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# 材料力学的任务 等直杆的 强度条件 刚度条件 稳定性条件 - PowerPoint PPT Presentation

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

1.内力—— 指某个截面内分布内力

2.应力——正应力σ，切应力τ

3.应变——线应变ε，切应变γ

z

FQz

FN

x

x

FQy

y

y

Mz

T

My

20kN/m

20kN/m

B

B

C

C

A

A

2m

2m

4m

4m

F1

F2

F1

DFR

F2

ΔA

ΔFQ

ΔFN

• 计算应力时应注意

既要算正应力，也要算切应力；

• 应弄清是那一点的应力；

• 还要弄清是那一个面上的应力；

• 应力的单位是MPa.

§1.7 位移 变形 应变

x

σ

x

dx

u+du

dx

u

τ

α

τ

β

γ=α+β

x

σ

x

dx

u+du

dx

u

τ

α

τ

β

γ=α+β

§1.8 杆件变形的基本形式

1. 轴向拉伸和压缩

axial tension or compression

F

2. 剪切shear

3. 扭转torsion

4. 平面弯曲plane bending

F2

F3

F1

F

F2

2F

F3

F1

§2.1 概述

F2

2F

F3

F1

200kN

200kN

100kN

1

2

F

F

F

F

F

F

F

F2

F3

F1

m

F2

F1

F3

m

m

F2

F1

FN

§2.2 轴力 轴力图

∑Fx = 0 , FN－F1+F2 = 0

∴ FN = F1－F2

m

m

F2

F1

F3

m

m

m

F2

F1

FN

FN

F3

FN = F3

FN= F1 -F2=F3

m

F2

F1

F3

m

m

F2

F1

FN

FN

F3

m

m

F2

F3

2

3

F4

1

F1

1

3

2

2. 写方程式；

3. 画几何图线—— 轴力图

2

3

1

2

3

FN

(kN)

3kN

4kN

2kN

3kN

A

B

C

D

1

2

3

FN1 = -2 kN, FN2 = -2+3 =1 kN,

FN3 = -3 kN

2.作轴力图

B截面的轴力=?

1

10kN

10kN

2

20kN

3

A

B

C

1

D

2

3

FN

(kN)

10

10

20

FN1 = 10 kN, FN2 =－10 kN,

FN3 =－20 kN

2.作轴力图

1

10kN

10kN

2

20kN

3

1

2

3

FN

(kN)

A

D

B

C

10

1. 与杆平行对齐画

2. 标明内力的性质（ FN）

3. 正确画出内力沿轴线的变化规律

4. 标明内力的正负号

5. 注明特殊截面的内力数值（极值）

6. 标明内力单位

10

20

C

FN2

2

2

l2

x2－l1

B

12.42

x2

FN1

l1

l1

1

1

x1

x1

12

A

FN(kN)

F

F

F

l1= l2= 50m , F=12 kN ,

γ = 0.028 N/㎝3

2

AB段: FN1 = F ＋γA1x1

（0≤x1≤l1）

1

BC段： FN2=F ＋ γA1l1

＋γA2（x2－l1）

（l1≤x2≤l1＋l2）

⑵ 绘轴力图

§2.3 拉压杆的应力

F

1. 变形特点

2. 平面假设 plane cross-section assumption

3. 应变分布

• 应力分布

• 由均匀性假设，横截面上的应力也是

• 均匀分布的，即各点应力相同。

σdA

dA

5. 应力公式

F

F

F

F

F

F

F

F

A2

A3

F2

A1

F1

F3

D

A

B

C

B截面的轴力能否确定？

B截面的应力能否确定？

C截面的应力能否确定？

1

45º

A

C

2

F

y

FN1

x

A

45°

FN2

F

A2= 20000mm2, F = 100 kN

∑Fy= 0, FN1 sin45°－F = 0

= 141.4 kN

∑Fx= 0, －FN1cos45°－FN2 = 0

FN2 =－FN1cos45°

=－141.4 cos45°

=－100 kN

45º

A

C

F

y

FN1

x

A

45°

FN2

F

FN1 = 141.4 kN

FN2 =－100 kN

⑵ 应力计算

k

F

k

F

F

α

α

k

k

k

F

α

α

k

Aα =A/cosα

F

α

α

k

ⅰ α = 0 ， σαmax= σ， τα = 0

ⅱ α =45° ，σα = σ/2 ， ταmax = σ/2

ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0

F

F

σ60

τ60

• 拉压杆横截面上的内力只有轴力，

因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。

• 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的,

• 拉压杆的斜截面上一般既有正应力，

又有切应力。

正应力最大值位于横截面上，数值为 σ；

切应力最大值在与轴线成45°角的截面上，

数值为 σ/2.

2-1（b） 2-2 2-3 2-5

### 再 见

１．拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力，

正应力是均匀分布的，即

k

F

k

F

F

α

α

k

k

k

F

α

α

k

Aα =A/cosα

F

α

α

k

ⅰ α = 0 ， σαmax= σ， τα = 0

ⅱ α =45° ，σα = σ/2 ， ταmax = σ/2

ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0

F

F

σ60

τ60

• 拉压杆横截面上的内力只有轴力，

因此，横截面上只存在正应力，没有切应力。

• 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的,

• 拉压杆的斜截面上一般既有正应力，

又有切应力。

正应力最大值位于横截面上，数值为 σ；

切应力最大值在与轴线成45°角的截面上，

数值为 σ/2.

§2.4 材料在拉压时的力学性能

F

l

d

1.目的：测定材料拉压时的力学性能

2.设备：全能试验机

3.试件：

4.加载方式和记录：渐加静载荷——由零开始，

F

⊿l

l

Δ

ε

2.应力-应变图（σ-ε图）

A——初始横截面面积

l ——原长

e

p

σ

ε

①弹性阶段elastic stage

σ = Eε

E——弹性模量Young ,modulus of elasticity

σs

ε

45°

②屈服阶段yield stage

——屈服(流动） yield

yield limit

Q235钢 σs=235MPa

σb

ε

③强化阶段strengthing stage

σ-ε 关系非线性，

ultimate strength

ε

④颈缩阶段（局部变形阶段）stage of local deformation

necking

ε

3. 特征应力

ε

4.卸载定律

σ-ε将按照比例

ε

σ-ε则按卸载路径 化，

ε

5.塑性指标

⑴ 断后伸长率（延伸率）δ

percent elongation

Q235钢δ = 20～30﹪

⑵ 断面收缩率 ψ

percentage reduction of area

Q235钢 ψ = 60﹪

ε

16锰钢

ε

ε

ε

16锰钢

ε

0.2

ε

0. 2％

σs

σb

ε

σ（MPa）

100

σb

50

ε（%）

0.45

1.强度极限低;

σb=110～160MPa

2.非线性；

近似用割线代替

3.无屈服，无颈缩；

4.δ＜０．５﹪；

５．平断口。

σ(MPa)

400

200

ε

0.20

0.10

１．Ｅ， σp，

σｅ，σｓ，

２．测不出σｂ；

３．试件呈鼓状。

σ(MPa)

600

300

ε

0.05

0.10

１．σｂ高于拉伸；

（ 接近4倍）

２．δ　大于拉伸；

（接近５﹪）

３．Ｅ与拉伸不同；

４．斜断口．

σ

ε

１．强度、变形计算必须了解材料的力学性能；

２．了解材料的力学性能主要是分析σ-ε曲线；

3．工程材料按其断后伸长率大小分成两大类：

塑性材料　　δ＞５﹪

脆性材料　　δ＜５﹪

4．塑性材料和脆性材料的强度指标不同：

塑性材料取σｓ或σ０．２，　脆性材料取σｂ．

ε

ε

ε＝ εｅ＋ εｐ

5．根据卸载定律，一般地一点线应变ε由两部

εp

εe

σ（MPa）

σ

σ

σb

σs

σs

100

σb

σb

50

ε

ε（%）

ε

0.45

6．三种拉伸应力－应变曲线

§2.5 拉压杆的强度条件

1.失效

2. 材料的失效形式

3.两种强度失效形式

• (1) 屈 服

(2) 断 裂

• 含裂纹体

4. 强度指标

s 或 0.2 塑性材料

 =

b 脆性材料

⑴ 计算误差

⑵ 荷载估计误差

⑶ 材料缺陷

⑷ 制造工艺误差

⑸ 耐久性要求

6. 许用应力

7. 强度条件

σmax —最大工作应力

1. 强度校核

2. 截面选择

3. 确定许用载荷

FN1

F

30°

FN2

［］1=160 MPa;

BC杆：横截面积A2=10000mm²,

［］2=7 MPa , F=40kN.

B

1

30°

A

C

2

F

∑Fy= 0, FN1 sin30°－F = 0

∑Fx= 0, －FN1cos30°－FN2 = 0

1

30°

B

B

C

2

FN1

F

F

30°

FN2

（2）校核强度

AB杆

BC杆

F=500kN

［］=30 MPa

250

F=500kN

250

B

C

FN1

FN2

45°

30°

30°

45°

A

x

A

F

F

A2= 314 mm2,

〔σ〕=160 MPa

∑Fx= 0, FN2sin45°－FN1sin30° = 0

∑Fy= 0, FN1cos30°＋FN2cos45°－F = 0

FN2= 0.518 F

C

45°

30°

A

F

FN1 = 0.732 F

FN2 = 0.518 F

（2）计算［F］

AB杆

AC杆

2. 某低碳钢弹性模量为Ｅ＝２００ＧＰａ，比例

1. 2-22， 2-29， 2-30

Δ

2.6 变形，胡克定律

2.8 应力集中

s 或 0.2 塑性材料

b 脆性材料

§2.5 拉压杆的强度条件

1.失效

2. 材料的失效形式

3.两种强度失效形式

• (1) 屈 服

(2) 断 裂

• 含裂纹体

4. 强度指标

s 或 0.2 塑性材料

 =

b 脆性材料

⑴ 计算误差

⑵ 荷载估计误差

⑶ 材料缺陷

⑷ 制造工艺误差

⑸ 耐久性要求

6. 许用应力

7. 强度条件

σmax —最大工作应力

§2. 8 应力集中stess concentration

1. 应力集中现象

⑴ 塑性材料——有屈服阶段可不考虑。

⑵ 脆性材料——

A2

A3

F2

A1

F1

F3

D

A

B

C

B截面的应力能否确定？

C截面的应力能否确定？

F

b

b1

l

l1

§2.6 拉压杆的变形 胡克定律

1.轴向变形和线应变

F

b

b1

l

l1

3. 拉压杆的轴向变形 胡克定律

EA—拉压刚度

4.横向变形

ν——泊松比 Poisson ratio

ν= 0 ～0.5

ε′——横向线应变

ε ——轴向线应变

200kN

200kN

2000

100kN

1

2

200

2000

200

E=10GPa, l =4m ,

1.上段

FN1= -100kN,

200kN

200kN

2000

100kN

2.下段

1

200

2000

2

FN2= -100-100=-200kN,

200

3.总变形

FN

x

dx

FN

FN

l

q=γA

1.内力

2.变形

4. 小变形情况下，计算节点位移可以

n

︳m

2F

F

︳n

︳m

A

B

C

D

A

B

C

D

F

2 -12，17, 2-19, 23, 24

### 材力2-4

1. 拉压强度条件

2. 拉压变形

B

C

B

α

α

2

1

α

α

2

1

A

A

l1

l2

F

fA

F

3. 如何利用杆件的变形计算节点位移

§2.8 拉压静不定问题

1. 静定问题——仅用静力平衡方程就能求出

statically determinate problem

2. 静不定问题——仅用静力平衡方程不能求

statically indeterminate problem

( FN1 ,FN2 )

( ∑Fx= 0, ∑Fy = 0 )

--------静定问题

C

B

α

α

y

2

1

FN1

FN2

α

α

A

A

x

F

F

FN2

FN3

FN1

FN4

F

F

FN2

FN3

FN1

FN4

F

F

3. 静不定次数 degree of statical indeterminancy

B

B

C

D

D

C

A

A

A

F

F

F

4. 多余约束 redundant restraint

------结构保持静定所需约束之外的约束。

C

D

FN2

FN1

FN3

A

A

F

F

3个未知力

2个平衡方程

1次静不定

5. 多余未知力 redundant unknown force

. 静不定问题的解法：

1. 判断静不定次数：

2.列平衡方程

3. 列几何方程：反映各杆变形之间的关系，

4. 列物理方程：变形与力的关系。

5. 列补充方程：物理方程代入几何方程即得

D

C

B

FN1

E1A1

1

FN2

E2A2

2

3

FN3

E3A3 =E2A2

l1

l2

l3= l2

x

A

A

F

F

FN1

FN2

FN3

x

A

F

2.列平衡方程

C

B

E1A1

1

E2A2

2

3

E3A3 =E2A2

l1

l2

l3= l2

A

l2

l3

l1

F

3.列几何方程：

4.列物理方程

5. 列补充方程

C

B

1

2

3

A

F

E1A1→∞, FN1→F, F N2=FN3→0

E1A1→0, FN1→0,

C

B

D

B

1

2

3

A

A

F

F

“能者多劳”

C

B

E1A1

1

E2A2

2

3

E3A3 =E2A2

l1

l2

l3= l2

y

A

FN1

l2

l3

FN2

FN3

l1

x

A

F

F

D

C

C

B

B

1

1

2

2

3

3

A

A

l2

l3

l3

l2

l1

l1

F

F

C

B

1

2

3

D

B

A

A

——无装配应力

——？

D

C

B

1

2

3

l

α

α

⊿l1

A'

δ

⊿l2

A

⊿l1＋ ⊿l2 / cosα = δ

1杆伸长，应为拉力，2，3杆缩短 , 应为压力。

FN1

FN1

FN2

FN2

FN3

FN3

D

C

B

A

A

1

2

3

l

α

α

⊿l1

A'

δ

⊿l2

A

—— σ1 = 113 MPa ， σ2 = σ3 = －65.2 MPa

D

B

C

B

A

A

l

B

⊿l = ⊿lt＋ ⊿lF = 0

⊿lt =αl ⊿t

⊿lF =FNl / EA

2.几何方程： ⊿l2 = 2 ⊿l1

3.平衡方程： ∑MO=0 , FN1a + FN2 2a = 0

FN1 = - 2 FN2

FN2

FN1

1

2

l

l

A

B

O

A

B

O

a

a

a

a

B’

A’

⊿l1

⊿l2

2

l

A

B

O

⊿l1

⊿l2

a

a

B’

A’

（压）

（拉）

⊿l2 = 2 ⊿l1

4.物理方程：

5.以上方程联解，得：

C

D

A

F

1. 静不定问题：

2. 解法：

3. 特点

（1）内力按刚度比分配 “能者多劳”

（2）装配应力

（3）温度应力

4. 注意事项:

H

a

F

B

C

D

A

a

a

a

H

a

2

1

F

⊿l2

45°

D

C

B

A

C '

⊿l1

D '

a

a

a

p

p

x

d

d

FN

FN

• 内力计算

∑Fx= 0, 由对称性，满足

∑Fy= 0, qd - 2FN = 0

2.应力计算

d1

d

3.变形计算

2 – 34 36 38 40