Datumsproblematik
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Datumsproblematik. Mathematisches Problem Standardverfahren S-Transformation Bemerkungen. Datumsproblematik. Bedingung bisher immer: Normalgleichungsmatrix ist regulär Problem: Bei Relativbeobachtungen ist das nicht immer der Fall. Problem der Relativmessungen.

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Presentation Transcript
Datumsproblematik
Datumsproblematik

  • Mathematisches Problem

  • Standardverfahren

  • S-Transformation

  • Bemerkungen

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Datumsproblematik1
Datumsproblematik

Bedingung bisher immer: Normalgleichungsmatrix ist regulär

Problem: Bei Relativbeobachtungen ist das nicht immer der Fall

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Problem der relativmessungen
Problem der Relativmessungen

  • Strecken, Richtungen, Winkel, Höhen-differenzen definieren nur die innere Geometrie

  • 3 Winkel gemessen:Maßstab, Ort und Ori-entierung unbestimmt

    Lösung bisher: Festhalten von Koordinaten

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Was ist die datumsfestlegung
Was ist die Datumsfestlegung?

Eindeutiger Bezug zwischen

  • der Geometrie des Netzverbundes (innerer Geometrie) und

  • dem Koordinatenrahmen

    ohne die innere Geometrie zu zerstören

    (Niemeier 2002, S. 230)

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Ursachen f r singularit t
Ursachen für Singularität

  • Unbestimmtheit des geodätischen Datums

  • Konfigurationsdefekt – das Beispiel ist nicht lösbar, wenn die Pfeile Streckenbeobachtungen darstellenKonfigurationsdefekte werden hier nicht behandelt

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Mathematisches problem
Mathematisches Problem

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: v=Ax-l

(n,u)-Matrix A mit n>u regulär, also rkA=u

Daher N=ATA regulär weil rkN=u

Somit eindeutige Qxx=N-1

Was passiert bei Rangdefizit?

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Beispiel
Beispiel

Gemessen 3 Höhenunterschiede

Alle Höhen Unbekannte

dh12=H2-H1dh23=H3-H2dh31=H1-H3

Summe der Zeilen gibt Nullvektor  linear abhängig

Rangdefizit d = 1

Lösung: generalisierte Inverse

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Direkte l sung singul rer gleichungssysteme
Direkte Lösung singulärer Gleichungssysteme

Über generalisierte Inverse möglich

Beispiel Bjerhammar‘sche Inverse

Ausgangspunkt Cy = x mit rechteckiger Matrix mCn mit m ≤ n und r ≤ m

Lösung gegeben durch y = CT(CCT)-1x

Lösungsvektor hat minimale Länge yTy=min

Bedingte Ausgleichung: r = m

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Bjerhammar sche normalinverse 1
Bjerhammar‘sche Normalinverse (1)

Definiert als CT(CCT)-1

Angewendet auf singuläres System Nx = n mitC = CT = N erhalten wir x = N(NN)-1n mit xTx=min

Als Funktion von l können wir schreibenx = N(NN)-1ATl = Dl

Für die Kofaktormatrix folgtQ = DDT = N(NN)-1ATA(NN)-1N, alsoQ = N(NN)-1N(NN)-1N

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Bjerhammar sche normalinverse 2
Bjerhammar‘sche Normalinverse (2)

Q heißt stochastische Ringinverse von N

Eigenschaften:

  • Quadratisch

  • Symmetrisch

  • Singulär

  • x=Qn

  • tr Q = min

  • tr Q = tr [N(NN)-1]

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Pragmatische l sung h hennetz
Pragmatische Lösung Höhennetz

Problem: Datumsdefekt 1, Netz kann beliebig entlang der z-Achse verschoben werden

Lösung: Festhalten eines Punktes

Frage: Welchen Punkt festhalten?Unterschiedliche Resultate!

Weitere Lösungen: zusätzliche Bedingung

  • Für die Punkthöhenz.B. Mittlere Höhe gleich Null

  • Für die Zuschläge zu den Näherungswertenz.B. Summe der Zuschläge Null (aus xTx = min)

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Allgemeine l sung
Allgemeine Lösung

Singuläre Matrix um den Eigenvektor zum Eigenwert l=0 ergänzen

n-facher Eigenwert – n Vektoren

Berechnung: Spektralzerlegung

Funktioniert auch, wenn Datumsdefekt nicht bekannt

Nicht anwendbar bei singulärer Kofaktor-matrix

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Geometrische interpretation
Geometrische Interpretation

  • 2D-Netz: Netz kann gedreht, skaliert und in 2 Richtungen verschoben werden – 4 Datumsparameter

  • 3D-Netz: Netz kann um 3 Achsen gedreht, skliert und in 3 Richtungen verschoben werden – 7 Datumsparameter

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Datumsdefekte freie parameter
Datumsdefekte/freie Parameter

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Datumsbestimmende anteile von beobachtungen
Datumsbestimmende Anteile von Beobachtungen

Elimination von Datumsparametern durch geeignete Beobachtungen

  • Maßstab – Strecke

  • Rotation um z – Azimut

  • Rotationen um x und y bei 3D-Netzen – Zenitdistanzen

  • Translationen – GPS

    Problem: Willkürliche Festlegung!

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Datumsfreies konzept
Datumsfreies Konzept

Relative Beobachtungen: datumsfrei

Beobachtungen mit absolutem Bezug: datumsbestimmende Informationen

Problem: Wie weit kann der datums-bestimmende Anteil verwendet werden?

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Datumsbestimmende anteile
Datumsbestimmende Anteile

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Zusatzparameter
Zusatzparameter

Bisherige Behandlung: Verwendung des datumsbestimmenden Anteiles für die Datumsfestlegung

Frage: Wie kann der datumsbestimmende Anteil eliminiert werden?

Lösung: Einführen von Zusatzparametern

Dadurch wird die ursprüngliche Bewegungsfreiheit wiederhergestellt

Auch möglich: Nur einen Teil freigeben

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Typische zusatzparameter
Typische Zusatzparameter

  • Strecken: Maßstab als (1 + m)

  • Azimut: Gemeinsame Orientierung für alle Azimute (oder getrennt nach Geräten)

  • GPS-Datensätze: 4-Parameter-Transformation für den gesamten Koordinatensatz

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Gps beobachtungen
GPS-Beobachtungen

XYZ-Koordinaten geozentrisch  müssen umgewandelt werden

  • Transformation über bekannte Parameter

  • Lokale Transformationsparameter über Passpunkte

    Nichtlineare Verbesserungsgleichungen für 2D-Fall mit Parametern Translationen in x und y, Rotation und Maßstab (Niemeier 2002)

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Standardverfahren
Standardverfahren

  • Zwangsfreie Lagerung

  • Freie Ausgleichung

  • Gezwängte Ausgleichung (auch: hierarchische Ausgleichung)

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Zwangsfreie lagerung 1
Zwangsfreie Lagerung (1)

Datumsdefekt d

d geeignete Koordinaten festgehalten

Entsprechende Spalten in A gestrichen  Zeilen/Spalten in Qxx fallen weg

Keine Varianzinformation für gestrichene Koordinaten, daher zero-variance computational base

Nicht alle Kombinationen löst Rangdefizit

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Zwangsfreie lagerung 2
Zwangsfreie Lagerung (2)

Datum festgelegt durch Datumspunkte

Varianz der berechneten Punkte hängt von der Wahl der Datumspunkte ab!

 Auswahl der Datumspunkte muss sorgfältig geschehen!

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Freie ausgleichung
Freie Ausgleichung

  • Innere Geometrie soll durch die Lagerung nicht beeinflusst werden

  • Datumspunkte sollen an der Ausgleichung teilnehmen  Varianzen für Datumspunkte

    Ansatz: Bedingungen für Unbekannten-zuschläge einführen

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Lagenetz 1
Lagenetz (1)

Datumsdefekt 4

Bedingung xTx = min

Ableiten und Null setzen:

‚Einschwimmen‘ auf Näherungskoordinaten

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Lagenetz 2
Lagenetz (2)

Bedingungen zwischen Unbekannten

dargestellt als Bedingungsmatrix

Parameter in Reihenfolge y, x

Widerspruch Anfangs Null

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Lagenetz 3
Lagenetz (3)

Erweitertes Normalgleichungssystem

Rechnung wie bei Ausgleichung vermit-telnder Beobachtungen mit Bedingungen

Auflösung liefert

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Lagenetz 4
Lagenetz (4)

Anzahl der Freiheitsgrade: n – u + d

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori:

Das Verfahren heißt auch: Ränderung mit RänderungsmatrixG

G: Eigenvektoren zum d-fachen Eigenwert l=0 von N Spektralzerlegung

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


3d netz
3D-Netz

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Gesamtspurminimierung
Gesamtspurminimierung

Erstellung einer Ränderungsmatrix G

Koordinaten in Abhängigkeit von allen teilnehmenden Unbekannten berechnet

G muss das Rangdefizit ausgleichen

Varianzinformation für alle Unbekannten

Resultierende Genauigkeit ist innere Genauigkeit

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Teilspurminimierung
Teilspurminimierung

Bedingungen wie bei Gesamtspurminimierung

Nicht alle Punkte in den Bedingungen berücksichtigt

Anwendungsfälle:

  • Verdichtung, auf übergeordneten Punkten gelagert

  • Unterschiedliche Qualität von Näherungskoordinaten

    Grundmodell: Gi = EiG mit Auswahlmatrix Ei

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Gezw ngte ausgleichung
Gezwängte Ausgleichung

Übergeordnete Punkte mit festen Koordinaten

z.B. EP-Netz in KT-Feld

Auch: Ausgleichung unter Anschlusszwang

Formal wie zwangsfreie Ausgleichung

Innere Geometrie wird verzerrt, Spannungen werden übertragen

Keine Genauigkeit für Anschlusspunkte

Genauigkeitsmaße von der Wahl der Festpunkte abhängig

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 1
S-Transformation (1)

Similarity Transformation = differentielle Helmert-Transformation für Parameter und Kovarianzmatrizen (Baarda, 1973)

Bisher: Festlegung von Datum i durch Einführung von d Gleichungen

Erweitertes Normalgleichungssystem:

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 2
S-Transformation (2)

Lösungsvektor: mit

Dabei stammt Qi aus der Gesamtinversion des erweiterten Systems

Index i weil spezielle Lösung abhängig von gewähltem Datum

Lösungsvektor und Kofaktormatrix sind datumsabhängig

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 3
S-Transformation (3)

Multiplikation der Normalgleichungsmatrix mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix

Einzelprodukte ergeben

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 4
S-Transformation (4)

Eigenvektoren von Nx=n in orthonormaler (u,d)-Eigenvektormatrix E

Es gilt AE=0, ETAT=0

Nun von links mit ET multipliziert:

Also:

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 5
S-Transformation (5)

Bedingungsmatrix Gi besteht aus d linear unabhängigen Zeilen

Zusätzlich linear unabhängig von Design-matrix A (beheben Datumsdefekt!)

Somit Gi und E im selben Vektorraum und ETGi ist regulär, also

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 6
S-Transformation (6)

Eingesetzt in ursprüngliche Gleichung gibt

Einfache Umformungen liefern

Transponierte Form dieser Matrix wird als Si-Matrix bezeichnet

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 7
S-Transformation (7)

Andere Datumsfestlegung k: Qk, Gk

Qk mit S-Matrix von links und rechts multipliziert liefert

Qk ist eine beliebige verallgemeinerte Inverse von N, daher gilt NQkN=N

Somit ist jederzeit ein Datumswechsel möglich

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 8
S-Transformation (8)

Transformation des Lösungsvektors: von links mit Qi multipliziert liefert

Dabei ist x ein beliebiger Lösungsvektor – auch der vom Datum k ist möglich, daher

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


S transformation 9
S-Transformation (9)

Transformation der Lösung (xk,Qk) im Datum k auf Datum i erfolgt über

Somit kann a priori festgelegtes Datum geändert werden ohne neu auszugleichen

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Abschlie ende bemerkungen
Abschließende Bemerkungen

  • Weiche Lagerung

  • Netze in der Landesvermessung

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Weiche lagerung 1
Weiche Lagerung (1)

Verwendung stochastischer Vor-information über Anschlusspunkte

Gruppierung in Neu- und Anschlusspunkte

Zusätzlich soll gelten

Zusammen ergibt sich

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Weiche lagerung 2
Weiche Lagerung (2)

‚Beobachtungsvektor‘ lAenthält die Koordinaten der Anschlusspunkte als Beobachtungen

Reguläres Problem, wenn Anzahl der ein-geführten Koordinaten größer als Rang-defizit und Koordinaten lösen Rangdefizit

Kovarianzinformation SAA for lA

Stochastisches Modell:

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Weiche lagerung 3
Weiche Lagerung (3)

Minimumsforderung vTPv angewendet auf gesamten Verbesserungsvektorgibt

Hybride Minimumsforderung

Änderung der Netzgeometrie!

Über unterschiedliche Varianzen der Gewichtseinheit für SAA und SllSteuerungsinstrument für Einpassung von GPS-Beobachtungen

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Netze der landesvermessung 1
Netze der Landesvermessung (1)

Früher: Triangulationen mit wenigen Strecken (Invardraht-Basen)

Weiträumiges Netz, dann verfeinert (Kataster-Triangulierung I. – V. Ordnung)

Nicht komplett streng ausgeglichen, daher Klaffungen (auch wegen Punktver-schiebungen und Genauigkeitssteigerung bei Messgeräten)

Art der Ausgleichung: Bedingt!

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


Netze der landesvermessung 2
Netze der Landesvermessung (2)

Problem: Erde ist nicht stabil

Untersuchung des BEV in Vorarlberg : 7% der untersuchten Festpunkte bewegen sich

Was bedeutet das für die abgeleiteten Daten?

Wie geht man sinnvoller Weise bei der Homogenisierung vor?

Noch keine Antworten – Themen für weitere Arbeiten

Ausgleichungsrechnung II

Gerhard Navratil


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