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材料力学的任务 等直杆的 强度条件 刚度条件 稳定性条件 PowerPoint PPT Presentation


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上节回顾. 材料力学的任务 等直杆的 强度条件 刚度条件 稳定性条件. 上节回顾. 材料力学的基本概念 1. 内力 —— 指某个截面内分布内力 的三个主矢分量和三个主矩分量: 轴力 F N ,剪力 F Q ( F y ,F z ) 扭矩 T ,弯矩 M ( M y ,M z ) 2. 应力 —— 正应力 σ ,切应力 τ 3. 应变 —— 线应变 ε ,切应变 γ. z. z. F Q z. F N. x. x. F Q y. y. y.

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材料力学的任务 等直杆的 强度条件 刚度条件 稳定性条件

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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6639176

上节回顾

材料力学的任务

等直杆的 强度条件

刚度条件

稳定性条件


6639176

上节回顾

材料力学的基本概念

1.内力—— 指某个截面内分布内力

的三个主矢分量和三个主矩分量:

轴力FN ,剪力FQ (Fy ,Fz)

扭矩T ,弯矩M (My ,Mz)

2.应力——正应力σ,切应力τ

3.应变——线应变ε,切应变γ


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z

z

FQz

FN

x

x

FQy

y

y

Mz

T

My

上节回顾

内力

轴力FN,剪力FQ (Fy ,Fz)

扭矩T ,弯矩M (My ,Mz)

剪力

弯矩

扭矩

剪力

弯矩

轴力


6639176

上节回顾

注意事项

计算约束力时,

可将平衡对象视为刚体;

计算其他问题时

则应将研究对象视为变形体。


6639176

120kN

20kN/m

20kN/m

B

B

C

C

A

A

2m

2m

4m

4m

请判断下列

简化在什么情形

下是正确的,什

么情形下是不正

确的:


6639176

F1

F2

上节回顾

应力—分布内力在一点的集度


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F1

DFR

F2

ΔA

正应力s(法向应力)

应力的定义

切应力τ(切向应力)

ΔFQ

ΔFN


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应力就是单位面积上的内力

工程构件,大多数情形下,内力并

非均匀分布,通常“ 破坏”或“ 失效”往

往从内力集度最大处开始,因此,有必

要区别并定义应力概念。


6639176

上节回顾

注意事项

  • 计算应力时应注意

    既要算正应力,也要算切应力;

  • 应弄清是那一点的应力;

  • 还要弄清是那一个面上的应力;

  • 应力的单位是MPa.


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§1.7 位移 变形 应变

一、位移displacement

线位移—— 一点空间位置的改变

单位:m , mm

角位移—— 一面方位的改变

单位:rad


Deformation

二、变形 deformation

尺寸改变

形状改变

变形引起位移


Strain

三、应变strain

线应变(linear strain)ε ——

一点在某方向上尺寸改变程度的描述。

切应变(shearing strain)γ ——

过一点两互相垂直截面的角度改变。


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σ

x

σ

x

dx

u+du

dx

u

τ

α

τ

β

γ=α+β

直角改变量

微元体(单元体)element


6639176

注释

线应变 ε ——

与点的位置有关;

与 x的方向有关;

伸长变形为正;

无量纲。

切应变 γ ——

与点的位置有关;

与垂直两边的方位有关;

无量纲。


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σ

x

σ

x

dx

u+du

dx

u

τ

α

τ

β

注释

应力与应变的对应关系

正应力  ——线应变 ε

切应力τ ——切应变 γ

γ=α+β

直角改变量


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§1.8 杆件变形的基本形式

1. 轴向拉伸和压缩

axial tension or compression

拉伸

压缩


2 shear

F

F

2. 剪切shear


3 torsion

3. 扭转torsion

联轴器


4 plane bending

4. 平面弯曲plane bending


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F

F2

F3

F1

F

F2

2F

F3

F1

第二章 轴向拉伸和压缩

§2.1 概述

轴向载荷(axial load)——载荷作用线位于杆轴上


6639176

F2

2F

F3

F1

轴向拉伸(axial tension)(压缩compression)

受力特点——外力全部为轴向载荷

变形特点——轴向伸长或缩短


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压杆

拉杆


6639176

拉杆

压杆


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100kN

200kN

200kN

100kN

1

2


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F

F

拉杆

F

F

F

F

压杆

F

F

拉杆和压杆模型


6639176

F2

F3

F1

拉杆和压杆模型

统称:

拉压杆


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m

m

F2

F1

F3

m

m

F2

F1

FN

§2.2 轴力 轴力图

一、轴力FN(axial force)—— 拉压杆的内力

截断,取半,画内力,平衡 —— 截面法步骤

∑Fx = 0 , FN-F1+F2 = 0

∴ FN = F1-F2


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m

m

m

F2

F1

F3

m

m

m

F2

F1

FN

FN

F3

取左半和取右半计算内力,结果是一样的。

FN = F3

FN= F1 -F2=F3

因此,可选择简单的一侧计算轴力。


Axial force

m

m

F2

F1

F3

m

m

F2

F1

FN

FN

F3

m

m

轴力axial force

定义——内力主矢的法向分量

求法——截面法method of section

步骤:截开,取半,画内力,平衡

大小= 截面任一侧所有外力的代数和

正负号——拉伸为正(离开截面为正)

注意正负号不是由坐标轴的方向决定的

单位—— N , kN


Axial force diagram

F2

F3

2

3

F4

1

F1

1

3

2

二、轴力图axial force diagram

问题:如何描述不同截面的轴力既简单又直观?

方法:1. 临用时逐个截面计算;

2. 写方程式;

3. 画几何图线—— 轴力图

横坐标——杆的轴线

纵坐标——轴力数值


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1

2

3

1

2

3

FN

(kN)

例1 作图示杆的轴力图

3kN

4kN

2kN

3kN

A

B

C

D

1

2

3

解:1.各段轴力计算:

FN1 = -2 kN, FN2 = -2+3 =1 kN,

FN3 = -3 kN

2.作轴力图

B截面的轴力=?


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20kN

1

10kN

10kN

2

20kN

3

A

B

C

1

D

2

3

FN

(kN)

例2 作图示杆的轴力图

10

10

20

解:1.各段轴力计算:

FN1 = 10 kN, FN2 =-10 kN,

FN3 =-20 kN

2.作轴力图


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20kN

1

10kN

10kN

2

20kN

3

1

2

3

FN

(kN)

轴力图要求

A

D

B

C

10

1. 与杆平行对齐画

2. 标明内力的性质( FN)

3. 正确画出内力沿轴线的变化规律

4. 标明内力的正负号

5. 注明特殊截面的内力数值(极值)

6. 标明内力单位

10

20


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12.98

C

FN2

2

2

l2

x2-l1

B

12.42

x2

FN1

l1

l1

1

1

x1

x1

12

A

FN(kN)

F

F

F

例题3

已知:A1=3 ㎝2 , A2=4 ㎝2 ,

l1= l2= 50m , F=12 kN ,

γ = 0.028 N/㎝3

求:作轴力图(考虑自重)

解:⑴ 计算轴力

2

AB段: FN1 = F +γA1x1

(0≤x1≤l1)

1

BC段: FN2=F + γA1l1

+γA2(x2-l1)

(l1≤x2≤l1+l2)

⑵ 绘轴力图


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§2.3 拉压杆的应力

已知轴力求应力,这是静不定问题,

需要研究变形才能解决。

思路:

观察变形(外表)

变形假设(内部)

应变分布

应力分布

应力表达式


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F

F

一、横截面上的应力

1. 变形特点

纵线——仍为直线,平行于轴线

横线——仍为直线,且垂直于轴线


6639176

2. 平面假设 plane cross-section assumption

杆件的任意横截面在杆件受力变形后

仍保持为平面,且与轴线垂直。


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3. 应变分布

由平面假设,轴向应变分布是均匀的,

切应变等于零。

  • 应力分布

  • 由均匀性假设,横截面上的应力也是

  • 均匀分布的,即各点应力相同。


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σdA

dA

5. 应力公式

由于切应变等于零,横截面上 τ = 0

因此,拉压杆横截面上只存在正应力。

静力学关系


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F

F

F

F

F

F


Saint venant

F

F

F

F

二、圣维南(Saint-Venant)原理

原理:等效力系只影响荷载作用点附近局部

区域的应力和应变分布。

问题: 两杆横截面的正应力分布是否相同?

结论:无论杆端如何受力,拉压杆横截面的正应力均可用

下式计算:


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变截面杆件的应力

A2

A3

F2

A1

F1

F3

D

A

B

C

B截面的轴力能否确定?

B截面的应力能否确定?

C截面的应力能否确定?

最大应力等于多少?


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B

1

45º

A

C

2

F

y

FN1

x

A

45°

FN2

F

已知:A1= 1000 mm2,

A2= 20000mm2, F = 100 kN

求:各杆横截面的应力

例题

∑Fy= 0, FN1 sin45°-F = 0

解:⑴ 轴力计算 取结点A

= 141.4 kN

∑Fx= 0, -FN1cos45°-FN2 = 0

FN2 =-FN1cos45°

=-141.4 cos45°

=-100 kN


6639176

B

45º

A

C

F

y

FN1

x

A

45°

FN2

F

FN1 = 141.4 kN

FN2 =-100 kN

例题

⑵ 应力计算


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三、斜截面的应力

拉压杆横截面上没有切应力,

只有正应力,

斜截面上是否也是这样?


6639176

斜截面上的应力

k

F

k

F

F

α

α

k

k

k

F

α

α

k

横截面面积 A ,

正应力σ =F/A ,

斜截面面积

Aα =A/cosα

内力 Pα = F,

全应力为

将斜截面k-k上的全应力分解为正应力σ α和切应力τα,


6639176

k

F

α

α

k

可见,斜截面上既有正应力,也有切应力。

讨论

ⅰ α = 0 , σαmax= σ, τα = 0

ⅱ α =45° ,σα = σ/2 , ταmax = σ/2

ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0


6639176

F

F

F

σ60

τ60

拉压杆的

任意截面上

应力随截面变化


6639176

结论与讨论

  • 拉压杆横截面上的内力只有轴力,

    因此,横截面上只存在正应力,没有切应力。

  • 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的,

  • 拉压杆的斜截面上一般既有正应力,

    又有切应力。

    正应力最大值位于横截面上,数值为 σ;

    切应力最大值在与轴线成45°角的截面上,

    数值为 σ/2.


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问题

拉压杆内只有正应力,没有切应力,这种说法是否正确?说说理由。


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作业

2-1(b) 2-2 2-3 2-5

再 见


6639176

上节回顾

1.拉压杆横截面上没有切应力,只有正应力,

 正应力是均匀分布的,即

注意:这个结论是在分析变形的基础上得到的。

因此,学习材料力学,应注意学习分析变形。


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三、斜截面的应力

拉压杆横截面上没有切应力,

只有正应力,

斜截面上是否也是这样?


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斜截面上的应力

k

F

k

F

F

α

α

k

k

k

F

α

α

k

横截面面积 A ,

正应力σ =F/A ,

斜截面面积

Aα =A/cosα

内力 Pα = F,

全应力为

将斜截面k-k上的全应力分解为正应力σ α和切应力τα,


6639176

k

F

α

α

k

可见,斜截面上既有正应力,也有切应力。

讨论

ⅰ α = 0 , σαmax= σ, τα = 0

ⅱ α =45° ,σα = σ/2 , ταmax = σ/2

ⅲ α = 90° , σα = 0 , τα = 0


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F

F

F

σ60

τ60

拉压杆的

任意截面上

应力随截面变化


6639176

结论与讨论

  • 拉压杆横截面上的内力只有轴力,

    因此,横截面上只存在正应力,没有切应力。

  • 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的,

  • 拉压杆的斜截面上一般既有正应力,

    又有切应力。

    正应力最大值位于横截面上,数值为 σ;

    切应力最大值在与轴线成45°角的截面上,

    数值为 σ/2.


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§2.4 材料在拉压时的力学性能

力学性能mechanical properties——

又称机械性能,指材料在外力作用下

表现出的破坏和变形等方面的特性。

目的——确定材料破坏和变形方面的

重要性能指标,以作为强度和变形

计算的依据。

方法——试验。


6639176

F

F

l

标点

标点

d

一、拉伸试验和压缩试验

1.目的:测定材料拉压时的力学性能

2.设备:全能试验机

3.试件:

标距 l , l =10d , l = 5d(圆)

4.加载方式和记录:渐加静载荷——由零开始,

缓慢增加,至终值后数值不再变化或变化很小。

记录载荷F 与伸长⊿l的关系。


6639176

F

F

⊿l

l

二、低碳钢拉伸时的力学性质

拉伸图

低碳钢:含碳量低于0.3﹪


6639176

低碳钢拉伸试验——拉伸图


6639176

F

Δ

拉伸图


6639176

σ

ε

名义应力

名义应变

2.应力-应变图(σ-ε图)

克服拉伸图的尺寸效应

A——初始横截面面积

l ——原长


Elastic stage

e

p

σ

ε

①弹性阶段elastic stage

特点:变形是完全弹性的

弹性阶段

比例阶段proportional limit: σ ≤σp

特征应力:

弹性极限eelastic limit

比例极限pproportional limit

胡克定律 Hookes Law

σ = Eε

E——弹性模量Young ,modulus of elasticity

单位: Pa, 1 GPa = 109 Pa

物理意义:材料抵抗弹性变形的能力。

几何意义:σ-ε 图比例阶段斜率。


Yield stage

σ

σs

ε

45°

②屈服阶段yield stage

特点:材料失去抵抗变形的能力

——屈服(流动) yield

特征应力:屈服极限σs

yield limit

Q235钢 σs=235MPa

滑移线 slip liens:

方位—与轴线成45°

屈服阶段

原因—最大切应力

机理—晶格滑移


Strengthing stage

σ

σb

ε

③强化阶段strengthing stage

特点:

应变硬化 strain hardening

材料恢复变形抗力,

σ-ε 关系非线性,

滑移线消失,

试件明显变细。

强化阶段

特征应力:强度极限σb

ultimate strength


Stage of local deformation

σ

ε

④颈缩阶段(局部变形阶段)stage of local deformation

颈缩阶段

特征:颈缩现象

necking

断口:杯口状

有磁性

思考原因为何?


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σ

强度极限σb

屈服极限σs

弹性极限σe

比例极限σp

ε

3. 特征应力


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σ

ε

4.卸载定律

拉伸过程中

在某点卸载,

σ-ε将按照比例

阶段的规律变化,

直到完全卸载。

卸载


6639176

σ

ε

卸载再加载规律:

卸载后重新加载,

σ-ε则按卸载路径 化,

至卸载点附近后则

回到未经卸载的曲线。

冷拉时效

再加载

卸载后过几天再

重新加载,σ-ε则按

卸载路径变化,高于

卸载点的曲线,获得

更高的强度指标。


Cold hardening

σ

现比例极限

现残余应变

原比例极限

ε

原残余应变

冷作硬化 cold hardening

在强化阶段卸载,材料的

比例极限提高,塑性降低。


6639176

5.塑性指标

⑴ 断后伸长率(延伸率)δ

percent elongation

塑性材料ductile materials δ > 5﹪

Q235钢δ = 20~30﹪

脆性材料brittle materialsδ < 5﹪

铸铁 δ <0.5﹪

⑵ 断面收缩率 ψ

percentage reduction of area

Q235钢 ψ = 60﹪


6639176

σ

ε

三、其他塑性材料拉伸

16锰钢


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σ

ε

退火球墨铸铁


6639176

σ

ε

锰钢


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σ

ε

玻璃钢


6639176

σ

锰钢

玻璃钢

16锰钢

退火球墨铸铁

ε

塑性材料的共同

特点只有一个,那

就是断后伸长率大

于5﹪.

问题:对无明显屈

服阶段的塑性材料

如何确定强度指标?


6639176

σ

0.2

ε

0. 2%

名义屈服极限σ0.2

塑性应变

等于0.2%

时的应力值


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σ

σs

σb

ε

拉延(drawn)现象

聚合物

颈缩


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σ(MPa)

100

σb

50

ε(%)

0.45

四、铸铁拉伸

1.强度极限低;

σb=110~160MPa

2.非线性;

  近似用割线代替

3.无屈服,无颈缩;

4.δ<0.5﹪;

 5.平断口。

不宜受拉!


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σ(MPa)

压缩

400

200

ε

0.20

0.10

五、压缩

低碳钢

1.E, σp,

σe,σs,

与拉伸相同;

2.测不出σb;

3.试件呈鼓状。

拉伸

压缩试验无意义


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400

σ(MPa)

600

压缩

300

拉伸

ε

0.05

0.10

铸铁

1.σb高于拉伸;

    ( 接近4倍)

2.δ 大于拉伸;

    (接近5﹪)

3.E与拉伸不同;

4.斜断口.

可制成受压构件


6639176

木材的力学性质

木材抗拉强度高于

抗压强度。

σ

顺纹拉伸

木材顺纹方向的

强度高于横纹方向的

强度;

顺纹压缩

横纹压缩

ε

木材是各向异性材料


6639176

结论与讨论

1.强度、变形计算必须了解材料的力学性能;

2.了解材料的力学性能主要是分析σ-ε曲线;

问题1:如何得到σ-ε曲线?

问题2:如何分析σ-ε曲线?

3.工程材料按其断后伸长率大小分成两大类:

塑性材料和脆性材料;

    塑性材料  δ>5﹪

    脆性材料  δ<5﹪

4.塑性材料和脆性材料的强度指标不同:

  塑性材料取σs或σ0.2, 脆性材料取σb.


6639176

σ

ε

ε

ε= εe+ εp

5.根据卸载定律,一般地一点线应变ε由两部

分组成:弹性应变εe和塑性应变εp ;   

εp

εe


6639176

脆性材料

塑性金属材料

聚合物

σ(MPa)

σ

σ

σb

σs

σs

100

σb

σb

50

ε

ε(%)

ε

0.45

6.三种拉伸应力-应变曲线


6639176

§2.5 拉压杆的强度条件

1.失效

失效—由于材料的力学行为而使

构件丧失正常功能的现象.


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2. 材料的失效形式

强度失效 (Failure by Lost Strength)

刚度失效

失稳失效

疲劳失效

蠕变失效

松弛失效


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3.两种强度失效形式

  • (1) 屈 服

无裂纹体

(2) 断 裂

  • 含裂纹体


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强度失效

由于断裂(Rupture)或屈服(Yield)引起的失效


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4. 强度指标

极限应力

s 或 0.2 塑性材料

 =

b 脆性材料

工作应力是否允许达到极限应力?


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安全因数

⑴ 计算误差

⑵ 荷载估计误差

⑶ 材料缺陷

⑷ 制造工艺误差

⑸ 耐久性要求

上述因素要求选择安全因数 n


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6. 许用应力

7. 强度条件

σmax —最大工作应力

等截面杆强度条件


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强度计算的三类问题

1. 强度校核

2. 截面选择

3. 确定许用载荷


6639176

A

FN1

F

30°

FN2

已知: AB杆:

横截面积 A1=600mm² ,

[]1=160 MPa;

BC杆:横截面积A2=10000mm²,

[]2=7 MPa , F=40kN.

例2-2

B

1

求:校核强度

30°

A

解:(1)计算内力

C

2

取结点A

F

∑Fy= 0, FN1 sin30°-F = 0

∑Fx= 0, -FN1cos30°-FN2 = 0


6639176

A

1

30°

B

B

C

2

FN1

F

F

30°

FN2

例2-2

(2)校核强度

AB杆

BC杆

满足强度条件


6639176

例题

F=500kN

解: FN=F=500kN

已知:空心柱的外直径D=25cm, F=500kN,

[]=30 MPa

求:筒壁厚度δ

250


6639176

例题

F=500kN

250


6639176

y

B

C

FN1

FN2

45°

30°

30°

45°

A

x

A

F

F

例题

已知: A1 = 706.9 mm2,

A2= 314 mm2,

〔σ〕=160 MPa

求:许可载荷〔F〕

解:1. 内力计算

取结点 A

∑Fx= 0, FN2sin45°-FN1sin30° = 0

∑Fy= 0, FN1cos30°+FN2cos45°-F = 0

解出 FN1 = 0.732 F

FN2= 0.518 F


6639176

B

C

45°

30°

A

F

FN1 = 0.732 F

FN2 = 0.518 F

(2)计算[F]

AB杆

AC杆


6639176

作业

2. 某低碳钢弹性模量为E=200GPa,比例

极限 σp=240MPa,拉伸试验横截面正应力达 σ=300MPa时, 测得轴向线应变为 ε =0.0035,此时立即卸载至σ=0,求试件轴向残余应变 εp为多少?

1. 2-22, 2-29, 2-30


6639176

再见


6639176

F

Δ

拉伸图


6639176

5

材力2-3

内容: 2.5 拉压强度

2.6 变形,胡克定律

2.8 应力集中

要求:掌握拉压杆的强度和变形计算,

掌握胡克定律,会作简单杆系变形分析

了解应力集中概念

练习:强度1,变形3

作业:2 -12, 17,19,23,24


6639176

上节回顾

两类工程材料

塑性材料

脆性材料

强度指标

s 或 0.2 塑性材料

b 脆性材料


6639176

§2.5 拉压杆的强度条件

1.失效

失效—由于材料的力学行为而使

构件丧失正常功能的现象.


6639176

2. 材料的失效形式

强度失效 (Failure by Lost Strength)

刚度失效

失稳失效

疲劳失效

蠕变失效

松弛失效


6639176

3.两种强度失效形式

  • (1) 屈 服

无裂纹体

(2) 断 裂

  • 含裂纹体


6639176

强度失效

由于断裂(Rupture)或屈服(Yield)引起的失效


6639176

4. 强度指标

极限应力

s 或 0.2 塑性材料

 =

b 脆性材料

工作应力是否允许达到极限应力?


6639176

安全因数

⑴ 计算误差

⑵ 荷载估计误差

⑶ 材料缺陷

⑷ 制造工艺误差

⑸ 耐久性要求

上述因素要求选择安全因数 n


6639176

6. 许用应力

7. 强度条件

σmax —最大工作应力


2 8 stess concentration

§2. 8 应力集中stess concentration

1. 应力集中现象

几何形状不连续处应力数值较高现象。


6639176

对工程的影响

⑴ 塑性材料——有屈服阶段可不考虑。

⑵ 脆性材料——

组织不均匀,外形不敏感,可不考虑;

组织均匀,对外形敏感,应考虑。


6639176

变截面杆件的应力

A2

A3

F2

A1

F1

F3

D

A

B

C

B截面的应力能否确定?

C截面的应力能否确定?

最大应力等于多少?


6639176

F

F

b

b1

l

l1

§2.6 拉压杆的变形 胡克定律

1.轴向变形和线应变

轴向变形(绝对变形) ⊿l = l1-l

轴向变形和线应变

正负号规定:

拉为正,压为负

线应变(相对变形)

伸长为正,缩短为负


6639176

F

F

b

b1

l

l1

3. 拉压杆的轴向变形 胡克定律

EA—拉压刚度


6639176

4.横向变形

当 σ ≤ σp

ν——泊松比 Poisson ratio

ν= 0 ~0.5

ε′——横向线应变

ε ——轴向线应变


6639176

100kN

200kN

200kN

2000

100kN

1

2

200

2000

200

例题

已知:1,2 两杆相同,

E=10GPa, l =4m ,

求:立柱的上段及下段的 内力,

应力,应变及变形,

以及柱的总变形.

解:

1.上段

FN1= -100kN,


6639176

100kN

200kN

例题

200kN

2000

100kN

2.下段

1

200

2000

2

FN2= -100-100=-200kN,

200

3.总变形


6639176

FN

x

dx

FN

FN

例题

已知:E , l , A , 重度γ

求:柱的变形。

解:

l

q=γA

1.内力

2.变形


6639176

4. 小变形情况下,计算节点位移可以

用切线代替圆弧线,这样可使计算简化,

又能满足精度要求。

总结与讨论


M m n n

︳n

︳m

2F

F

︳n

︳m

选项

轴力

A

B

C

D

轴向应力

轴向线应变

轴向线位移

等直杆受力如图,其中m-m截面上的——比n-n截面大。

正确答案: D


6639176

选项

静力平衡条件

A

B

C

D

两杆应力都达到许用应力[ ]

受力最大的杆件达到许用应力[ ]

截面最小的杆件达到许用应力[ ]

F

对于图示简单桁架来说,求结构的许用载荷[F]时可利用的条件是。

正确答案:A


6639176

作业

2 -12,17, 2-19, 23, 24

再 见


6639176

6

内容:2.8 拉压静不定

材力2-4

要求:掌握拉压静不定问题的一般解法,

会解装配应力、温度应力问题

练习:4题

作业: 2 – 34,38,39,40


6639176

上节回顾

1. 拉压强度条件

2. 拉压变形

当 σ ≤ σp


6639176

C

B

C

B

α

α

2

1

α

α

2

1

A

A

l1

l2

F

fA

F

上节回顾

3. 如何利用杆件的变形计算节点位移

小变形:切线代替圆弧


6639176

§2.8 拉压静不定问题

一. 静定静不定概念

1. 静定问题——仅用静力平衡方程就能求出

全部未知力,这类问题称为静定问题.

statically determinate problem

特点:未知力的数目等于静力平衡方程的数目。

2. 静不定问题——仅用静力平衡方程不能求

出全部未知力。又称超静定问题。

statically indeterminate problem

特点:未知力的数目多于静力平衡方程的数目。


6639176

未知力数目: 2

( FN1 ,FN2 )

静力平衡方程数目:2

( ∑Fx= 0, ∑Fy = 0 )

静定结构,

--------静定问题

仅用静立平衡方程便能求解全

部未知量。

C

B

α

α

y

2

1

FN1

FN2

α

α

A

A

x

F

F


6639176

未知力:4个

平衡方程:2个

静不定结构,静不定问题。

需要补充 2 个方程。

FN2

FN3

FN1

FN4

F

F


6639176

FN2

FN3

FN1

FN4

F

F

3. 静不定次数 degree of statical indeterminancy

未知力数目与平衡方程数目之差。

也是需要补充的方程数目。

未知力:4个 平衡方程:2个

静不定次数 = 4-2 = 2

此结构可称为2次静不定结构


6639176

B

B

B

C

D

D

C

A

A

A

F

F

F

4. 多余约束 redundant restraint

------结构保持静定所需约束之外的约束。

即没有这部分约束结构也能保持一定的几

何形状(静定)。


6639176

B

C

D

FN2

FN1

FN3

A

A

F

F

判断:静不定次数

3个未知力

2个平衡方程

1次静不定


6639176

5. 多余未知力 redundant unknown force

多余约束提供的约束力。

静不定次数 = 多余未知力数目


6639176

二. 静不定问题的解法:

1. 判断静不定次数:

方法1: 未知力数目-平衡方程数目

方法2:多余未知力数目

2.列平衡方程

3. 列几何方程:反映各杆变形之间的关系,

需要具体问题具体分析。

4. 列物理方程:变形与力的关系。

5. 列补充方程:物理方程代入几何方程即得


6639176

y

D

C

B

FN1

E1A1

1

FN2

E2A2

2

3

FN3

E3A3 =E2A2

l1

l2

l3= l2

x

A

A

F

F

例题1

已知:

求:各杆轴力

解:1.判断:一次静不定。


6639176

y

FN1

FN2

FN3

x

A

F

2.列平衡方程


6639176

D

C

B

E1A1

1

E2A2

2

3

E3A3 =E2A2

l1

l2

l3= l2

A

l2

l3

l1

F

3.列几何方程:


6639176

4.列物理方程

5. 列补充方程

将物理方程代入几何方程得:


6639176


6639176

D

C

B

1

2

3

A

F

联解⑴,⑵,⑶式,得

讨论

E1A1→∞, FN1→F, F N2=FN3→0

E1A1→0, FN1→0,


6639176

静不定结构特点(1)

内力按刚度比分配。

思考:静定结构是否也是这样?


6639176

D

C

B

D

B

1

2

3

A

A

F

F

静不定结构的特点 (1)

静不定:

内力按刚度比分配

“能者多劳”

静定:

内力与刚度比无关


6639176

D

C

B

E1A1

1

E2A2

2

3

E3A3 =E2A2

l1

l2

l3= l2

y

A

FN1

l2

l3

FN2

FN3

l1

x

A

F

F

注意事项

内力假设与变形假设一致 !

研究平衡

研究变形

变形假设伸长

内力假设受拉


6639176

D

D

C

C

B

B

1

1

2

2

3

3

A

A

l2

l3

l3

l2

l1

l1

F

F

思考:几何方程的求法

方法1

方法2

新结点向原杆作垂线

原结点向新位置作垂线


6639176

D

C

B

1

2

3

D

B

A

A

静不定结构的特点(2) ———装配应力

静定结构

——无装配应力

静不定结构

——?


6639176

已知:三杆EA相同,1杆

制造误差δ,求装配内力

解题思路:因制造误差,

装配时各杆必须变形,

因此产生装配内力。

D

C

B

1

2

3

l

α

α

⊿l1

A'

δ

⊿l2

A

一次静不定问题。

几何方程:

⊿l1+ ⊿l2 / cosα = δ

物理方程 ?

胡克定律!

平衡方程:

内力不可任意假设。


6639176

1杆伸长,应为拉力,2,3杆缩短 , 应为压力。

FN1

FN1

FN2

FN2

FN3

FN3

D

C

B

A

A

1

2

3

l

α

α

⊿l1

A'

δ

⊿l2

A

正确

不正确

装配应力是不容忽视的,

如: δ/l=0.001, E=200GPa, α=30°

—— σ1 = 113 MPa , σ2 = σ3 = -65.2 MPa


6639176

D

D

B

C

B

A

A

静不定结构的特点(3) ———温度应力

静定结构:

无温度内力

静不定结构:

有温度内力


6639176

A

l

B

思路:温度变化引起杆的长度变化,

多余约束限制了这个变化,

引起温度内力。

几何方程:

⊿l = ⊿lt+ ⊿lF = 0

物理方程:

⊿lt =αl ⊿t

⊿lF =FNl / EA


6639176

例题: OAB杆视为刚性,1,2两杆相同,

已知: EA , l , a , t ,α

求:温度变化引起1,2杆的内力。

解: 1.判断:一次静不定。

2.几何方程: ⊿l2 = 2 ⊿l1

3.平衡方程: ∑MO=0 , FN1a + FN2 2a = 0

FN1 = - 2 FN2

FN2

FN1

1

2

l

l

A

B

O

A

B

O

a

a

a

a

B’

A’

⊿l1

⊿l2


6639176

1

2

l

A

B

O

⊿l1

⊿l2

a

a

B’

A’

(压)

(拉)

⊿l2 = 2 ⊿l1

4.物理方程:

5.以上方程联解,得:


6639176

B

C

D

A

F

总结与思考

1. 静不定问题:

仅用静力平衡方程不能全部求解

原因:未知量数目多于有效平衡方程数目

2. 解法:

关键:建立几何方程

建立物理方程

从而可得补充 方程


6639176

3. 特点

(1)内力按刚度比分配 “能者多劳”

(2)装配应力

(3)温度应力

4. 注意事项:

正确判断静不定次数


6639176

G

H

a

F

B

C

D

A

a

a

a

练习:判断静不定次数,写几何方程 ( AB杆视为刚性)


6639176

G

H

a

2

1

F

⊿l2

45°

D

C

B

A

C '

⊿l1

D '

a

a

a


6639176

y

p

p

x

d

d

FN

FN

作业讲解

题2-12

  • 内力计算

截面法:

取上半部分

∑Fx= 0, 由对称性,满足

∑Fy= 0, qd - 2FN = 0

2.应力计算


6639176

p

d1

d

题2-12

3.变形计算


6639176

作业

2 – 34 36 38 40

再 见


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