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《 统计学前沿讲座 》. 协整理论与 ARCH 模型. 《 统计学前沿讲座 》 协整理论与 ARCH 模型. 本次讲座分为三个部分 1 . 2003 年诺贝尔经济学奖获得者简介 2 .协整理论及其误差修正模型( ECM )介绍 3 .自回归条件异方差模型( ARCH )介绍. 1 . 2003 年诺贝尔经济学奖获得者简介. 《 统计学前沿讲座 》 协整理论与 ARCH 模型. 《 统计学前沿讲座 》 协整理论与 ARCH 模型. 1 . 2003 年诺贝尔经济学奖获得者简介.

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《统计学前沿讲座》

协整理论与ARCH模型


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《统计学前沿讲座》 协整理论与ARCH 模型

  • 本次讲座分为三个部分

  • 1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍


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1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

《统计学前沿讲座》

协整理论与ARCH 模型


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《统计学前沿讲座》

协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 2003年10月8日,随着瑞典皇家科学院的宣布著名的计量经济学家---美国纽约大学的罗伯特.恩格尔(Robert Engle)教授和加州大学圣迭哥分校的克莱夫.格兰杰(Clive Granger)教授获得当年的诺贝尔经济学奖。

  • 表彰他们在“经济时间序列的统计方法”的两个关键领域——时变波动性和非平稳性,所作出的突破性贡献。


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《统计学前沿讲座》

协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 时间序列分析是数量经济分析的核心内容之一。任何一维依时间有序排列的观测值序列都可以看作是一个时间序列。现代宏观经济学和金融经济学的实证研究大量建立在时间序列分析基础上。

  • 1989年诺贝尔经济学奖得主哈维默(Haavelmo)的工作使得时间序列数据作为随机过程的实现成为共识,自从博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins)等人提出平稳时间序列的ARMA(B-J)模型以后,以一般线性模型(包括线性联立方程)和平稳随机过程为基础的经典经济计量理论和模型日趋成熟。

  • 但是,经典理论的假设与大多数宏观经济和金融时间序列数据并不吻合,它忽略了这些数据共有的两个重要特性,即时间序列数据的非平稳性和随时间变动的异方差性,这使得经典理论和模型的运用受到很大局限。


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《统计学前沿讲座》

协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 克莱夫·格兰杰教授和罗伯特·恩格尔教授在改进时间序列分析方法上取得了突破性的进展,他们分别引入了协整理论(Cointegration)和自回归条件异方差性模型(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,简称ARCH模型),这两种新的统计方法恰好抓住时间序列数据上述两个重要特性,从而并被广泛用于金融市场分析和宏观经济预测,对经济理论研究和应用起到了重要作用。


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协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 罗伯特·恩格尔1942年生于美国纽约州的锡拉丘兹。1969年获得康奈尔大学经济学博士学位,同年成为麻省理工学院副教授。1975年转到加州大学圣迭戈分校工作,并于1990年晋升该校经济学系主任。2000年至今恩格尔在纽约大学斯特恩商学院任教授。

  • 恩格尔教授和格兰杰教授在协整理论等领域有长期合作关系。作为金融市场分析家,他对金融计量经济学的兴趣涉及证券、利率、汇率和期权等。恩格尔在80年代初期提出的自回归条件异方差模型(ARCH),是金融经济计量学领域过去20年中里程碑式的学术成果。


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协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 1982年,恩格尔教授开创性地引入ARCH模型来刻画金融资产的价格变动行为,他在研究中发现,非线性时间序列模型中随机扰动项的方差常常是不稳定的,它不仅受过去(价格)波动冲击的影响,并且大幅波动往往聚集在某些时段。为描述和预测这类现象,恩格尔假设价格时间序列随机扰动项的无条件方差是一个常数,但它的条件方差是过去随机扰动项的函数。这一假设使ARCH模型较好捕捉了金融时间序列数据中存在的变异性聚类现象。

  • “自回归条件异方差模型”(ARCH模型),已经被广泛应用于经济与金融领域的时间序列分析。恩格尔的发明使得市场分析师以及投资人能够预测股票波动并评估风险。

  • 瑞典皇家科学院称,“他的ARCH模型不仅为研究者,而且为市场分析师们在资产定价和投资组合风险评估方面提供了不可或缺的工具。”


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协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 恩格尔的学生博勒斯莱文(Bollerslev,1986)引入的广义ARCH模型(即GARCH模型)是对ARCH模型影响最大的拓展研究。以及随后陆续提出的ARCH-M、TIGRCH、EGARCH等一系列ARCH族的推广模型,这些拓展模型与原有的ARCH模型构成了一套比较完整的ARCH族计量模型体系。

  • 20多年来,恩格尔一直走在时间变异性领域研究的最前沿,并在若干方面作了拓展性研究,极大地丰富了AECH模型的解释能力。恩格尔等(1998)引入自回归条件持续(ACD)模型,来描述在过去信息已知时,下一个事件发生(交易)时间的概率分布。德夫(Dufour)和恩格尔(2000)采用向量自回归方法证明,交易频率越高,价格及其波动对交易的反映越强烈,利用诸如交易头寸等经济变量,可以预测交易到来时间。这些模型为市场设计者和风险管理人员提供了非常有价值的信息。


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1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 克莱夫·格兰杰1934年生于英国威尔士的斯旺西。1955年获得诺丁汉大学颁发的首批经济学与数学联合学位,随后留校担任数学系统计学教师。

  • 1959年获诺丁汉大学统计学博士学位。1974年移居美国后,格兰杰在加州大学圣迭戈分校经济学院任教,是该学院经济计量学研究的开创者,现为该校的荣誉退休教授。格兰杰曾担任美国西部经济学联合会主席,并于2002年当选为美国经济学联合会杰出资深会员。


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协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 任何时间序列数据都可以视为某个随机过程的一个(特殊)实现,这一方法允许研究者使用统计推断来构建和检验回归方程,导出经济变量之间的关系。传统的时间序列分析大量考察的是所谓平稳随机过程,保证了普通最小二乘法得到的估计量具有一致性和渐近正态性。然而在实际中,大多数宏观经济和金融时间序列数据是非平稳性,当经典的平稳随机过程理论和模型用于非平稳时间序列数据的分析时,往往会推断出毫不相关的变量在统计上却显著相关的结论,这一结论显然是不合理的。 但是,鉴于非平稳数据的特性,如何设计出能够排除短期波动干扰,揭示潜在长期关系的统计方法构成了对经济学家的巨大挑战。长期以来,研究者常用的解决办法是对非平稳序列数据进行差分,然后用差分项序列建模。但是,建立在差分基础上的计量模型往往丢失了数据中包含的长期信息,无法判断变量间的长期变动情况。


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协整理论与ARCH 模型

1.2003年诺贝尔经济学奖获得者简介

  • 格兰杰引入的协整理论能够把时间序列分析中短期与长期模型的优点结合起来,为非平稳时间序列的建模提供了较好的解决方法。在80年代发表的一系列重要论文中,格兰杰教授提出了单整阶数(degree of integration)概念,并证明若干非平稳时间序列(具有同阶单整)的特定线性组合可能呈现出平稳性,即它们之间存在“协整关系” 。

  • 在协整概念的基础上,格兰杰和恩格尔共同提出了协整向量估计和检验的EG两步法(恩格尔—格兰杰检验)。

  • 格兰杰教授的另一项主要学术贡献是格兰杰因果性检验,他巧妙地应用条件概率理论来定义因果关系,并用时间序列分析技术排除偶然性因素的影响。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

《统计学前沿讲座》

协整理论与ARCH 模型


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.1.协整理论

  • 2.2.误差修正模型(ECM)

  • 2.3.江苏公路发展与GDP增长的协整分析

  • 2.4.我国房价与地价的协整分析


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.1.协整理论

  • 2.1.1.平稳性

  • 经济数据往往是非平稳的。所谓“非平稳性”,简单地讲,即经济变量没有明显地返回到常数或线性趋势的倾向,是“平稳性”的反面。

  • “平稳性” 有严平稳性与弱平稳性之分。

  • 严平稳

  • 所谓严平稳(strictly stationary)序列,要求序列的分布平稳,即


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 弱平稳

  • 所谓弱平稳(weak stationary)序列,要求一个序列过程{y}满足以下3个条件,即

  • 1.y的数学期望存在,并独立于时间t;

  • 2.y的方差是一个有限的正数,并独立于时间t;

  • 3.y的协方差是一个关于t-s有限函数,但不是t或s的函数。

  • 一般也简记为,

  • 为自协方差函数,只与k=t-s有关,与t无关。因此,弱平稳也称为协方差平稳。


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 白噪声

  • 白噪声序列(white noise time series)属于平稳序列。

  • 1.

  • 2.

  • 3.


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 随机游走

  • 随机游走序列(random walk)属于非平稳序列。有


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.1.2.单位根与单整

  • 单位根过程(unit root process)意味着一个时间序列的均值,或协方差随时间t而改变。

  • 当 中的 , 为一平稳过程时,该过程就是单位根过程。单位根过程是非平稳的。随机游走序列就是典型的一种单位根过程。

  • 若单位根过程经过一阶差分之后,成为平稳过程,则称时间序列{Yt}为一阶单整(integration)序列,记为I(1)。

  • 一般的,若时间序列{Yt}经过d阶差分之后,成为平稳过程,则称其为d阶单整序列,记为I(d)。

  • d为单整阶数,表示序列中包含的单位根个数。


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.1.3.协整理论

  • 格兰杰的贡献首先在于揭示了在非平稳序列间相互关系的分析中,简单套用最小二乘方法是危险的。

  • 伪回归

  • {xt}和{yt}为互不相关的两个随机游走序列。

  • 由这两个随机游动序列构造的线形回归模型,及其误差项方差为


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 其中{us}和{vs}为独立同分布零均值有限方差的白噪声序列。由于{us}和{vs}的相互独立性,因此{xt}和{yt}也相互独立。但简单地套用最小二乘方法估计由时间序列{xt}和{yt},构成的线性回归方程中的回归系数应为0;然而,采用标准的t检验却常拒绝回归系数为0的原假设,似乎表明{xt}和{yt}存在某种相关性。这种现象格兰杰称之为虚假回归(spurious regression)。这时,通常的t检验、F检验等均失效。

  • 因此,套用标准(针对平稳序列)的最小二乘方法于非平稳序列间相互关系的分析是危险的。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 协整关系

  • 时间序列变量之间的协整关系研究是20世纪80年代末到90年代以来计量经济学方法的重大突破。这一方法的基本思想是, 如果两个或两个以上的时间序列变量是非平稳的, 但它们的某种线性组合都表现出平稳性, 则这些变量之间存在长期均衡关系,即协整关系。

  • 如果序列{yt}经过d次差分后具有平稳性,则称该序列为d阶单整序列, 表示为I(d)。如果两个I(d)序列的线性组合得到一个变量为I(0),则认为这两个变量是协整的。

  • 从经济学意义讲,这种协整关系的存在便可以通过其它变量的变化来影响另一变量水平值的变化。

  • 格兰杰的创新性贡献在于提出了“协整”的概念。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 若先对{xt}和{yt}作平稳化处理,差分后形成平稳序列,然后对{xt}和{yt}按标准最小二乘理论建立模型。但这样建立的模型仅能刻画经济变量的短期动态关系,而不能描述经济变量间的长期动态均衡关系(经济理论大多基于价格水平的非平稳经济变量序列)。

  • 格兰杰的敏锐洞察力在于:对于

  • 非平稳序列{xt}和{yt},在某些情况可能存在某常数b使得为平稳序列,表明经济变量{xt}和{yt}存在某种长期均衡关系,平稳误差序列{ }代表着某种短期的扰动。

  • 格兰杰(1981)称这种非平稳变量之间的长期均衡关系为“协整(cointegration)”关系。格兰杰(1983)进一步提出了Granger定理,(并在平稳误差序列{ }的基础上)建立了误差修正模型。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.2.误差修正模型(ECM)

  • 2.2.1.单位根检验

  • DF(Dickey-Fuller)检验 (由Dickey和Fuller(1979)提出 )

  • 考虑一个AR(1)过程,只要有 ,序列就是平稳的。所以将对时间序列平稳型的检验,转为检验 是否严格小于1。

  • 一般采用以下的检验统计量

  • 式中 ,检验假设为


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 根据序列{yt}的具体性质不同,DF检验还有以下两种形式。即

  • 包含了常数项的DF的检验形式

  • 适用于具有非0均值,但没有时间趋势的时间序列;

  • 包含了常数项和趋势项的DF检验形式

  • 适用于具有非0均值和时间趋势的时间序列;


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • ADF(Augmented-Dickey-Fuller)检验。

  • 考虑到在DF检验中,由于序列含有高阶滞后相关,会破坏随机扰动项为白噪声的假定,对DF检验进行了扩展,假定时间序列服从于AR(p)过程,p为滞后的阶数,即ADF(Augmented-Dickey-Fuller)检验。有

  • 同样还有以下两种形式。即包含了常数项的

  • 适用于具有非0均值,但没有时间趋势的时间序列;

  • 包含了常数项和趋势项的

  • 适用于具有非0均值和时间趋势的时间序列;


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.2.2.EG两步法

  • 第一步

  • 检验时间序列{xt}和{yt}是否具有单整性,并确定其单整的阶数。

  • 可以采用单位根检验的DF检验或ADF检验方法进行。

  • 当时间序列{xt}和{yt}具有相同阶数的单整性质时,进入第二步,否则停止。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 第二步

  • 判断时间序列{xt}和{yt}是否具有长期均衡关系。

  • 构建长期均衡模型。

  • 采用OLS方法进行估计,这样协整检验就转换为对方程的误差项是否存在单位根的检验。即可以利用方程估计的误差项进行DF检验或ADF检验,来确定其平稳性。

  • 当检验证明误差项为平稳时间序列时,可以认定时间序列{xt}和{yt}之间存在长期均衡关系,存在协整关系。

  • 在通过协整检验之后,可以排除“伪回归”可能,在其基础上,才能进行因果分析,和构建误差修正模型。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.2.3.因果检验

  • 格兰杰(Granger)因果检验

  • 格兰杰因果检验是专门用于判别时间序列{xt}是否为时间序列{yt}变动产生原因的统计检验方法。格兰杰因果检验首先估计出当前{yt}的数值被滞后k期取值所解释的水平,然后验证序列{xt}的滞后值引入之后是否能够提高对于序列{yt}的解释水平,及其具体程度。一般需要同时检验问题的另一方面,即辨析序列{xt}是否为序列{yt}的格兰杰成因。所以需要计算如下的双变量回归。

  • 零假设为


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.2.4.误差修正模型(ECM)

  • DHSY模型

  • 误差修正模型(ECM Error Correction Model)的基本形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo(1978)提出的,称为DHSY模型。

  • 将以上长期均衡模型整理为一阶差分的形式,有

  • 即得到误差修正模型(ECM)。并将式中的为误差修正项

  • 记为ecm。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 因变量的短期波动,一方面受到自变量短期波动的影响,另一方面取决于ecm。若时间序列{x}和时间序列{y}之间存在长期均衡关系,有

  • 所以ecm反映了时间序列{y}在短期波动中偏离其长期关系的程度,就是时间序列{x}和时间序列{y}长期均衡方程的误差项,因而又称为均衡误差。误差修正模型(ECM)又可记为

  • 由于该误差修正模型经济意义明确,便于采用OLS估计,采用该式计算到误差修正模型的估计方程。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2.3.江苏公路发展与GDP增长的协整分析

  • 1、基本数据

  • 江苏省国内生产总值(GDP)与江苏省公路总里程(ROAD)


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2、单位根检验

  • 江苏省公路总里程ROAD 不含趋势项和常数,滞后1期。

  • 含趋势项和常数,滞后1期。

  • 江苏省国内生产总值GDP 含趋势项和常数,滞后1期。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 3、单整检验

  • 江苏省公路总里程ROAD 不含趋势项和常数,滞后1期,一阶差分。

  • 不含趋势项和常数,滞后1期,二阶差分。

  • 因此,有

  • 江苏省国内生产总值GDP 不含趋势项和常数,滞后1期,二阶差分。

  • 因此,有


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  • 4、格兰杰(Granger)因果检验

  • Lags: 1

  • Lags: 2

  • Lags: 3

  • 江苏省国内生产总值GDP是引致江苏省公路总里程ROAD增长的格兰杰原因。说明GDP对ROAD的需求拉动和收入推动影响主要在滞后1-2年反映出来。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 5、估计长期均衡方程(输入命令:road gdp road(-2) gdp(-2) c 回归)

  • 根据以上的检验结果,进入协整分析EG两步法的第二步。有长期均衡模型


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  • 6、对长期均衡方程进行协整检验

  • 不含趋势项和常数,滞后1期。

  • 检验证明误差项平稳,不存在单位根。由此可以认定时间序列ROAD和GDP之间存在长期均衡关系,即存在协整关系。


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  • 7、估计误差修正模型(ECM)

  • 估计的误差修正模型(ECM)的方程为

  • 估计的长期均衡方程为


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  • 2.4.我国房价与地价的协整分析

  • 1、文章及背景

  • “地价与房价——兼与任志强先生商榷”

  • 作者:李宏瑾,中国人民银行营业管理部金融研究处,中国人民大学财政金融学院博士。

  • 该文运用1998年以来我国房屋价格和土地交易价格指数的季度数据,根据格兰杰因果检验的方法,表明近年来房价是推动土地价格上涨的原因,而土地价格则始终不是房价上涨的原因。

  • 2005年8月5日,中国人民银行发布了房地产金融分析小组《2004年中国房地产金融报告》,引起了社会上的广泛关注。

  • 华远集团总裁任志强先生报告发布不到一个星期,就在各大门户网站上公开了其题为《地产报告逻辑混乱-央行报告中的疑问》一文,洋洋数万言,处处直指央行报告的不足。


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 文中题为“关于价格的误导”的第五部分,在承认房价一级市场连年上涨事实之后,指出“央行的报告则带有明显的误导性作用,与销售价格指数相对应的应是土地价格定基指数和家庭可支配收入定基指数。假如将这三个指数关系放在一张图上分析,会明确的看出土地价格的定基指数上涨是造成房价上涨的重要因素”。

  • 应该说,从表面上看,任先生的成本增加说更符合人们一般的常识。但是,我们从数据上看地价与房价之间的密切关系和一般的常识推理,就能够有十分充足的理由说确是地价推动了房价了吗?对此,我们还需要进一步的探究,并与任先生商榷。


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2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 2、基本情况

  • 居民普通住宅用地价格指数与普通住宅销售价格指数,地价与房价的长期趋势

  • 对房价和地价的长期趋势数据进行最小二乘回归,可以得到如下方程:

  • 房价=-39.83176+1.399740×地价

  • (-18.03392) (65.83221) R2=0.994,调整R2=0.993

  • 不仅从计量模型上可以看到房价确实与地价关系密切,而且从各个图中都可以看到,近些年来土地价指数显然高于房价指数,因而,地价推动房价似乎就更有充分的理由了,任先生的观点看来是正确无误的了!


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 3、房价与地价的格兰杰因果检验


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协整理论与ARCH 模型

2.协整理论及其误差修正模型(ECM)介绍

  • 由此我们可以得到比较有把握的结论是,原来所认为的,在我国地价过高是引起了房地产价格过高的原因不同,恰恰是相反,房价反而是地价的原因,任先生的观念看来是经不住统计的检验的,这个观念是需要修正的。

  • 由于土地成本是房地产开发中最为重要的一个成本项目,而随着国家土地出让管理的规范,土地一级市场价格确实有所上升。故此,在最近有关房价过高的讨论中,很多人将地价归为其中的一个重要原因。

  • 分析表明,与这种传统的认识恰恰相反,在我国地价始终不成为房价的原因,而房价却是地价的原因,将房价过高归咎于地价过高,并进而反对近年来国家规范土地管理等相关政策措施的观点,显然是站不住脚的。

  • 当前我国房地产价格之所以居高不下,很大程度上是我国房地产市场发育不足造成的,不能由于现有利益集团的各种寻租行为而干扰了决策的制定与执行,也只有这样,才能够从根本上确保我国房地产市场取得长远、健康的发展。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

《统计学前沿讲座》

协整理论与ARCH 模型


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协整理论与ARCH 模型

3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.1.基本思想

  • 3.2.ARCH模型

  • 3.3.GARCH模型

  • 3.4.ARCH-M模型

  • 3.5.非对称的ARCH模型

  • 3.6.对上海证交所基金指数的ARCH分析


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协整理论与ARCH 模型

3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.1.基本思想

  • 1960年代资本资产定价模型(CAPM)的出现,进一步将资产的收益与风险直接联系起来,促进了有关金融时间序列的方差(或曰波动性)模型的发展。

  • Mandelbrot (1963)和 Fama (1965)首先总结了金融资产波动的特征,最为引人注目的一个特点是波动具有正的序列自相关性或者说是聚类性。即“大的波动与大的波动相随,小的波动与小的波动相随”(Mandelbrot, 1963)。

  • 市场收益率一阶矩的相关性以及线性格兰杰因果关系长期以来一直是金融市场中一个重要的研究领域 (如Panton等, 1976; Koch等, 1991)。

  • 在最近二十年间针对二阶矩的新的计量工具迅速发展,其中最为常用也是最为重要的工具之一是自回归条件异方差(ARCH) 模型 (Engle,1982),它通过对条件方差使用自回归方式设定一个线性函数形式来模拟这些不可观测的二阶矩变动。


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协整理论与ARCH 模型

3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 传统的计量经济建模主要关注的是一阶矩的条件均值建模, 如自回归模型:

  • 用于经济结构的分析与预测等,其中模型的误差序列为零均值的不相关序列,假定具有恒定不变的条件方差而没有考虑二阶矩的建模。

  • 金融经济学家早就注意到收益率的波动性有聚集现象,而且许多资产收益率的边际分布具有尖峰厚尾性。

  • 尽管许多研究者知道这一现象,但只有在Engle(1982)创造性地提出以自回归条件异方差(ARCH)模型对时变的波动率进行建模才标志着一个真正的突破。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 恩格尔的首先贡献在于提出了ARCH模型并建立了ARCH模型的参数估计与检验的统计方法与理论。Engle(1982)采用过去的局部方差(local variance), 考虑模型中的残差序列具有时变的条件方差,并对条件方差ht作自回归建模:

  • 其中

  • 这里p为模型的阶数,称为线性ARCH(p)模型。

  • 恩格尔在1982的经典论文中,发展了ARCH(p)模型的估计理论,建立了极大似然估计一致性与渐近正态性的条件,并提出了条件异方差的Lagrange 乘数检验。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.2.ARCH模型

  • 3.2.1.ARCH模型的结构

  • 对于通常的回归模型:

  • 其中,误差项为白燥声过程,若其平方服从AR(q)过程即

  • 并有 ,即为自回归条件异方差(ARCH)模型。并称时间序列服从q阶的ARCH过程,记为 。

  • 这样,由通常的回归模型和自回归条件异方差(ARCH)模型共同构成的模型称为回归—ARCH模型。

  • 若有AR(p)模型误差项的平方服从AR(q)过程,也可以由AR(p)与自回归条件异方差(ARCH)模型共同构成AR—ARCH模型。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.2.2.ARCH模型的意义

  • 显然,自回归条件异方差(ARCH)模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行建摸,以充分地提取随机扰动项序列中的信息,最终使主体模型的误差项的平方构造的模型的残差项 ,即成为白噪声过程。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.2.3.ARCH模型的一般形式

  • 为了便于研究以及同其它拓展模型相联系,ARCH模型一般表示为

  • 其中, 为白噪声过程;

  • 并且 满足条件方差非负, 以保证ARCH平稳。

  • 这样,对于任意时刻t, 的条件期望为

  • 条件方差为


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.2.4.ARCH模型的检验

  • 恩格尔(1982)提出了测定序列中是否存在ARCH的拉格朗日乘数法,一般也记为LM检验。

  • 若主体模型的随机扰动项服从q阶的ARCH过程,可建立辅助方程

  • 若至少有一个回归系数不显著为0,即序列存在ARCH效应。

  • LM检验量为


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • 3.3.GARCH模型

  • 恩格尔的学生Bollerslev(1986)提出的GARCH模型,可很好地减少实际应用中ARCH模型的参数个数。

  • GARCH模型将随机扰动项的滞后项引入到原ARCH模型中,在条件方差的方程中加入了条件方差自身的滞后项,即自回归部分。有

  • 通常称 为ARCH项, 为GARCH项,q和p分别为它们的滞后阶数。为保证条件方差非负,一般要求系数均大于等于0。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • GARCH模型将经济变量的波动来源划分为两部分:

  • 变量过去的波动 和外部冲击 ,而 和 则分别反映了它们对本期波动ht的作用强度。为了保证GARCH(p,q)是弱平稳的,存在参数约束条件。

  • GARCH模型很好地解决了ARCH模型阶数过多的问题。低阶的GARCH可以取代高阶的ARCH。

  • 在实际应用中,Taylor(1986)独立提出的GARCH(1,1)模型是应用最普遍的模型。


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  • 3.4.ARCH-M模型

  • 在金融模型中,高的收益往往伴随着高的风险,反映了期望收益与波动性测度之间的交互作用。

  • 恩格尔关于ARCH模型的第二个重要贡献在于提出了ARCH-M模型。ARCH和GARCH模型提供了条件二阶矩建模的有效工具,但忽略了金融理论常关注收益率的二阶矩(波动性)与一阶矩(期望收益率)之间的关系。

  • 在回归—ARCH模型中,将主方程(均值方程)的回归模型中加入风险补偿项,就构成了ARCH-M(ARCH-in-mean)模型,即

  • 可以将风险补偿项或加入到ARCH族任意一种模型中,构造出ARCH-M模型,并利用显著性检验,来判断这种影响是否存在。


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  • 3.5.非对称的ARCH模型

  • 由ARCH模型和GARCH模型的条件方差的方程可知,ARCH模型和GARCH模型均是对称的模型,不能反映上升和下降时,对于条件方差的不同效用。

  • 在投资市场上,往往资产价格下跌时,伴随着更为剧烈的波动特征。因此,提出了非对称的ARCH模型。


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  • TGARCH模型

  • TGARCH(Threshold GARCH)模型(门槛GARCH模型)由Zakoian(1990)提出,其条件方差为

  • 式中是一个名义变量,有

  • 以反映资产价格上涨和下跌时的信息,对条件方差的不同影响。

  • 若 ,说明信息的作用是非对称的。而当 时,认为存在杠杆(leverage)效应。


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  • EGARCH模型

  • EGARCH模型,即指数(Exponential GARCH)指数GARCH模型。

  • EGARCH模型由Nelson(1991)提出。其条件方差表达式为

  • 由于模型的条件方差采用了自然对数形式,意味着条件方差非负,并且其杠杆效应是指数型的。若 ,则说明信息作用是非对称的,存在杠杆效应。


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  • 3.6.对上海证交所基金指数的ARCH分析

  • 1、基本数据

  • 选取2000年6月19日至2005年6月30日的基金指数收盘价为样本,共有1212个观测值。上海证券交易所从2000年6月9日起开始正式发布基金指数,故该取样区间几乎覆盖了自基金正式发布以来的所有数据。


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  • 2、建立主模型

  • R = 0.9997912728*R(-1)

  • 残差项为白噪声过程。


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  • LM检验 滞后1期 存在 ARCH


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  • 3、估计ARCH方程 ARCH(1)

  • C,ARCH(1)>0


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  • GARCH(1,1)

  • C, ARCH(1), GARCH(1)>0

  • ARCH(1)+ GARCH(1)= 0.220337+0.731115=0.951452<1


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  • GARCH-M(1,1)

  • 期望收益与波动性测度之间不存在显著性。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • TGARCH(1,1)

  • (RESID<0)*ARCH(1)即为杠杆效应系数的估计值,在0.0174水平上显著,因此存在杠杆效应。


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  • EGARCH(1,1)

  • RES/SQR[GARCH](1) 为杠杆效应系数的估计值,由于有在0.0162水平下显著,因此存在杠杆效应。


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3.自回归条件异方差模型(ARCH)介绍

  • EGARCH-M(1,1)


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