1 / 53

Analytická geometria kvadratických útvarov

Analytická geometria kvadratických útvarov. Kužeľosečky. Mgr. Jozef Vozár 2009. Text pre používateľa Prezentácia. Návod na používanie. Prezentácia je vytvorená podobným spôsobom ako www stránka, to znamená že:

yestin
Download Presentation

Analytická geometria kvadratických útvarov

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Analytická geometria kvadratických útvarov Kužeľosečky Mgr. Jozef Vozár 2009

  2. Text pre používateľa • Prezentácia

  3. Návod na používanie Prezentácia je vytvorená podobným spôsobom ako www stránka, to znamená že: • Stránky obsahujú navigačné znaky, pomocou ktorých sa možno dostať na začiatok kapitoly, začiatok prezentácie, prípadne inam podľa zámeru autora • Je štrukturovaná • Je vytvorená s pomocou viacerých nástrojov a pre svoju správnu činnosť potrebuje mať nainštalovaný Cabri-plug in Nainštalovať? ÁnoNie

  4. Návod na používanie 4. Niektoré obrázky – vytvorené v Cabri 3d - sú naprogramované ako animované, iné sa dajú animovať tak, že ľavým tlačidlom myši uchopíme vhodný bod a posúvame ho, čím sa dajú meniť parametre. 5. Obrázky vytvorené v Cabri 3d (stereoobrázky, geometrické definície kriviek) si môžeme prezerať z rôznych uhlov. Docielime to uložením kurzoru do obrázka, stlačením a držaním pravého tlačidla myši a súčasným pohybovaním. (V obrázku sa objaví zvláštny symbol – na seba kolmé kruhy). 6. Ostatné obrázky sú vytvorené v Derive 6 a nie sú animované.

  5. Navigácia po prezentácii • Čo treba vedieť pred kužeľosečkami • Kružnica • Elipsa • Parabola • Hyperbola Koniec

  6. Čo treba vedieť pred kužeľosečkami • Poznať metódu súradníc • Vedieť analyticky vyjadriť lineárne útvary v rovine • Vedieť počítať vzdialenosť bodov v rovine pomocou ich súradníc – Pytagorova veta

  7. Kružnica ako kužeľosečka Ak ako rovinu rezu použijeme rovinu kolmú na os plochy, potom výsledkom je kružnica, alebo bod, ktorý je vrcholom kužeľovej plochy

  8. Kružnica Definícia: Množinu všetkých bodov X roviny, ktoré sú od daného bodu roviny vzdialené o konštantnú vzdialenosť r (r je ľubovoľné kladné reálne číslo) nazývame kružnica.

  9. Kružnica Geometrická konštrukcia: 1. Zvolíme ľubovoľný bod S – stred kružnice a úsečku s dĺžkou r (ľubovoľné kladné reálne číslo) 2. Kružnicu nakreslíme kružidlom

  10. Kružnica v súradnicovej sústave

  11. ANALÝZA S[0;0] X[x;y] |S;X| = r

  12. Kanonická – stredová rovnica kružnice x2 + y2 = r2

  13. Posunutá kružnica

  14. Rovnica posunutej kružnice S[m;n] (x – m)2 + (y – n)2 = r2 kapitola prezentácia

  15. Parabola ako kužeľosečka – automatická animácia Ak režeme kužeľovú plochu rovinou, ktorá je rovnobežná s povrchovou priamkou výsledkom je buď samotná povrchová priamka, alebo parabola.

  16. Parabola ako kužeľosečka – manuálna animácia Pomocou myši a jej ľavého tlačidla Chyť červený bodv hornej časti a posunuj ním po červenej úsečke. Pomocou stlačeného pravého tlačidla môžeš meniť uhol pohľadu.

  17. PARABOLA Definícia: Daný je bod F a priamka d, neprechádzajúca bodom F. Množinu všetkých bodov X roviny dF, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od bodu F (ohnisko) a od priamky d (riadiaca priamka), nazývame parabola.

  18. PARABOLA Geometrická konštrukcia: • Bodom F zostrojíme kolmicu na priamku d – os paraboly • Ľubovoľným bodom osi paraboly zostrojíme rovnobežku s d • Zostrojíme kružnicu so stredom v F a s polomerom, ktorým je vzdialenosť pomocnej priamky a d. • Priesečníky kružnice a pomocnej priamky sú body paraboly. • Pomocnú priamku posúvame po osi paraboly. Tým sa mení aj kružnica a tiež aj priesečníky. • Množina všetkých priesečníkov kružníc s pomocnými priamkami je množina bodov paraboly

  19. Pohyblivým bodom je priesečník osi paraboly a kolmice na os d

  20. Konštrukcia paraboly Obrázok je automaticky animovaný.

  21. Parabola v súradnicovej sústave

  22. Analýza d – riadiaca priamka (direktrix), F – ohnisko (fokus), V – vrchol X[x;y]- ľubovoľný bod paraboly |F,d|= p – parameter paraboly |F,V| = |V,d| = p/2 – polparameter F[p/2;0], V[0;0], Rovnica riadiacej priamky d: x = - p/2 2x + p = 0

  23. Kanonická - vrcholová rovnica paraboly Podľa definície |F,X| = |X,d| y2 = 2px

  24. Posunutá parabola

  25. Rovnica posunutej paraboly Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do V[4;3] (y - 3)2 = 4·(x - 4)

  26. Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2

  27. Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2 Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do V[4;3] a parabola je otočená o Π (y - 3)2 = - 4·(x - 4)

  28. Elipsa ako kužeľosečka Ak režeme kužeľovú plochu rovinou, ktorá nie je kolmá a ani rovnobežná S osou plochy a nie je ani rovnobežná s povrchovou priamkou, potom výsledkom rezu je elipsa.

  29. ELIPSA Definícia: Elipsou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných pevných bodov tejto roviny F1, F2 (ohnísk) konštantný súčet vzdialeností, t.j. platí pre ne, že |F 1,X| + |X,F2| = 2a > |F1F2|, kde 2a je konštanta, väčšia ako je vzdialenosť ohnísk.

  30. ELIPSA Geometrická konštrukcia: • Zostrojíme úsečku F1 F2 a jej stred S • Zostrojíme úsečku AB na tej istej priamke a s tým istým stredom • Zostrojíme ľubovoľný pomocný, pohyblivý bod Q úsečky AB • Zostrojujeme kružnice so stredom F1 s polomerom |A,Q| a so stredom F2 a s polomerom |B,Q | • Priesečníky týchto kružníc sú body elipsy

  31. Konštrukcia elipsy Obrázok je automaticky animovaný.

  32. Analýza elipsy

  33. Analýza elipsy Podľa obrázka : |A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi | F,S | = e - excentricita | C,S | = b – dĺžka vedľajšej poloosi Teda platí (Pythagorova veta): a2 = b2 + e2

  34. Výpočet kanonickej rovnice elipsy |X,F| + |X,G| = 2a X[x;y], F[-e;0], G[e;0] teda

  35. Kanonická – stredová rovnica elipsy Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou x2 b2+ y2 a2 = a2 b2 x2 y2 ––– + ––– = 1 a2 b2

  36. Posunutá elipsa(hlavná os je rovnobežná s ox)

  37. Rovnica posunutej elipsy(hlavná os je rovnobežná s ox) Stred elipsy je posunutý do bodu [3;2] Rovnica elipsy je potom

  38. Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy)

  39. Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy) Rovnica elipsy sa zmení tak, že v rovnici si dľžky hlavnej poloosi a a vedľajšej poloosi b vymenia miesto x2 y2 ––– + ––– = 1 b2 a2

  40. Hyperbola ako kužeľosečka Ak ako rovinu rezu použijeme rovinu rovnobežnú s osou kužeľovej plochy, potom výsledkom rezu je hyperbola, alebo dvojica rôznobežných priamok prechádzajúcich vrcholom kužeľovej plochy. Obrázok je automaticky animovaný.

  41. HYPERBOLA Definícia: Hyperbolou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných rôznych bodov F1, F2 (ohnísk) konštantný rozdiel | |F 1,X| - |X,F2| | = 2a pričom 0<2a < |F1F2| = 2e.

  42. Hyperbola Geometrická konštrukcia: • Zostrojíme priamku F1F2 a stred S úsečky F1F2 • Zostrojíme na priamke F1F2 body A,B tak, aby úsečka AB mala dĺžku 2a a stred S • Zostrojujem kružnice so stredmi v ohniskách a s polomermi r, r+2a, kde r je ľubovoľné kladné reálne číslo • Priesečníky kružníc sú body hyperboly

  43. Konštrukcia hyperboly Sleduj priesečníky kružníc rovnakej farby (zelených, červených) Kapitola Domov

  44. Hyperbola v súradnicovej sústave C F1 A B F2 S

  45. Analýza F1[-e;0], F2[e;0], A[-a;0], B[a;0], S[0;0], C[-a;b] |A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi |A,C| = b – dĺžka vedľajšej poloosi |A,S|2 + |A,C|2 = |S,C |2 ........ a2 + b2 = e2 C je priesečník dotyčnice k hyperbole v bode A a kružnice so stredom S a polomerom e.

  46. Kanonická – stredová rovnica hyperboly | |F 1,X| - |X,F2| | = 2a

  47. Kanonická - stredová rovnica hyperboly Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou: x2 b2 - y2 a2 = a2 b2 x2 y2 ––– - ––– = 1 a2 b2

  48. Posunutá hyperbola

  49. Rovnica posunutej hyperboly Stred hyperboly je posunutý do S[4;3] (x - 4)2 (y - 3)2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 16 9

  50. Text pre používateľa Táto prezentácia je určená na použitie pri viacerých možných situáciách. • Ako vyučovacia pomôcka na výkladovej vyučovacej hodine, realizovaná pomocou PC a dataprojektora, sprevádzaná komentárom učiteľa, pričom učiteľ použije tú časť, ktorú na hodine potrebuje. • Ako vyučovacia pomôcka pri zhrňujúcej vyučovacej hodine, kde podobne je prezentovaná pre celú triedu a slúži na rýchly prehľad v tématickom celku, pričom učiteľ ju môže ešte raz komentovať, resp. odpovedať na otázky žiakov. • Ako prostriedok na individuálne štúdium pre žiakov v príprave na skúšku, resp. ako pomôcka pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky. Prezentácia bola vytvorená pomocou softvéru: • Powerpoint 2007 • Derive 6 • Cabri 2 • Cabri 3D Pre úspešné používanie je potrebné bežný PC schopný pracovať s uvedeným softvérom a dobrý dataprojektor. Prezentácie sa odporúča prezentovať v polozatemnenej miestnosti. Tento text nie potrebný pre úspešné používanie a preto ho prípadný používateľ môže vyhodiť.

More Related