第四十二讲空间中的垂直关系

第四十二讲空间中的垂直关系

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1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直. 记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.

(2)判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 符号表示:若直线a⊂平面α,直线b⊂α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α. 图形表示:

(3)重要的真命题 ①过一点有且只有一条直线与一个平面垂直; ②过一点有且只有一个平面与一条直线垂直; ③如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.

2.平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作:α⊥β.

(2)判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 符号表示:若直线AB⊂平面β,AB⊥平面α,则β⊥α. 如图所示:

3.直线与平面垂直的性质 (1)由线面垂直的定义可知,若直线a⊥α,b⊂α,则a⊥b. (2)性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 符号表示:若a⊥α,b⊥α,则a∥b.

4.平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号表示:α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,AB∩CD=B,则AB⊥β. 线线垂直､线面垂直､面面垂直的相互转化.

5.直线与平面所成的角. (1)斜线在平面内的射影从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影. (2)斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

说明:(1)一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.说明:(1)一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角. (2)一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角. (3)斜线和平面所成的角的范围是(0°,90°).

6.二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,以直线AB为棱,半平面α､β为面的二面角,记作α—AB—β,也可记作∠α—AB—β.

以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,如图,∠COD为二面角的平面角.以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,如图,∠COD为二面角的平面角.

说明:(1)二面角的平面角∠COD的大小与点O在l上的位置无关.说明:(1)二面角的平面角∠COD的大小与点O在l上的位置无关. (2)构成二面角的平面角的条件:①二面角的顶点必须在棱上,②角的两边必须分别在两个半平面内,③角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可. (3)一个二面角的平面角的大小是唯一确定的.

基础自测 1.(2009·山东)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β ”是“m⊥β ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β;反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.解析:由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β;反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 答案:B

2.设a ､b为两条不重合的直线,α ､β为两个不同的平面,则下列结论成立的是( ) A.若a⊂α,b⊂β,且a∥b,则α∥β B.若a⊂α,b⊂β,则α⊥β,则a⊥b C.若a∥b,b⊂α,则a∥α D.若a⊥α,b⊥α,则a∥b 解析:选项A错,因为两个平面有可能相交;选项B错,因为两条直线有可能平行､非垂直相交或异面;选项C错,因为直线有可能在平面内;选项D正确,故选D. 答案:D

3.若m ､n为两条不重合的直线,α ､β为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题的个数是( ) ①若直线m ､n都平行于平面α,则m ､n一定不是相交直线;②若直线m ､n都垂直于平面α,则m ､n一定是平行直线;③已知平面α ､β互相垂直,且直线m ､n也互相垂直,若m⊥α,则n⊥β;④直线m ､n在平面α内的射影互相垂直,则m⊥n.

A.1 B.2 C.3 D.4 解析:在①中m ､n可能相交,所以①不是真命题;②是真命题;对于③,n可能与β平行或斜交,所以③不是真命题;④是假命题,故选A. 答案:A

4.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么( ) A. PA=PB>PC B. PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC

解析:∵M是Rt△ABC斜边AB的中点, ∴MA=MB=MC.又∵PM⊥平面ABC, ∴MA､MB､MC分别是PA､PB､PC在平面ABC上的射影. ∴PA=PB=PC.应选C. 答案:C

5.如图所示,棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点,若BED1F是菱形,则BED1F在底面ABCD上投影四边形的面积是( )

答案:B

重点难点突破 题型一垂直关系的考查【例1】已知a,b是两条直线,α,β是两个平面,给出下列命题: ①若直线a垂直于α内两条相交直线,则a⊥α; ②若直线b垂直于平面β内的无数条直线,则b⊥β; ③若a⊥α,b⊂β,α∥β,则a⊥b; ④若a⊥α,b⊂β,a∥b,则α⊥β. 其中正确的命题是___________.

[解析] 由线面垂直的判定定理可知,①正确,②错误,当直线b与平面β内的无数条直线垂直,而这无数条直线是相互平行的直线时,b与β不一定垂直;由a⊥α,α∥β.∴a⊥β,又b⊂β,∴a⊥b,故③正确;若a⊥α,a∥b,则b⊥α,又b⊂β,∴α⊥β,故④正确. [答案] ①③④ [点评] 解决这类问题的关键就是分清线面位置关系的判定定理和性质定理的条件,并结合长方体模型或实际空间位置作出正确的判断.

变式1:对于直线m ､n和平面α､β,能得出α⊥β的一个条件是( ) A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α C.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β

解析:如图所示,选一个正方体ABCD—A1B1C1D1,把AD看做直线m,BB1看做直线n,把平面BB1C1C作为平面α,平面AA1C1C作为平面β,A虽然满足m⊥n,m∥α,n∥β,但α不垂直于β,从而否定A;类似地可否定B和D,因此选C.解析:如图所示,选一个正方体ABCD—A1B1C1D1,把AD看做直线m,BB1看做直线n,把平面BB1C1C作为平面α,平面AA1C1C作为平面β,A虽然满足m⊥n,m∥α,n∥β,但α不垂直于β,从而否定A;类似地可否定B和D,因此选C. 答案:C

题型二证明垂直关系 【例2】 (2010·新课标全国)如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高. (1)证明:平面PAC⊥平面PBD; (2)若AB= ,∠APB=∠ADB=60°, 求四棱锥P—ABCD的体积.

[解] (1)证明:因为PH是四棱锥P—ABCD的高,所以AC⊥PH.又AC⊥BD,PH,BD都在平面PBD内,且PH∩BD=H,所以AC⊥平面PBD,AC⊂平面PAC,故平面PAC⊥平面PBD.

(2)因为ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD, AB= 所以HA=HB= 因为∠APB=∠ADB=60°, ∵PH⊥平面ABCD,∴PB､PA在平面ABCD上的射影分别为BH､AH 又∵BH=AH,所以PA=PB= ,HD=HC=1.

[点评] 在证明垂直关系时,要利用转化思想,依据垂直的判定定理､性质定理,将线与线､线与面､面与面之间的垂直与平行互相转化.

变式2:如图所示,在三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.变式2:如图所示,在三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C.

分析:(1)要证明AD⊥CC1,只要证明AD垂直于CC1所在的平面BB1C1C即可.显然,由AD⊥BC和面面垂直的性质定理即可得证.分析:(1)要证明AD⊥CC1,只要证明AD垂直于CC1所在的平面BB1C1C即可.显然,由AD⊥BC和面面垂直的性质定理即可得证. (2)要证明截面MBC1⊥侧面BB1C1C,只要证明截面MBC1经过侧面BB1C1C的一条垂线即可.

证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥侧面BB1C1C, ∴AD⊥侧面BB1C1C,∴AD⊥CC1.

(2)延长B1A1与BM的延长线交于点N,连接C1N. ∵AM=MA1,∴MA1 BB1,∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1,∴A1C1=A1N=A1B1, ∴NC1⊥C1B1. ∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C, ∴C1N⊥侧面BB1C1C. ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C, 即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.

题型三垂直关系的综合应用 【例3】如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC= ,等边三角形ADB以AB为轴转动.

(1)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论;(1)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论; (2)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长.

[解] (1)①当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.

②当D不在平面ABC内时,取AB的中点E,连接DE,CE, ∵△ADB是等边三角形,∴AB⊥DE. 又因AC=BC,所以AB⊥CE. 又DE,CE为两条相交直线,所以AB⊥平面CDE, 又CD⊂平面CDE,则AB⊥CD. 综上所述,AB⊥CD.

(2)当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE,由已知可得DE= ,EC=1, 在Rt△DEC中,CD=

变式3:如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.变式3:如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点. (1)求证:平面PDC⊥平面PBC. (2)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF,证明你的结论.

解:(1)证明:PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC, 又BC⊥CD,∴BC⊥平面PDC, BC⊂平面PBC,∴平面PDC⊥平面PBC. (2)由(1)可知BC⊥DE, ∵PD=DC,E为PC的中点, ∴DE⊥PC.又OE⊥PC, ∴DE⊥平面PBC,∴DE⊥PB, 过D作DF⊥PB于F,DF∩DE于D,连接EF, ∴PB⊥平面DEF.

解题方法拾遗 【例4】在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于D,E(图1),沿DE将△ADE折起,使得平面ADE⊥平面BDEC(图2).

(1)若F是AB的中点,求证:CF∥平面ADE; (2)若P是AC上任意一点,求证:平面ACD⊥平面PBE.

[解] (1)取BD的中点为M,连接FM,CM, ∵F为AB的中点,∴MF∥AD, 由题知△BCD为等边三角形, ∴CM⊥BD,又DE⊥BD, ∴CM∥DE, ∴平面CFM∥平面ADE, 又CF⊂平面CFM,且CF⊄平面ADE. ∴CF∥平面ADE.

(2)由平面几何知识,得BE⊥CD,AD⊥DE, ∵平面ADE⊥平面BDEC, 平面ADE∩平面BDEC=DE, ∴AD⊥平面BDEC,∴AD⊥BE, ∵CD∩AD=D,∴BE⊥平面ACD, 又BE⊂平面PBE,∴平面ACD⊥平面PBE.

考向精测 1.如图所示,四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为矩形,△PAD为等腰三角形,∠APD=90°,平面PAD⊥平面ABCD,且AB=1,AD=2,E ､F分别为PC和BD的中点. (1)证明:EF∥平面PAD; (2)证明:AP⊥平面PCD.

证明:(1)如图,连接AC. ∵四边形ABCD为矩形,且F是BD的中点. ∴F也是AC的中点. 又E是PC的中点, EF∥AP, ∵EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD, ∴EF∥平面PAD.

第四十二讲 空间中的垂直关系