图像变换
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图像变换. 傅立叶变换 图像 FFT DCT 变换. 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。. Fourier(1768-1830). Stephen Hawking. 函数的傅立叶变换. 函数 f ( x )的一维傅立叶变换定义为:. 其逆变换定义为:. 傅立叶变换的幅值和相角. f ( t )的傅立叶变换结果常常是虚数,可用复数形式表示为:. 则其幅值为:. 其相位为:. 相 位. 幅 值. 幅值和相角的应用. f ( t )的能量谱 :. 用幅值和相位来表示傅立叶变换 :. 离散傅立叶变换. 正变换:. 逆变换:. 二维傅立叶变换.

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Presentation Transcript

图像变换

傅立叶变换

图像FFT

DCT变换




函数的傅立叶变换

  • 函数f(x)的一维傅立叶变换定义为:

  • 其逆变换定义为:


傅立叶变换的幅值和相角

  • f(t)的傅立叶变换结果常常是虚数,可用复数形式表示为:

  • 则其幅值为:

  • 其相位为:


相 位

幅 值

幅值和相角的应用

  • f(t)的能量谱:

  • 用幅值和相位来表示傅立叶变换:


离散傅立叶变换

  • 正变换:

  • 逆变换:


二维傅立叶变换

  • 对于二维信号,二维傅立叶变换定义为:



图象的傅立叶变换例子(一)

原图像

幅度谱

相位谱


图象的傅立叶变换例子(二)

原图像

幅度谱

相位谱


快速傅立叶变换(FFT)

  • 加快离散傅立叶变换的速度

  • 计算中有很多重复的内容

  • Cooley和tukey于1965年提出:

    • 将原始的N点序列依次分解为一系列短序列;

    • 求出这些短序列的离散傅立叶变换;

    • 组合出所需的变换值;

    • 计算量(乘除法):




FFT原理

  • 令:

  • 则DFT为:

  • 假定N为2的正整数幂:



  • 当K>M-1时:

  • 欧拉公式:

  • 当theta=pi时:


  • 意义:对一个长度为N的序列进行傅立叶变换可以通过将其分成两半计算,对第一部分的计算需要通过计算两个长度为N/2长度序列的傅立叶变换式进行,然后利用这两个长度为N/2的序列可以得到第二部分的值。


Matlab fft
利用matlab实现FFT

  • t = 0:0.001:0.6;

  • x = sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);

  • y = x + 2*randn(size(t));

  • Figure; plot(1000*t(1:50),y(1:50))

  • title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')

  • xlabel('time (milliseconds)')


Matlab fft1
利用matlab实现FFT

  • Y = fft(y,512);

  • Pyy = Y.* conj(Y) / 512;

  • f = 1000*(0:256)/512;

  • figure; plot(f,Pyy(1:257))

  • title('Frequency content of y')

  • xlabel('frequency (Hz)')


图像FFT的函数

  • fft2(X) = fft(fft(X).').'

  • fftshift(F)

  • ifft2(F)


对图像进行FFT

  • 产生图像:

    • f = zeros(30,30);

    • f(5:24,13:17) = 1;

    • figure;

    • imshow(f,'InitialMagnification','fit')


对图像进行FFT

  • 计算图像的FFT:

    • f = zeros(30,30);

    • f(5:24,13:17) = 1;

    • figure;

    • imshow(f,'InitialMagnification','fit')


对图像进行FFT

  • 计算图像的细化FFT(填料):

    • F = fft2(f,256,256);

    • figure;

    • imshow(log(abs(F)),[-1 5]);

    • colormap(jet); colorbar


离散余弦变换

  • DCT是实值变换

  • 广泛应用于语音和图像的压缩