Числовые характеристики случайных величин

1. Числовые характеристикислучайных величин { определение случайных величин - математическое ожидание - примеры – дисперсия – центральные и начальные моменты – коэффициент корреляции - ковариация }

2. Математическое ожидание Математическим ожиданием дискретной случайной величины x(w)называетсявеличина Если д.с.в. xимеет математическое ожидание, то оно находится как сумма всех произведений значений случайных величин на их вероятности P Pj Случайных величин без математического ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мывсегда в праве от нее что-нибудь ожидать. Из студенческой контрольной работы x xj

3. Пример @ Найти математическое ожидание для биномиального распределения дискретной случайной величины. Решение

4. Математическое ожидание случайной величины Математическим ожиданием непрерывной случайной величины xназываетсявеличина Свойства: fx(x) x (xи h– независимые СВ)

5. Пример @ Найти математическое ожидание для нормального распределения непрерывной случайной величины. Решение = 1 ! m M(x) = m = 0 !

6. Дисперсия случайной величины Дисперсия случайной величины xопределяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания s- cреднее квадратичное отклонение fx(x) Д.С.В. Н.С.В. Свойства: xjнезависимы в совокупности x

7. Пример @ Найти дисперсию для биномиального распределения Решение Предварительно найдем дисперсию в распределении Бернулли

8. Пример @ Найти дисперсию для равномерного распределения fx(x) x a b

9. Центральные и начальные моменты Математическим моментомслучайной величины называется математическое ожидание величины (x-a)k: Если a = M(x), момент называетсяцентральным, если a = 0 , то начальным- nk Абсолютный моментk-го порядка: fx(x) m3 > 0 m3 < 0 Коэффициент ассиметрии Эксцесс – степень крутости распределения E=0 для случая Н.З. распределения

10. Пример @ Определить числовые характеристики для экспоненциального распределения fx(x) Mx = 1/2 Dx = 1/4

11. Числовые характеристики зависимости двух случайных величин Для независимых случайных величин с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Чему равна дисперсия суммы в общем случае? Величина M(ξη) - MξMη равняется нулю, если случайные величины ξи η независимы. Однако из равенства ее нулю вовсе не следует независимость. Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» пары случайных величин. Ковариациейcov(ξ,η)случайных величин ξи η называется число Если ковариация cov(ξ,η) отлична от нуля, то величины ξи ηзависимы!

12. Пример @ Пусть ξ и η — независимые случайные величины, и дисперсия ξ отлична от нуля. Доказать, что ξ и ξ + η зависимы. Следовательно, ξ и ξ + η зависимы

13. Коэфициент корреляции Ковариация – размерная величина. Её нужно нормировать так, чтобы она не менялась при умножении или сдвиге случайных величин и свидетельствовала о силе их зависимости. Говоря о «силе» зависимости между с.в., мы имеем в виду следующее. Самая сильная зависимость – функциональная, а из функциональных – линейная зависимость, когда ξ = aη + b. Коэффициентом корреляцииρ(ξ, η)случайных величин ξ, η, дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число 1. Если с. в. ξ и η независимы, то ρ(ξ, η) = cov(ξ, η) = 0 2. | ρ(ξ, η) |1 3. | ρ(ξ, η) | = 1, если и только если случайные величины ξ и η с вероятностью 1 линейно связаны, т.е. существуют числа а  0 и b такие, что P( η = a, ξ =b) = 1

14. Пример @ Найти коэффициент корреляции для ξ и ξ +η . ξ , η - независимые случайные величины, дисперсии ξ и η равны между собой и отличны от нуля. Решение ξ и ξ + η зависимы с коэффициентом корреляции r = 0.707

15. Пример @ Найти коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при n подбрасываниях симметричного кубика. Решение Обозначим для i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 через ξiслучайную величину, равную числу выпадений грани с i очками при n подбрасываниях кубика. Подсчитаем cov(ξ1, ξ6) Каждая из случайных величин ξi имеет биномиальное распределение с параметрами nиp =1/6, поэтому

16. Пример @ Cумма ξ1 + … + ξn равна n. В силу симметрии кубика, все математические ожидания Mi,jравны, но отличаются от Mi,i или по другому

17. Зависимость между двумя величинами Даны два множества величин xiи yi, где yi – измеряется с ошибкой. Рассмотрим задачу установления функциональной зависимости между двумя величинамиy=j(x)по результатам измерений, в которых значения функции определяются с ошибкой– случайной величиной, которая подчиняется нормальному закону. y y = j(x) xi x min

18. Метод наименьших квадратов Данная совокупность измеренных значений величин yiбудет наивероятнейшей, если сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений yiот предполагаемых j(xi)будет минимальной. Получаем использование метода максимального правдоподобия для получения статистических оценок. y y = j(x, a, b, c,..) xi x

19. Подбор параметров для линейной функции y x

20. Подбор параметров для линейной функции Система уравнений примет вид Решение Запись уравнений упрощается, если ввести “центральные моменты” Решение

21. Подбор параметров для линейной функции В приведенных формулах появляются выборочные средние, дисперсия и корреляционный момент y Линейная регрессия x