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关于 “ 微元法 ” 的研究

关于 “ 微元法 ” 的研究. 朱建廉. 南京市 金陵中学. 关于 “ 微元法 ” 的 理性研究. 关于 “ 微元法 ” 的 运用研究. 关于 “ 微元法 ” 的 理性研究. 1 、基本功能. 2 、基本原理. 3 、操作步骤. 4 、取元原则. 5 、换元目标. 6 、换元技巧. 1 、基本功能. ——“ 化变为恒 ”. 即 ：把变化的事物与过程转化为不变的事物与过程. ——“ 釜底抽薪 ”. 2 、基本原理. 即 ：通过限制 “ 时空 ” 来限制 “ 变化 ” 而实现化变为恒. —— 取元. —— 表达. —— 叠加. 3 、操作步骤.

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关于 “ 微元法 ” 的研究

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Presentation Transcript

  1. 关于“微元法”的研究 朱建廉 南京市 金陵中学

  2. 关于“微元法”的理性研究 关于“微元法”的运用研究

  3. 关于“微元法”的理性研究 1、基本功能 2、基本原理 3、操作步骤 4、取元原则 5、换元目标 6、换元技巧

  4. 1、基本功能 ——“化变为恒” 即：把变化的事物与过程转化为不变的事物与过程 ——“釜底抽薪” 2、基本原理 即：通过限制“时空”来限制“变化”而实现化变为恒

  5. ——取元 ——表达 ——叠加 3、操作步骤 （1）“取元” ——选取“微元”反映“元”事物或“元”过程 （2）“表达” ——视“元”事物或“元”过程为恒定而表达 （3）“叠加” ——在叠加域内对“元”事物（过程）叠加

  6. ——可加 ——有序 ——平权 4、取元原则 （1）“可加性”原则 ——选取“微元”必须具备“可加性”特征 （2）“有序性”原则 ——所选“微元”呈“有序性”而便于叠加 （3）“平权性”原则 ——使“微元”的“权函数”为常量而平权

  7. 平权 如果 换元 均为常量 平权 与 5、换元目标

  8. 6、换元技巧 （1）“时间元”与“空间元”间的相互代换 ——运动的时空代换 （2）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换 ——维度的适当转换 （3）“线元”与“角元”间的相互代换 ——形式的适当调整 （4）“孤立元”与“组合元”间的相互代换 ——对称的充分利用

  9. 关于“微元法”的运用研究

  10. 例1：如图所示，人牵着绳在岸上运动，而绳绕过定滑轮牵着小船在水中运动。若人的运动是匀速的，则小船的运动是 （ ） A、加速运动 B、匀速运动 C、减速运动 D、无法确定 v B θ v A C 由 知： u变大 θ变大 船靠岸 选A 解： 设人的速度为v，小船的速度为u，取时间微元Δt，有

  11. v0 例2：如图所示，正方形闭合导线框以速度v0在光滑绝缘水平面上匀速运动，穿过有理想边界的匀强磁场区域后以速度v做匀速直线运动，则当完全处在磁场区域内时的运动速度u为 （ ） A、u > (v0+v)/2 B、u = （v0+v）/2 C、u < (v0+v)/2 D、无法确定

  12. 同乘时间元Δt 平权 所以选B 解： 入场 出场

  13. 例3：在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，质量为m、带正电q的小球从O点处由静止释放，其运动轨迹如图中曲线所示，重力加速度为g。求： （1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v； （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym； （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（qE>mg） 的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm。 B x O P（x，y） y 解： （1）fB不做功，于是

  14. 解： （2）沿水平方向的动力学方程为 于是 而

  15. 以（qE-mg）替换mg 解： （3）仍沿用（2）中的分析过程

  16. 例4：如图所示，空间存在着水平方向匀强磁场，磁感应强度B=5T,磁场区域的上、下边缘相距h=0.5m ，边长 L=0.2m、质量m0=0.1kg的正方形导线框abcd与质量m=0.5kg的小物块用跨过两个定滑轮的轻质细线相连，开始时线框的ab边距磁场区域下边缘h0=0.6m，而小物块则位于倾角θ=370的斜面上的O点处，将小物块和线框由静止释放，小物块沿斜面滑至P点时线框的ab边恰好进入磁场，接着小物块继续沿斜面下滑s=0.6m至Q点而静止，线框所在平面始终与磁场方向垂直，斜面上OP段光滑而PQ段与小物块间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度取g=10m/s2,sin370=0.6。求 （1）线框的ab边刚进入磁场时的速度v0 ; m 0 P （2）线框中产生的焦耳热 Q ; h Q h0 （3）线框的电阻R。 θ a b c d

  17. 解：（1）从静止释放到线框的ab边恰好进入磁场的过程中，小物块和线框构成的整体机械能守恒，于是有 由此解得 （2）从静止释放到小物块与线框最终静止，小物块减少的重力势能分别转化为线框增加的重力势能、小物块在PQ段克服摩擦做功产生的摩擦热和线框中产生的焦耳热，于是 由此解得

  18. （3）设线框在进、出磁场的过程中某时刻速度为v，线框全部进入磁场时的速度为u，则以小物块和线框构成的整体为研究对象可得 考虑到 所以线框全部进入磁场时将做匀速直线运动，而 由此可得

  19. x：0—L v：v0—u x：0—L/2 v：u—0 针对微元表达式在“入场”和“出场”阶段实施叠加 于是有

  20. 例5：如图所示，顶角θ=45°的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨接触点a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。t=0时，导体棒位于顶角O处，求： （1）t 时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向； （2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式； （3）导体棒在0～t 时间内产生的焦耳热Q； （4）若在t0时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。 y M B a v0 x θ O b N （1） 解： I=

  21. 例5：如图所示，顶角θ=45°的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨接触点a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。t=0时，导体棒位于顶角O处，求： （1）t 时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向； （2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式； （3）导体棒在0～t 时间内产生的焦耳热Q； （4）若在t0时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。 （2） 解： y M B a v0 x θ O b N

  22. 例5：如图所示，顶角θ=45°的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨接触点a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。t=0时，导体棒位于顶角O处，求： （1）t 时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向； （2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式； （3）导体棒在0～t 时间内产生的焦耳热Q； （4）若在t0时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。 （3） 解： y M F B Ft a v0 x θ 0 O t t b N =Q W

  23. 例5：如图所示，顶角θ=45°的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。导体棒与导轨接触点a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。t=0时，导体棒位于顶角O处，求： （4）若在t0时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。 （4） 解： y M B a v0t0 x v0 x θ O b N 叠加

  24. 1、如图所示，带有动滑轮的物体放在水平面上，轻绳绕过动滑轮而一端固定、另一端又绕过定滑轮被人拉着，动滑轮与固定端之间的那段绳呈水平状态，人以速度v0匀速向右运动，则当动滑轮与定滑轮之间的那段绳与水平面夹θ角时，物体的速度为 （ ） A、 B、 C、 D、 v0 v = ? θ 练习

  25. 2、如图所示，用线相连的A、B两环分别套在水平杆和竖直杆上，今使A环以速度沿感向右匀速运动，当线与竖直杆夹角为θ时，B环的速度为多大？ v A θ B 练习

  26. 3、如图所示，以水平向右为x轴正方向、竖直向下为y轴正方向建立坐标系，坐标平面内自原点起，沿x轴正方向每隔L=0.5m有一个宽度为L的匀强磁场，磁感应强度为B=2T。取质量m=0.2kg、边长L0=0.25m、电阻R=0.8Ω的正方形导线框，使其从左上角顶点与坐标原点重合的位置起，以v0=5m/s的速度水平抛出。 （1）若导线框被悬挂在与x轴重合的光滑导轨上运动，经过时间t1、导线框的水平位移为x1时其水平速度恰好为零，此时悬挂自动解除线框沿竖直方向运动，则：求x1的大小并判断沿竖直方向所作运动的类型； （2）若导线框没被悬挂而水平抛出，经过时间t2、导线框的水平位移为x2时其水平速度恰好为零，试判断：t1与t2间的大小关系、x1与x2间的大小关系，并简要说明判断的理由。 1 2 4 3 O x/L0 v0 … y B B 练习

  27. 4、如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于竖直平面内，导轨间距为d=0.5m，导轨上横放着两根导体棒L1和L2，质量均为m=0.5kg，电阻均为R=0.1Ω，回路中其他电阻不计。整个导轨平面处在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度为B=1T。两根导体棒均可沿导轨无摩擦滑动，保持L1向上以速度v作匀速运动，在t=0时刻将靠近L1的L2由静止释放（刚释放时两棒间距可以忽略），经过一段时间后L2也作匀速运动，重力加速度取g=10m/s2。 （1）为使L2由静止释放后向下运动，L1的运动速度v应如何？ （2）若取v=3m/s，则L2的加速度a随其速度u变化的函数关系如何？ （3）若取v=3m/s，且在L2已经作匀速运动的某时刻两棒间距为x0=4m，则在此时刻之前L2下降的距离为多大？ B L1 L2 练习

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