1 ) Bosons  statistique de Bose-Einstein  les particules sont indiscernables

1. Ensemble de règles pour énumérer les états 1 ) Bosons  statistique de Bose-Einstein  les particules sont indiscernables  aucune contrainte sur le nombre de particules par état 2 ) Fermions  statistique de Fermi-Dirac  les particules sont indiscernables  le nombre de particules par état est 0 ou 1 3 ) Classique  statistique de Maxwell-Boltzmann  les particules sont discernables  aucune contrainte sur le nombre de particules par état

2. Exemple 2 particules : A et B 3 états : 1, 2 et 3 9 états distincts discernables (A ≠ B) Plus restrictif (le nombre d’états disponibles pour le système diminue) 6 états distincts indiscernables (A = B) 3 états distincts

3. Probabilité que 2 particules soient… Exemple 2 particules : A et B 3 états : 1, 2 et 3 3 1 même état = = 6 2 état différent FD < MB < BE 3 = = répulsion statistique attraction statistique 1 3 = 0

4. Formulation statistique du problème • N particules identiques (discernables ou non) V, T • On néglige toujours les interactions (gaz idéal) nr : nombre de particules dans l’état quantique r d’énergie εr

5. Formulation statistique du problème Ex: 3 particules, 4 états r Nombre moyen de particules dans l’état quantique s (ensemble canonique) : état quantique du gaz dans son ensemble

6. Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation  somme restreinte qui exclut l’état s

7. Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation ne s’annulent pas ! ns = 0 dépend de l’état ‘s’ exclu de la sommation ns = 1

8. Statistique de photons(cas le plus simple) émet des photons N ≠ cte Paroi chauffée absorbe des photons • Photon : boson de masse nulle (spin = 1)  • Aucune restriction sur le nombre de photons • Statistique de photons cas particulier de la statistique de Bose-Einstein Bose (1920) Einstein (1925)  masse non-nulle

9. Nombre d’occupation (nombre moyen de particules dans l’état quantique s) Cette somme n’est plus restreinte à N n1, n2, etc. prennent toutes les valeurs de nr = 0, 1, 2, … pour chaque valeur de r, peu importe le ns en dehors de la sommation  Statistique de photons

10. On peut aussi récrire : suite géométrique Distribution de Planck • Nombre moyen de • photons dans l’état • s d’énergie εs Max Planck - 1900 (empiriquement)

11. Fonction de partition (aucune restriction) 

12. Statistique de Fermi-Dirac ns = 0 ou 1 • Différent des photons car le nombre • de particules est fixé à N Énumération des états possibles (contrainte) n1 = pondération • Revenons à la définition : ns = 0 ou 1 pour les fermions Énumération des états possibles somme restreinte sur tous les autres états ns = 0, 1, 2, 3

13. Statistique de Fermi-Dirac • Différent des photons car le nombre • de particules est fixé à N (contrainte) • Revenons à la définition : N – 1 particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s N particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s N – 2 particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s (impossible pour les fermions)

14. ns = 0 ou 1 Fermions → on cherche à relier ces 2 qtés Si (Taylor) Bosons →

15. Comme représente une somme sur plusieurs états, ne dépendra pas beaucoup de quel état « s » est exclu de la sommation :   (i.e. somme non-restreinte) Paramètre de dégénérescence

16. Donc… Distribution de Fermi-Dirac • Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs 1) Si εs>>, ns → 0 2) 0 < exp < ∞   3) α est déterminé par

17. Fonction de partition • Beaucoup plus compliqué que dans le cas de la statistique de photons… • Il faut passer ici par la fonction de grande partition • (PHY 3214 et section 9.6 de Reif) : =

18. Statistique de Bose-Einstein Vu : Bosons → Avec → Statistique de photons Distribution de Planck

19. Distribution de Bose-Einstein • Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs Distribution de Fermi-Dirac Distribution de Planck (Photons: bosons avec α = 0) • Paramètre de dégénérescence α déterminé par • Fonction de partition + pour Fermi-Dirac

20. Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition Illégal en mécanique quantique Ex : N = 4 particules (A, B, C, D) 3 états n1 n2 n3 -------------- 1 2 1 A BC D A BD C A CD B B . . . . . C . . . . . D . . . . . un état R en particulier 12 états distincts  permutations

21. Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition Formule du binôme généralisé :

22. Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition  Distribution de Maxwell-Boltzmann • Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs ( distribution canonique ! )

23. Statistiques quantiques dans la limite classique Résumons … Nombre d’occupation + Fermi-Dirac – Bose-Einstein Fonction de partition

24. Signification physique du paramètre de dégénérescence α αest déterminé par la contrainte : On peut aussi obtenir sa valeur en passant pas l’énergie libre de Helmholtz : Potentiel chimique Quiz : quel est le potentiel chimique des photons?

25. Grandeur de α? 1) Densité faible 2) Température élevée Examinons 2 cas limites 1) Soit N « (faible concentration) à une température T quelconque il faut donc que nr« 1 pour tous les états r pour ne pas excéder N pour tous les états r

26.   « 2) Soit N quelconque quand T » • Les termes qui contribuent à cette somme (avecα fixe) sont ceux • pour lesquels εr« α … • …car pour εr»α, → 0 • Si  → 0 (i.e. T »), de plus en plus de termes contribuent à . Pour éviter que , α doit augmenter pour que chaque terme demeure petit : > pour tous les états r

27. En résumé… Concentration faible Température élevée pour tous les états r α» pour tous les états r  c’est la limite classique

28. Dans la limite classique : X On retrouve la distribution de Maxwell-Boltzmann BE FD Limite classique : (α>>) MB

29. Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie εs Paramètre de dégénérescence

30. Pour α >> FD → MB (gaz non-dégénéré) Pour α<< 0 ns → 1 (gaz dégénéré) Entre 0 et 1 (Pauli) Valeurs de α< 0 ou > 0

31. Pour α+βεs= 0, ns → ∞ (gaz dégénéré) Pour α >> BE → MB (gaz non-dégénéré) Valeurs de α> 0 (sinon ns< 0)

32. ns (BE) > ns (MB) (attraction statistique) Intermédiaire entre FD et BE MB commence à faire défaut ici... ns (FD) < ns (MB) (répulsion statistique) Valeurs de α< 0 ou > 0 comme pour FD

33. Limite classique

34. Z dans la limite classique ln (1 + x) ~ x – x2/2 + … « 1 (limite classique) nombre de permutations possibles (N particules identiques) Statistiques quantiques  aucun paradoxe

35. Note En mécanique quantique, on associe une longueur d’onde à tout objet : Longueur d’onde de de Broglie On peut montrer que si d >> λ  limite classique (problème 9.5) distance interparticule 1) Si α >> d d non-dégénéré λ 2) Si α << d ns→ 1 (FD) dégénéré ns→ ∞ (BE)

36. Condensation de Bose-Einstein Pour α+βεs= 0, ns → ∞ (gaz dégénéré)

37. Le condensat de Bose-Einstein 50 nK 200 nK Prix Nobel 2001 400 nK Refroidissement par évaporation