85

第十一章 动 量 矩 定 理 - PowerPoint PPT Presentation


  • 78 Views
  • Uploaded on

第十一章 动 量 矩 定 理. 动量矩定理. 1 质点与质点系的动量矩 2 动量矩定理 3 刚体定轴转动微分方程 4 刚体对轴的转动惯量 5 质点系相对于质心的动量矩定理 6 刚体平面运动微分方程. § 11-1 质点和质点系的动量矩. 1 .质点的动量矩 2 .质点系的动量矩 3. 转动惯量. §11-1 质点和质点系的动量矩. 1 .质点的动量矩. 对点 O 的动量矩. 对 z 轴的动量矩. 代数量 , 从 z 轴正向看 ,

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' 第十一章 动 量 矩 定 理' - yetta-owen


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

第十一章

动 量 矩 定 理


动量矩定理

1 质点与质点系的动量矩

2 动量矩定理

3 刚体定轴转动微分方程

4 刚体对轴的转动惯量

5 质点系相对于质心的动量矩定理

6 刚体平面运动微分方程


§11-1 质点和质点系的动量矩

1.质点的动量矩

2.质点系的动量矩

3. 转动惯量


§11-1 质点和质点系的动量矩

1.质点的动量矩

对点O的动量矩

对z 轴的动量矩

代数量,从 z 轴正向看,

逆时针为正,顺时针为

负.


与力对点及力对轴的矩类似,质点对点的动量矩矢在Z轴上的投影,等于质点对z轴的动量矩

单位:kg·m2/s

2.质点系的动量矩

对点的动量矩

对轴的动量矩


1) 刚体平移.可将全部质量集中于质心,

作为一个质点来计算.

,

(2) 刚体绕定轴转动

转动惯量


O为定点)

§11-2 动量矩定理

1.质点的动量矩定理

设O为定点,有

其中:


因此

称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对

时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.

投影式:


由于

2. 质点系的动量矩定理

称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和.


投影式:

内力不能改变质点系的动量矩.


11-1 已知:鼓轮半径  转动惯量 ,作用于鼓轮上的力偶矩为 。小车和矿石总质量为  ,轨道的倾角为 , 小车不计摩擦,求小车的加速度  。

由,  , 得

解:


11-2:已知 , , , , , ,不计摩擦.

求:(1)

(2)O处约束力

(3)绳索张力 ,


(1)

解:

由,得

(2)由质心运动定理


3)研究

(4)研究


,

则 常矢量;

若 , 则 常量。

由于 ,有

常矢量

3.动量矩守恒定律

例:面积速度定理

有心力:力作用线始终通过某固定点,

该点称力心.


1) 与 必在一固定平面内,即点M的运动

轨迹是平面曲线.

即 常量

由图,

因此, 常量

称面积速度.

面积速度定理:质点在有心力作用下其面积速度守恒.


11-4:两小球质量皆为 ,初始角速度

求:剪断绳后, 角时的 .


,

时,

由, 得

解:


主动力:

约束力:

即:

§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程

转动

微分

方程


11-5:已知: ,求 .

解:


11-6: 物理摆(复摆),已知 ,

求微小摆动的周期.


微小摆动时,

即:

通解为

称角振幅, 称初相位,由初始条件确定.

周期

解:


11-7:已知: ,动滑动摩擦系数 ,

求:制动所需时间 .



11-8:已知 求: .

因 , ,得

解:


由 ,得

§11-4 刚体对轴的转动惯量

转动惯量的定义:

刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量,它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。

单位:kg·m2

1. 简单形状物体的转动惯量计算

(1)均质细直杆对一端的转动惯量


式中

(2)均质薄圆环对中心轴的转动惯量

(3)均质圆板对中心轴的转动惯量


刚体的回转半径相当与将所有质量集中在离轴距离为 位置上

对于均质刚体, 仅与几何形状有关,与密度无关。对于几何形状相同而材料不同(密度不同)的均质刚体,其回转半径是相同的。

在机械工程设计手册中,可以查阅到简单几何形状或已

标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的   ,以供参考。

2. 回转半径

由    所定义的长度  称为刚体对z 轴的回转半径。


式中 轴为过质心且与 轴平行的轴, 为 位置上

与 轴之间的距离。

3.平行轴定理

即:刚体对于任一轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.


有 ,得 位置上

证明:

因为


位置上11-9:均质细直杆,已知 .

求:对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。

解:

对一端的 轴,有

(1)均质圆盘对盘心轴的

转动惯量

(2)均质细直杆对一端的

转动惯量

(3)均质细直杆对中心轴

的转动惯量

要求记住三个转动惯量


位置上11-10: 已知杆长为 质量为 ,圆盘半径为 ,

质量为 .

4.组合法

求: .


位置上:


位置上11-11:已知: ,

求 .

由 ,得

解:

其中


例:求对 轴的转动惯量 位置上.

其中 已知, 可测得,从而求得 .

5.实验法

解:

将曲柄悬挂在轴 O上,作微幅摆动.


6. 位置上查表法

均质物体的转动惯量

物体的形状

转动惯量

惯性半径

体积

简 图

细直杆

薄壁圆筒


圆柱 位置上

空心圆柱

薄壁空心球


实心球 位置上

圆锥体

圆环


椭圆形薄板 位置上

长方体

矩形薄板


由于 位置上

§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理

1.对质心的动量矩

其中


即:无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同即:无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.

对任一点O的动量矩:

结论:质点系对任意一点的动量矩,等于集中于系统质心的动量对该点的矩加上此系统对质心的动量矩


即:无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同

由于

2 相对质心的动量矩定理


即:无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同

质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于质心的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对质心的主矩.


即:无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同

§11-6 刚体的平面运动微分方程


应用时一般用投影式即:无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同:

以上各组均称为刚体平面运动微分方程.


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

程,找出质心运动与刚体转动之间的联系。

应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的

一致性。


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方11-12 半径为r,质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动,如图所示.设轮的惯性半径为 ,作用于轮的力偶矩为M.求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f,问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方:

其中

纯滚动的条件:


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方11-13 均质圆轮半径为r质量为m,受到轻

微扰动后,在半径为R的圆弧上往复滚动,如图所

示.设表面足够粗糙,使圆轮在滚动时无滑动.

求:质心C的运动规律.


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方:

由于


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

其解为

式中

由 时

运动方程为


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方11-14 提升装置中,轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,可视为均质圆盘;物体C 的重量为P3 ;轮A上作用常力矩M1 。求: 物体C上升的加速度。


补充运动学条件研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

化简(2)得:

解:

1 ) 轮A:

2 ) 轮B与物体C:

化简(1)得:


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方11-15匀质圆柱的质量是m,半径是r,从静止开始沿倾角是φ的固定斜面向下滚动而不滑动,斜面与圆柱的静摩擦系数是fs。试求圆柱质心C的加速度,以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方:

圆柱在图示力作用下由静止开始作平面运动。令它的铅直对称面重合于坐标平面Oxy ,轴x 沿斜面向下,则有

圆柱平面运动的三个微分方程可写成

maC = mgsin φ-F (a)

0 = FN-mgcos φ(b)

JC  = Fr (c)

由于圆柱只滚动而不滑动,故有运动学关系

aC = r  (d)


联立求解以上四个方程,并考虑到研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方JC = mr2/2,就得到

aC = 2gsin φ/ 3 , FN = mgcos φ , F = mgsin φ/ 3

当圆柱只滚不滑时,滑动摩擦力必须满足F≤ fsFN,代入求出的F,和FN ,则得

从而求得圆柱滚动而不滑动的条件

tan φ≤ 3 fs


A研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

ω

C

r

vC

例11-16质量为m半径为r的滑轮(可视作均质圆盘)上绕有软绳,将绳的一端固定于点A而令滑轮自由下落如图示。不计绳子的质量,求轮心C的加速度和绳子的拉力。


A研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

F

滑轮的运动可看作沿过点A的铅垂线向下作纯滚动,滚动角速度 ,滚动角加速度 。

ω

C

r

mg

取滑轮和软绳组成的系统为对象,画出受力图。

解:

应用质心运动定理沿铅垂轴的投影,得

(a)

在列写第二个方程时,可以任意选用以下方法中的一种:

1.列写对固定轴Az的动量矩定理。


A研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

F

ω

C

r

mg

将 , , ,代入上式,得

再代入式(a)解得

2. 列写对平移轴Cz的动量矩定理。

(b)

联立求解式(a),(b),得到


D研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

O

C

A

B

A

E

例11-17起重装置由匀质鼓轮D(半径为R,重为W1)及均质梁AB(长l=4R,重W2=W1)组成,鼓轮通过电机C(质量不计)安装在梁的中点,被提升的重物E重 。电机通电后的驱动力矩为M,求重物E上升的加速度a及支座A,B的约束力FNA及FNB。


解:研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

1. 考虑鼓轮D,重物E及与鼓轮固结的电机转子所组成的系统(图b),M为电机定子作用在转子的驱动力矩,对固定点O的应用动量矩定理得

M

D

O

O

W1

其中

E

解得

W

(b)


2. 研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方考虑整个系统(图c) ,注意驱动力矩M为系统内力。对点B应用动量矩定理得

D

C

O

W1

A

A

B

解得

FNB

W2

FNA

E

W

(C)


对整个系统应用动量定理得研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

D

C

O

解得

W1

A

A

B

FNB

W2

FNA

E

(b)

W

(c)


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方11-18 匀质细杆AB的质量是m,长度是2l,放在铅直面内,两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角0,初角速度等于零;试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度 和角加速度以及杆开始脱离墙壁时它与墙壁所成的角度1。

y

y

A

φ

C

x

B

x

O


y研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

y

A

Cv

FA

φ

C

x

B

mg

x

O

FB

解:

在A 端脱离墙壁以前,受力如图所示。杆作平面运动,取坐标系Oxy ,则杆的运动微分方程可写成

由几何关系知


y研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

y

A

Cv

FA

φ

C

x

B

mg

x

O

FB

将式(d)和(e)对时间求导,得

把(f)和(g)分别代入(a)和(b),再把FA 和FB 的值代入(c)

最后得杆AB 的角加速度


y研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

y

A

Cv

FA

φ

C

x

B

mg

x

O

FB

利用关系

把上式化成积分

求得杆AB 的角速度


当杆即将脱离墙时研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方,FA→ 0。以FA = 0代入(a),再根据(f)得

把(h) 和(i)的表达式在= 1 时的值代入上式,得关系

整理后,求得杆开始脱离墙时与墙所成的夹角


 动量矩定理总结研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

一.基本概念

1.动量矩:某瞬时物体绕点转动时机械运动强弱的一种度量。

2.质点的动量矩:

3.质点系的动量矩:

4.转动惯量:物体转动时惯性的度量。

对于均匀直杆,细圆环,薄圆盘(圆柱)对过质心垂直

于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。


5研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方.刚体动量矩计算

平动:

定轴转动:

平面运动:

二.质点的动量矩定理及守恒

1.质点的动量矩定理

2.质点的动量矩守恒

1 ) 若     ,则     常矢量。

2 )若     ,则     常量。


三.质点系的动量矩定理及守恒研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

1.质点系的动量矩定理

2.质点系的动量矩守恒

1 ) 若     ,则   常矢量。

2 )若    ,则   常量。

四.质点系相对质心的动量矩定理


五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

1.刚体定轴转动微分方程

2.刚体平面运动微分方程


六.动量矩定理的应用五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

应用动量矩定理,一般可以处理下列一些问题:(对单轴传动系统尤为方便)

1.已知质点系的转动运动,求系统所受的外力或外力矩。

2.已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数,求刚体

的角加速度或角速度的改变。

3.已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数

和等于零,应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。


七.应用举例五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

[例1]均质圆柱,半径为r,重量为Q,置圆柱于墙角。初始角速度0,墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f',滚阻不计,求使圆柱停止转动所需要的时间。

解:研究对象: 圆柱;

受力分析如图示;

运动分析:质心C 不动,刚体绕质心转动。

刚体平面运动微分方程

1

2

3

补充方程:

4


五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程4式代入1、2两式,有

解得:

1

2

3

补充方程:

4

将上述结果代入3式,有


[五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程例2]两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型,可绕通过O

点的水平轴转动,当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度

=4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。

解:一、“ T ”字型杆

二、受力分析:

三、运动分析:定轴转动

四、由定轴转动微分方程


五、由质心运动微分方程,得五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程


总结:五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

1、此题为动量矩定理与动量定理综合运用的题目

2、先用动量矩定理求出运动,即: ;

由运动学求各杆质心的加速度

3、用动量定理求约束力.


[五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程例3]均质圆柱体A和B的重量均为P,半径均为r,一绳缠在

绕固定轴O转动的圆柱A上,绳的另一端绕在圆柱B上,绳重

不计且不可伸长,不计轴O处摩擦。

求:1、圆柱B下落时质心的加速度。

2、若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M,试问在什么

条件下圆柱B的质心将上升。

分析:

1、A 圆柱作定轴转动

用刚体定轴转动微分方程求解

2、B 圆柱作平面转动

用刚体平面运动微分方程求解


五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1)

由1、3式得:

代入3、4式得:

解:一、圆柱 A:

二、圆柱B:

运动学关系:


补充运动学关系式:五.刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

当M >2Pr时, ,圆柱B的质心将上升。

三、研究对象:整个系统(对O点的动量矩)

对O点的力矩:

由动量矩定理:

代入式,得


研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方研究刚体平面运动的动力学问题,一定要建立补充方

程,找出质心运动与刚体转动之间的联系。

应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的

一致性。


绝对角速度 的转向与 、 中较大一个相同。

由点的合成运动定理:

由刚体绕平行轴转动的定理:

当刚体同时绕两平行轴同向转动时,刚体的合成运动为绕瞬时轴的转动,绝对角速度等于牵连角速度与相对角速度的和。

当反向转动时:


已知:轮的质 中较大一个相同。m ,半径R,杆长为2R , 。求:

解:

1 )杆与轮焊接在一起,定轴转动

( a )

2 )轮相对杆转动,轮作平面运动

( b )

( c )


已知:轮的质 中较大一个相同。m ,半径r,杆长为2r , 。求:

解:

1 )杆与轮焊接在一起,定轴转动

( a )

2 )轮相对杆转动,轮作平面运动

( b )

3 )轮相对杆作反向转动

轮作平动

( c )


ad