Analytick geometria kvadratick ch tvarov
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 53

Analytická geometria kvadratických útvarov PowerPoint PPT Presentation


  • 81 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Analytická geometria kvadratických útvarov. Kužeľosečky. Mgr. Jozef Vozár 2009. Text pre používateľa Prezentácia. Návod na používanie. Prezentácia je vytvorená podobným spôsobom ako www stránka, to znamená že:

Download Presentation

Analytická geometria kvadratických útvarov

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Analytická geometria kvadratických útvarov

Kužeľosečky

Mgr. Jozef Vozár 2009


  • Text pre používateľa

  • Prezentácia


Návod na používanie

Prezentácia je vytvorená podobným spôsobom ako www stránka, to znamená že:

  • Stránky obsahujú navigačné znaky, pomocou ktorých sa možno dostať na začiatok kapitoly, začiatok prezentácie, prípadne inam podľa zámeru autora

  • Je štrukturovaná

  • Je vytvorená s pomocou viacerých nástrojov a pre svoju správnu činnosť potrebuje mať nainštalovaný Cabri-plug in

    Nainštalovať?

    ÁnoNie


Návod na používanie

4. Niektoré obrázky – vytvorené v Cabri 3d - sú naprogramované ako animované, iné sa dajú animovať tak, že ľavým tlačidlom myši uchopíme vhodný bod a posúvame ho, čím sa dajú meniť parametre.

5. Obrázky vytvorené v Cabri 3d (stereoobrázky, geometrické definície kriviek) si môžeme prezerať z rôznych uhlov. Docielime to uložením kurzoru do obrázka, stlačením a držaním pravého tlačidla myši a súčasným pohybovaním. (V obrázku sa objaví zvláštny symbol – na seba kolmé kruhy).

6. Ostatné obrázky sú vytvorené v Derive 6 a nie sú animované.


Navigácia po prezentácii

  • Čo treba vedieť pred kužeľosečkami

  • Kružnica

  • Elipsa

  • Parabola

  • Hyperbola

    Koniec


Čo treba vedieť pred kužeľosečkami

  • Poznať metódu súradníc

  • Vedieť analyticky vyjadriť lineárne útvary v rovine

  • Vedieť počítať vzdialenosť bodov v rovine pomocou ich súradníc – Pytagorova veta


Kružnica ako kužeľosečka

Ak ako rovinu rezu použijeme

rovinu kolmú na os plochy,

potom výsledkom je

kružnica, alebo bod, ktorý je

vrcholom kužeľovej plochy


Kružnica

Definícia:

Množinu všetkých bodov X roviny, ktoré sú od daného bodu roviny vzdialené o konštantnú vzdialenosť r (r je ľubovoľné kladné reálne číslo) nazývame kružnica.


Kružnica

Geometrická konštrukcia:

1. Zvolíme ľubovoľný bod S – stred kružnice a úsečku s dĺžkou r (ľubovoľné kladné reálne číslo)

2. Kružnicu nakreslíme kružidlom


Kružnica v súradnicovej sústave


ANALÝZA

S[0;0]

X[x;y]

|S;X| = r


Kanonická – stredová rovnica kružnice

x2 + y2 = r2


Posunutá kružnica


Rovnica posunutej kružnice

S[m;n]

(x – m)2 + (y – n)2 = r2

kapitola prezentácia


Parabola ako kužeľosečka – automatická animácia

Ak režeme kužeľovú

plochu rovinou,

ktorá je rovnobežná

s povrchovou priamkou

výsledkom je buď samotná

povrchová priamka,

alebo parabola.


Parabola ako kužeľosečka – manuálna animácia

Pomocou myši a jej ľavého tlačidla

Chyť červený bodv hornej časti a

posunuj ním po červenej úsečke.

Pomocou stlačeného pravého

tlačidla môžeš meniť uhol

pohľadu.


PARABOLA

Definícia:

Daný je bod F a priamka d, neprechádzajúca bodom F.

Množinu všetkých bodov X roviny dF, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od bodu F (ohnisko) a od priamky d (riadiaca priamka), nazývame parabola.


PARABOLA

Geometrická konštrukcia:

  • Bodom F zostrojíme kolmicu na priamku d – os paraboly

  • Ľubovoľným bodom osi paraboly zostrojíme rovnobežku s d

  • Zostrojíme kružnicu so stredom v F a s polomerom, ktorým je vzdialenosť pomocnej priamky a d.

  • Priesečníky kružnice a pomocnej priamky sú body paraboly.

  • Pomocnú priamku posúvame po osi paraboly. Tým sa mení aj kružnica a tiež aj priesečníky.

  • Množina všetkých priesečníkov kružníc s pomocnými priamkami je množina bodov paraboly


Pohyblivým

bodom je

priesečník

osi paraboly

a kolmice na os

d


Konštrukcia paraboly

Obrázok je automaticky

animovaný.


Parabola v súradnicovej sústave


Analýza

d – riadiaca priamka (direktrix),

F – ohnisko (fokus), V – vrchol

X[x;y]- ľubovoľný bod paraboly

|F,d|= p – parameter paraboly

|F,V| = |V,d| = p/2 – polparameter

F[p/2;0], V[0;0],

Rovnica riadiacej priamky d: x = - p/2

2x + p = 0


Kanonická - vrcholová rovnica paraboly

Podľa definície

|F,X| = |X,d|

y2 = 2px


Posunutá parabola


Rovnica posunutej paraboly

Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do

V[4;3]

(y - 3)2 = 4·(x - 4)


Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2


Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2

Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do

V[4;3]

a parabola je otočená o Π

(y - 3)2 = - 4·(x - 4)


Elipsa ako kužeľosečka

Ak režeme kužeľovú plochu rovinou,

ktorá nie je kolmá a ani rovnobežná

S osou plochy a nie je ani

rovnobežná s povrchovou priamkou,

potom výsledkom rezu je

elipsa.


ELIPSA

Definícia:

Elipsou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných pevných bodov tejto roviny F1, F2 (ohnísk) konštantný súčet vzdialeností, t.j. platí pre ne, že

|F 1,X| + |X,F2| = 2a > |F1F2|,

kde 2a je konštanta, väčšia ako je vzdialenosť ohnísk.


ELIPSA

Geometrická konštrukcia:

  • Zostrojíme úsečku F1 F2 a jej stred S

  • Zostrojíme úsečku AB na tej istej priamke a s tým istým stredom

  • Zostrojíme ľubovoľný pomocný, pohyblivý bod Q úsečky AB

  • Zostrojujeme kružnice so stredom F1 s polomerom |A,Q| a so stredom F2 a s polomerom |B,Q |

  • Priesečníky týchto kružníc sú body elipsy


Konštrukcia elipsy

Obrázok je automaticky

animovaný.


Analýza elipsy


Analýza elipsy

Podľa obrázka :

|A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi

| F,S | = e - excentricita

| C,S | = b – dĺžka vedľajšej poloosi

Teda platí (Pythagorova veta):

a2 = b2 + e2


Výpočet kanonickej rovnice elipsy

|X,F| + |X,G| = 2a

X[x;y], F[-e;0], G[e;0]

teda


Kanonická – stredová rovnica elipsy

Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou

x2 b2+ y2 a2 = a2 b2

x2 y2

––– + ––– = 1

a2 b2


Posunutá elipsa(hlavná os je rovnobežná s ox)


Rovnica posunutej elipsy(hlavná os je rovnobežná s ox)

Stred elipsy je posunutý do bodu

[3;2]

Rovnica elipsy je potom


Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy)


Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy)

Rovnica elipsy sa zmení tak, že v rovnici si dľžky hlavnej poloosi a a vedľajšej poloosi b

vymenia miesto

x2 y2

––– + ––– = 1

b2 a2


Hyperbola ako kužeľosečka

Ak ako rovinu rezu použijeme rovinu

rovnobežnú s osou kužeľovej

plochy, potom výsledkom rezu

je hyperbola, alebo

dvojica rôznobežných priamok

prechádzajúcich vrcholom

kužeľovej plochy.

Obrázok je automaticky

animovaný.


HYPERBOLA

Definícia:

Hyperbolou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných rôznych bodov F1, F2 (ohnísk) konštantný rozdiel

| |F 1,X| - |X,F2| | = 2a

pričom 0<2a < |F1F2| = 2e.


Hyperbola

Geometrická konštrukcia:

  • Zostrojíme priamku F1F2 a stred S úsečky F1F2

  • Zostrojíme na priamke F1F2 body A,B tak, aby úsečka AB mala dĺžku 2a a stred S

  • Zostrojujem kružnice so stredmi v ohniskách a s polomermi r, r+2a, kde r je ľubovoľné kladné reálne číslo

  • Priesečníky kružníc sú body hyperboly


Konštrukcia hyperboly

Sleduj priesečníky kružníc

rovnakej farby (zelených,

červených)

Kapitola

Domov


Hyperbola v súradnicovej sústave

C

F1

A

B

F2

S


Analýza

F1[-e;0], F2[e;0], A[-a;0], B[a;0], S[0;0], C[-a;b]

|A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi

|A,C| = b – dĺžka vedľajšej poloosi

|A,S|2 + |A,C|2 = |S,C |2 ........ a2 + b2 = e2

C je priesečník dotyčnice k hyperbole v bode A a kružnice so stredom S a polomerom e.


Kanonická – stredová rovnica hyperboly

| |F 1,X| - |X,F2| | = 2a


Kanonická - stredová rovnica hyperboly

Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami

a excentricitou:

x2 b2 - y2 a2 = a2 b2

x2 y2

––– - ––– = 1

a2 b2


Posunutá hyperbola


Rovnica posunutej hyperboly

Stred hyperboly je posunutý do

S[4;3]

(x - 4)2 (y - 3)2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1

16 9


Text pre používateľa

Táto prezentácia je určená na použitie pri viacerých možných situáciách.

  • Ako vyučovacia pomôcka na výkladovej vyučovacej hodine, realizovaná pomocou PC a dataprojektora, sprevádzaná komentárom učiteľa, pričom učiteľ použije tú časť, ktorú na hodine potrebuje.

  • Ako vyučovacia pomôcka pri zhrňujúcej vyučovacej hodine, kde podobne je prezentovaná pre celú triedu a slúži na rýchly prehľad v tématickom celku, pričom učiteľ ju môže ešte raz komentovať, resp. odpovedať na otázky žiakov.

  • Ako prostriedok na individuálne štúdium pre žiakov v príprave na skúšku, resp. ako pomôcka pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky.

    Prezentácia bola vytvorená pomocou softvéru:

  • Powerpoint 2007

  • Derive 6

  • Cabri 2

  • Cabri 3D

    Pre úspešné používanie je potrebné bežný PC schopný pracovať s uvedeným softvérom a dobrý dataprojektor. Prezentácie sa odporúča prezentovať v polozatemnenej miestnosti.

    Tento text nie potrebný pre úspešné používanie a preto ho prípadný používateľ môže vyhodiť.


Text pre používateľa

Pri príprave prezentácie som využil moje vzdelanie a dlhoročné skúsenosti učiteľa matematiky na gymnáziu a tiež to, že informatiku, moderné vyučovacie trendy a IKT sa snažím zaraďovať do vyučovania predmetu, ktorý je pre veľkú časť žiakov nepríjemný. Často iba preto, že je mnohokrát ohúrený a zavalený množstvom „suchých „ poznatkov. Snažím sa do mojej práce vnášať duch priateľstva a porozumenia a čo najviac ju spestrovať názornosťou a využitím dostupnej didaktickej techniky.

Pri realizácii prezentácie som využil matematický softvér – Derive 6, pomocou ktorého som umiestňoval grafy kužeľosečiek do súradnicovej sústavy. Tento softvér využívam spolu žiakmi jednak ako prostriedok na moju prácu pri výklade, ale aj na modelovanie žiakmi a keďže sa pod mojim vedením vytvorila na škole učebňa vybavená PC pre každú dvojicu žiakov, môžu ho žiaci bežne využívať.

Ako ďalší matematický softvér som využil dvojicu programov Cabri a to vo verzii pre dvojrozmernú geometriu a tiež aj vo verzii pre 3D geometriu. V prvom z nich je možné v prezentácii využiť statické obrázky . Dôležitá časť prezentácie stojí na využití trojrozmerných obrázkov, ktoré je možné animovať a tiež je možné meniť uhol pohľadu na obrázok v trojrozmernom priestore. Tieto vlastnosti zásadným spôsobom ovplyvňujú vnímanie obrázkov žiakmi, pretože im umožňujú meniť parametre obrázku a teda meniť rôzne vzťahy – modelovať situáciu. Žiak je takto vťahovaný do tvorby úlohy, je aktívny, prebudí sa záujem aj u menej vnímavých. Druhá vlastnosť 3D obrázkov je v tom, že obrázok je možné v priestore otáčať a tak sledovať vzájomné vzťahy priestorovo, čo opäť zásadným spôsobom – prirodzeným pohľadom, mení prístup žiakov k riešeniam.

Ďalším softvérom je samozrejme ten, ktorý práve používate teda PowerPoint 2007. O jeho schopnostiach a možnostiach nie je potrebné sa podrobne rozpisovať, snáď len toľko, že je to mimoriadne vhodný didaktický prostriedok v rukách skúseného učiteľa, najmä vtedy ak si dokáže vytvoriť prezentáciu na mieru pre konkrétnu situáciu resp. triedu. Pri tom mi nedá nespomenúť situácie s pred niekoľkých rokov, keď v snahe kvalitnejšie a modernejšie učiť som zháňal transparentné fólie a vhodné fixy, aby som ručne namaľoval obrázok-statický, ktorý som potom pomocou Meotaru premietal.

Na vyučovanie s pomocou tejto prezentácie využívam dve odborné učebne podľa toho ako ju mienim používať.


Text pre používateľa

Jedna z učební je odborná učebňa matematiky a fyziky, upravená ako prednášková miestnosť so stupňovitou podlahou, ktorá je okrem iného vybavená PC pracoviskom učiteľa a trvalo umiestneným dataprojektorom a stabilnou premietacou plochou. Tieto zariadenia spolu tvoria komplet interaktívnej tabule. Premietanie prezentácie ovládam diaľkovo wi-fi ovládačom s laserovým ukazovátkom, ktorým v prípade potreby niektoré detaily snímok zvýrazním. Pri prezentácii používam svoj hovorený komentár, ktorý je síce možné zabudovať priamo do prezentácie, moja predstava je však taká, že živý ľudský hlas, ktorý naviac vie reagovať na podnety žiakov je vhodnejší. Pri tvorbe prezentácie som sa vyhýbal použiť všetky možnosti, ktoré PowerPoint ponúka – animácie, prechody, zvukové efekty a pod., pretože zo skúsenosti viem, že oni zo začiatku zaujmú, ale po krátkom čase pôsobia rušivo.

Druhá učebňa je určená pre interaktívnu prácu žiakov. Obsahuje dostatočný počet pracovných stolov vybavených tak, aby dvaja žiaci pracovali s jedným PC. Je tu tiež pracovný PC stôl učiteľa, zabudovaný dataprojektor a stabilná premietacia plocha. V tejto učebni môžu žiaci používať prezentáciu individuálne. Tu sa prezentácia používa na záver tématického celku, keď žiaci majú možnosť ešte raz samostatne prejsť cez tému, experimentovať, overovať a tým sa učiť.


Záver

Prezentáciu vytvoril Mgr. Jozef Vozár

Gymnázium, SNP 607, Dobšiná

Prezentácia bola vytvorená na spoločenskú objednávku budúcich maturantov a odskúšaná pri vyučovaní matematiky v maturitných triedach a pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky.


  • Login