หน่วยที่
Download
1 / 33

1 - PowerPoint PPT Presentation


  • 113 Views
  • Uploaded on

หน่วยที่ 1 ฟังก์ชัน ลิมิต ความต่อเนื่อง และจำนวนเชิงซ้อน. ผู้เขียน อ. ปิยพร นุรารักษ์. ตอนที่ 1.1. ฟังก์ชัน. นิยาม. ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ. ถ้า (x, y ) และ ( x,z) เป็นสมาชิกของ f แล้ว จะได้ว่า y = z. ให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ และ (x,y) เป็นสมาชิกของ f

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' 1 ' - yeshaya


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

หน่วยที่ 1ฟังก์ชัน ลิมิต ความต่อเนื่อง และจำนวนเชิงซ้อน

ผู้เขียน อ.ปิยพร นุรารักษ์


ตอนที่ 1.1

ฟังก์ชัน


นิยาม

ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ

ถ้า (x, y ) และ (x,z) เป็นสมาชิกของ f แล้ว จะได้ว่า y = z

ให้ f เป็นฟังก์ชันใดๆ และ (x,y) เป็นสมาชิกของ f

จะเรียก y ว่าเป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x และเขียน

โดยที่ x คือ ตัวแปรอิสระ (independent variable)

y คือ ตัวแปรตาม (dependent variable)


การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันการพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่ สามารถพิจารณาได้โดย

วิธีที่ 1การพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม

วิธีที่ 2การพิจารณาจากกราฟ


วิธีที่การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน 1การพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม

  • ความสัมพันธ์ r จะเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ

  • สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อันดับใน r ไม่ซ้ำกัน

หรือ

  • ความสัมพันธ์ r จะไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ

  • สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวของคู่อันดับใน r ซ้ำกัน ขณะที่สมาชิกตัวหลังต่างกัน


วิธีที่ การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน2การพิจารณาจากกราฟ

  • ถ้ามีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y(แนวตั้ง)

  • ตัดกราฟของความสัมพันธ์ มากกว่า 1 จุด แล้ว

  • ความสัมพันธ์นี้ ไม่เป็นฟังก์ชัน

หรือ

  • ถ้าไม่มีเส้นตรงที่ขนานกับแกน y

  • ตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แล้ว

  • ความสัมพันธ์นี้ เป็นฟังก์ชัน


ตัวอย่างการพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน

กำหนดให้ความสัมพันธ์ r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)} และ r2 = {(3,4),(3,5),(7,8)}

จงพิจารณาว่า r1, r2เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดย

1)พิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม

2)พิจารณาจากกราฟ


1)การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันพิจารณาโดยอาศัยบทนิยาม

วิธีทำ

r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)}

เป็นฟังก์ชันเพราะทุกๆ คู่อันดับไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน

r2 = {(3,4),(3,6),(7,8)}

ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะตัวหน้าของคู่อันดับใน r2ซ้ำกัน ขณะที่ตัวหลังต่างกัน


2)การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันพิจารณาจากกราฟ

r1 = {(3,4),(5,6),(7,8)}

เป็นฟังก์ชันเพราะทุกๆ คู่อันดับไม่มีสมาชิกตัวหน้าซ้ำกัน


rการพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน2 = {(3,4),(3,6),(7,8)}

ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะตัวหน้าของคู่อันดับใน r2ซ้ำกัน ขณะที่ตัวหลังต่างกัน


โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

ถ้า ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชันแล้ว

โดเมนของ f คือ

เรนจ์ของ fคือ

บทนิยามf จะเป็นฟังก์ชันจากเซต X ไปเซต Y ก็ต่อเมื่อโดเมนของ f เท่ากับ X และ เรนจ์ของ f เป็นสับเซตของ Y

เราจะเขียน

แทนฟังก์ชัน f จากเซต X ไปยังเซต Y


Yโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

X

f

f(x1)

f(x2)

f(x3)

x1

x2

x3

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

บทนิยามf เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one to one function) ก็ต่อเมื่อถ้า x1, x2 X และ f(x1)= f(x2) แล้วจะได้ x1 = x2


ฟังก์ชันผกผันโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นเราสามารถหาความสัมพันธ์ผกผันของฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดให้ได้เสมอ โดยที่ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอาจมีคุณสมบัติเป็นฟังก์ชันหรือไม่เป็นฟังก์ชันก็ได้

ข้อสังเกต เราพบว่าฟังก์ชัน f จะมีฟังก์ชันผกผัน เมื่อ f เป็นฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง และจะได้ว่าฟังก์ชัน f-1 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วย


ฟังก์ชันพีชคณิต โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

เป็นฟังก์ชันที่ค่าของฟังก์ชันเขียนในรูปสัญลักษณ์ทางพีชคณิตที่ประกอบด้วยค่าคงตัว ตัวแปร และเครื่องหมาย บวก ลบ คูณ หาร กรณฑ์ หรือยกกำลัง เช่น


ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่

1.ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions)

2.ฟังก์ชันตรรกยะ (rational functions)


ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่

1.ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial functions)

โดยที่

เป็นจำนวนจริง และ

ซึ่งเรียกว่า สัมประสิทธิ์ของพหุนาม

และ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์

เราจะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี n


2.ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ฟังก์ชันตรรกยะ (rational functions)

คือ ฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปผลหารของฟังก์ชันพหุนาม

ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันตรรกยะ จะได้ว่า

โดยที่ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ Q(x) ≠ 0


ฟังก์ชันอดิศัย ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่(transcendental functions)

คือฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต เช่น

1. ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล

2. ฟังก์ชันลอการิทึม

3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน sin, cos, tan, sec, cosec หรือ cot


ตอนที่ ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่1.2

ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน


ทฤษฎีบท ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่ฟังก์ชัน f(x)มีลิมิตที่ x=a เท่ากับ L ก็ต่อเมื่อลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ a หาค่าและมีค่าเท่ากับ Lนั่นคือ

ก็ต่อเมื่อ


ตัวอย่าง ฟังก์ชันพีชคณิตที่นำมาใช้ในวิชาแคลคูลัสได้แก่จงพิจารณาลิมิตที่ x= 0, 1, 2, 3, 4


ความต่อเนื่องของฟังก์ชันความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

บทนิยาม ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องที่ x = a ก็ต่อเมื่อ

เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทุกข้อ

1.f(a)หาค่าได้เป็นจำนวนจริง

2.

3.

หาค่าได้เป็นจำนวนจริง


ตัวอย่าง ความต่อเนื่องของฟังก์ชันจงทดสอบความต่อเนื่องที่ x= 1, 2, 3

f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 1

เพราะว่า f(1) = 1 หาค่าได้ แต่

f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 2 เพราะว่า f(2) = 2 หาค่าได้

แต่

f ต่อเนื่องที่ x = 3 เพราะว่า f(3) = 2 หาค่าได้ และ


ตอนที่ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน1.3

จำนวนเชิงซ้อนเบื้องต้น


ในระบบจำนวนจริง ถ้า ความต่อเนื่องของฟังก์ชันแล้ว เสมอ

ดังนั้นสมการ เช่นหรือ จึงไม่สามารถหาคำตอบได้ในระบบจำนวนจริงจึงต้องสร้างจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริงขึ้นมา ซึ่งเราเรียกว่า จำนวนจินตภาพ (imaginary number) โดยกำหนดให้และ

และเรียกจำนวนที่อยู่ในรูป a+bi เมื่อ

ว่า จำนวนเชิงซ้อน


จำนวนเชิงซ้อน ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน(complex number) เขียนแทนด้วย z

และในบางครั้งสามารถเขียนแทนด้วยคู่ลำดับ (a,b)

โดยจะได้ว่า z = a + bi

เรียก a ว่า เป็นส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z

b ว่า เป็นส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z


การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อนการดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน

1. การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di

z1 = z2ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

2. การบวกจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di

z1 + z2 = (a+c) + (b+d)i

3. การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนจริง

ให้ z = a + bi และ k เป็นจำนวนจริงใดๆ

kz = ka + kbi


4. การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อนการคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di

z1 z2 = (a + bi)( c + di) = (ac-bd)+(ad+bc)i

5. การหารจำนวนเชิงซ้อนด้วยจำนวนเชิงซ้อน

ให้ z1 = a + bi และ z2 = c + di และ


6. การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อนค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a + bi

ให้ z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของ z คือ

7. คอนจูเกต (conjugate) ของจำนวนเชิงซ้อน z คือ

ถ้า จะได้


กำหนดให้ การดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อน

ตัวอย่าง

จงหา


ad