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Algoritmi e Strutture Dati

Algoritmi e Strutture Dati. Alberi Binari di Ricerca. Alberi binari di ricerca. Motivazioni gestione e ricerche in grosse quantità di dati liste ed array non sono adeguati perché inefficienti in tempo O ( n ) o in spazio Esempi : Mantenimento di archivi ( DataBase )

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Algoritmi e Strutture Dati

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Presentation Transcript

  1. Algoritmi e Strutture Dati Alberi Binari di Ricerca

  2. Alberi binari di ricerca Motivazioni • gestione e ricerche in grosse quantità di dati • liste ed arraynon sono adeguati perché inefficienti in tempo O(n) o in spazio Esempi: • Mantenimento di archivi (DataBase) • In generale, mantenimento e gestione di corpi di dati su cui si effettuano molte ricerche.

  3. Alberi binari di ricerca Definizione:Unalbero binario di ricercaè un albero binario che soddisfa la seguente proprietà: se X è un nodo e Y è un nodo nel sottoalbero si-nistro di X, allora key[Y] key[X]; se Y è un nodo nel sottoablero destro di X allora key[Y]  key[X] T 6 8 2 1 4 3

  4. T 6 8 2 1 4 3 Alberi binari di ricerca Assumiamo che i valori nei nodi dell’albero siano tutti distinti. Assumiamo che i valori nei nodi (le chiavi) pos-sano essere ordinati. Proprietà degli ABR Per ogni nodo X, i valori nei nodi del sottoalbero sinistro sono tutti minori del valore nel nodo X, e tutti i valori nei nodi del sotto-albero destro sono maggiori del valore di X

  5. Alberi binari di ricerca: esempio T Ricerca del valore 4 6 8 2 Proprietà degli ABR Per ogni nodo X, i valori nei nodi del sottoalbero sinistro sono tutti minori del valore nel nodo X, e tutti i valori nei nodi del sotto-albero destro sono maggiori del valore di X 1 4 3

  6. Alberi binari di ricerca: esempio T 4 < 6 Ricerca del valore 4 6 8 2 Proprietà degli ABR Per ogni nodo X, i valori nei nodi del sottoalbero sinistro sono tutti minori del valore nel nodo X, e tutti i valori nei nodi del sotto-albero destro sono maggiori del valore di X 1 4 3

  7. Alberi binari di ricerca: esempio T Ricerca del valore 4 4 sta nel sottoalbero sinistro di 6 6 2 8 1 4 Proprietà degli ABR Per ogni nodo X, i valori nei nodi del sottoalbero sinistro sono tutti minori del valore nel nodo X, e tutti i valori nei nodi del sotto-albero destro sono maggiori del valore di X 3

  8. Alberi binari di ricerca: esempio T Ricerca del valore 4 4 > 2 6 8 2 1 4 Proprietà degli ABR Per ogni nodo X, i valori nei nodi del sottoalbero sinistro sono tutti minori del valore nel nodo X, e tutti i valori nei nodi del sotto-albero destro sono maggiori del valore di X 3

  9. Alberi binari di ricerca: esempio T Ricerca del valore 4 4 sta nel sottoalbero destro di 2 6 8 2 1 4 Proprietà degli ABR Per ogni nodo X, i valori nei nodi del sottoalbero sinistro sono tutti minori del valore nel nodo X, e tutti i valori nei nodi del sotto-albero destro sono maggiori del valore di X 3

  10. Alberi binari di ricerca: esempio T Ricerca del valore 4 4 = 4 : Trovato! 6 8 2 1 4 Proprietà degli ABR Per ogni nodo X, i valori nei nodi del sottoalbero sinistro sono tutti minori del valore nel nodo X, e tutti i valori nei nodi del sotto-albero destro sono maggiori del valore di X 3

  11. Alberi binari di ricerca In generale, la ricerca è confinata ai nodi posizionati lungo un singolo percorso (path) dalla radice ad una foglia h=altezza dell’albero Tempo di ricerca =O(h)

  12. Padre Key Figlio_ destro Figlio_ sinistro L’ADT albero binario di ricerca • È una specializzazione dell’ADT albero binario • Gli elementi statici sono essenzialmente gli stessi, l’unica differenza è che si assume che i dati contenuti (le chiavi) siano ordinabili secondo qualche relazione d’ordine. typedef *nodo ARB; struct { ARB padre; elemento key; ARB figlio_destro, figlio_sinsitro; } nodo;

  13. L’ADT albero binario di ricerca • Selettori: • root(T) • figlio_destro(T) • figlio_sinistro(T) • key(T) • Costruttori/Distruttori: • crea_albero() • ARB_inserisci(T,x) • ARB_cancella (T,x) • Proprietà: • vuoto(T) • Operazioni di Ricerca • ARB_ricerca(T,k) • ARB_minimo(T) • ARB_massimo(T) • ARB_successore(T,x) • ARB_predecessore(T,x)

  14. Ricerca in Alberi binari di ricerca ARB_ricerca(T,k) IF T = NIL OR k = Key[T] THEN return T IF k < Key[T] THEN ARB_ricerca(figlio_sinistro[T],k) ELSE ARB_ricerca(figlio_destro[T],k)

  15. Ricerca in Alberi binari di ricerca In generale, la ricerca è confinata ai nodi posizionati lungo un singolo percorso (path) dalla radice ad una foglia h=altezza dell’albero =O(log N)dove N è il numero di nodi nell’albero Tempo di ricerca =O(h) = O(log N) Solo se l’albero è balanciato, cioè la lunghezza del percorso minimo è vicino a quella del percorso massimo

  16. ARB: ricerca del minimo e massimo Il Minimo di 2 è 1 Il Massimo di 2 è 4 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  17. ARB: ricerca del minimo e massimo Il Minimo di 8 è 8 Il Massimo di 8 è 15 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  18. ARB: ricerca del minimo e massimo Il Minimo di T è 1 Il Massimo di T è 15 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  19. ARB: ricerca del minimo e massimo T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  20. ARB: ricerca del minimo e massimo ARB ABR-Minimo(x:ARB) WHILE figlio-sinistro[x]  NIL DO x = figlio-sinistro[x] return x ARB ABR-Massimo(x: ARB) WHILE figlio-destro[x]  NIL DO x = figlio-destro[x] return x

  21. ARB: ricerca del minimo e massimo ARB ABR-Minimo(x:ARB) WHILE figlio-sinistro[x]  NIL DO x = figlio-sinistro[x] return x ARB ABR-Massimo(x: ARB) WHILE figlio-destro[x]  NIL DO x = figlio-destro[x] return x ARB ARB_Minimo(x:ARB) IF vuoto(figlio_sinistro[x]) Then return x Else ARB_Minimo(figlio_sinistro[x])

  22. ARB: ricerca del successore Il successore di un nodo X è il più pic-colo nodomaggiore del nodo X T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  23. ARB: ricerca del successore Il successore di un nodo X è il più picco-lo nodomaggiore del nodo X Ricerca del successore delnodo 2 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  24. ARB: ricerca del successore Il successore di un nodo X è il più picco-lo nodomaggiore del nodo X Ricerca del successore delnodo 2 =nodo 3 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  25. ARB: ricerca del successore Se x ha un figlio de-stro, il successore è il minimo nodo di quel sottoalbero Ricerca del successore delnodo 2 =nodo 3 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  26. ARB: ricerca del successore Ricerca del successore delnodo 1 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  27. ARB: ricerca del successore Ricerca del successore delnodo 1 =nodo 2 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  28. ARB: ricerca del successore Se x NON ha un figlio destro, e x è figlio si-nistro del padre, il suc-cessore è il padre. Ricerca del successore delnodo 1 =nodo 2 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  29. ARB: ricerca del successore Ricerca del successore delnodo 4 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  30. ARB: ricerca del successore Ricerca del successore delnodo 4 =nodo 6 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  31. ARB: ricerca del successore Se x NON ha un figlio destro, ed è figlio destro del padre, il successore è il primo avo tale che x sta nel sottoalbero sinistro. Ricerca del successore delnodo 4 =nodo 6 T 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  32. ARB: ricerca del successore ABR-Successore(x) IF figlio-destro[x]  NIL THEN return ABR-Minimo(figlio-destro[x]) y = padre[x] WHILE y NIL AND x = figlio-destro[y] DO x = y y = padre[y] return y

  33. ARB: ricerca del successore ABR-Successore(x) IF figlio-destro[x]  NIL THEN return ABR-Minimo(figlio-destro[x]) y = padre[x] WHILE y NIL AND x = figlio-destro[y] DO x = y y = padre[y] return y Questo algoritmo assume che ogni nodo abbia il puntatoreal padre

  34. ARB: ricerca del successore II y z T 6 NIL 8 2 1 4 12 9 3 15

  35. ARB: ricerca del successore II y T 6 z 8 2 1 4 12 9 3 15

  36. ARB: ricerca del successore II T 6 y 8 2 z 1 4 12 9 3 15

  37. ARB: ricerca del successore II y z T 6 NIL 8 2 1 4 12 9 3 15

  38. ARB: ricerca del successore II y T 6 z 8 2 1 4 12 9 3 15

  39. ARB: ricerca del successore II y T 6 8 2 z 1 4 12 9 3 15

  40. ARB: ricerca del successore II y z T 6 NIL 8 2 1 4 12 9 3 15

  41. ARB: ricerca del successore II y T 6 NIL z 8 2 1 4 12 9 3 15

  42. ARB: ricerca del successore II y T 6 NIL 8 2 z 1 4 12 9 3 15

  43. ARB: ricerca del successore II y T 6 NIL 8 2 1 4 12 z 9 3 15

  44. ARB: ricerca del successore II • Inizializzo il successore a NIL • Partendo dalla radice dell’albero: • ogni volta che seguo un ramo sinistro per rag-giungere il nodo, aggiorno il successore al nodo padre; • ogni volta che seguo un ramo destro per rag-giungere il nodo, NONaggiorno il successore al nodo padre;

  45. ARB: ricerca del successore ARB ABR-Successore’(x: ARB) IF figlio-destro[x]  NIL THEN return ABR-Minimo(figlio-destro[x]) z =Root[T] y = NIL WHILE z x DO IF key[z] < key[x] THEN z = figlio-destro[z] ELSE y = z z = figlio-sinistro[z] return y

  46. ARB: ricerca del successore ricorsiva ARB ABR-Successore(x: ARB) return ABR-Successore_ric(key[x],root[x],NIL) ABR-Successore_ric(key,T,P_T) IF T  NIL THEN IF key > key[T] THEN return ABR-Successore_ric(key, figlio-destro[T],P_T) ELSE IF key < key[T] THEN return ABR-Successore_ric(key, figlio-sinistro[T],T) ELSE IF figlio-destro[T]  NIL THEN return ABR-Minimo(figlio-destro[x]) return P_T

  47. ARB: costo delle operazioni Teorema. Le operazioni di Ricerca, Minimo, Massimo, Successore e Predecessore sull’insieme dinamico Albero Binario di Ricercapossono essere eseguite in tempo O(h) dove h è l’altezza dell’albero

  48. ARB: Inserimento di un nodo (caso I) z T 5 6 8 2 1 4 12 9 3 15

  49. ARB: Inserimento di un nodo (caso I) z y T 5 5 < 6 6 Ricerca posizione del nuovo nodo 8 2 1 4 12 9 3 15

  50. ARB: Inserimento di un nodo (caso I) z T 5 5 > 2 6 y Ricerca posizione del nuovo nodo 8 2 1 4 12 9 3 15

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