Materia y pochodz z platformy edukacyjnej portalu www szkolnictwo pl
Download
1 / 21

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl - PowerPoint PPT Presentation


  • 85 Views
  • Uploaded on

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl' - yair


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Materia y pochodz z platformy edukacyjnej portalu www szkolnictwo pl

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl

Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.



TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH piękno przyrody.”

Prostokątny (kartezjański) układ współrzędnych jest najpopularniejszym narzędziem służącym do określania położenia punktu na płaszczyźnie, czy też w przestrzeni. Dzięki własnością trójkątów prostokątnych w łatwy sposób możemy obliczyć długość odcinka narysowanego w układzie współrzędnych w oparciu o współrzędne jego końców.


Uk ad wsp rz dnych
UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

Przypomnijmy sobie jak odczytujemy dane z układu współrzędnych:

Punkt A ma współrzędne (-3; 5). W skrócie zapisujemy to tak: A = (-3; 5) .

W nawiasie podajemy współrzędne zawszę w tej samej kolejności: najpierw oś X, potem oś Y.

Punkt = (x; y)


D ugo odcinka w uk adzie wsp rz dnych
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

Łatwo jest podać długość odcinka równoległego do którejś z osi układu – wystarczy policzyć ile kratek zajmuje (przez ile podziałek przechodzi)

Długość odcinka oznaczamy pionowymi kreskami:

|AB| = 3

|CD| = 4

|EF| = 5


D ugo odcinka w uk adzie wsp rz dnych1
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

Możemy także obliczyć długość na podstawie współrzędnych końców.

A = (3; 5) , B = (3; 2)

|AB| = |5 – 2| = 3


D ugo odcinka w uk adzie wsp rz dnych2
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

C = (-3; 3) , D = (-3; -1)

|CD| = |3 – (-1)| = |3 + 1|= 4

E = (-6; -4) , F = (-1; -4)

|EF| = |-6 – (-1)| = |-6 + 1| = |-5| = 5

W obliczeniach symbol |…| oznacza wartość bezwzględną. Długość nie może być ujemna.


D ugo odcinka w uk adzie wsp rz dnych3
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

A jak obliczyć długość tego odcinka?


D ugo odcinka w uk adzie wsp rz dnych4
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

Wystarczy umiejętnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. A gdzie tu trójkąt prostokątny? A tutaj: 


D ugo odcinka w uk adzie wsp rz dnych5
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

Oznaczmy sobie:x = |BC| = 3– odcinek równoległy do osi X

y = |AC| = 4 - odcinek równoległy do osi Y

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy więc:|AB|2 = x2 + y2

|AB|2 = 32 + 42

|AB|2 = 9 + 16|AB|2 = 25

|AB| = 5


D ugo odcinka w uk adzie wsp rz dnych6
DŁUGOŚĆ ODCINKA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH. piękno przyrody.”

Pytanie: jak sobie poradzić gdy nie mamy rysunku? Spójrzmy inaczej na bieżący przykład. Współrzędne punktów A i B to: A = (4; -1) , B = (1, -5). Aby obliczyć długość odcinka oznaczonego przez nas przez x, wystarczy odjąć od siebie współrzędne „iksowe” i wyciągnąć z nich wartość bezwzględną:

x = |4 – 1| = 3

Analogicznie możemy obliczyć y, z tym, że odejmujemy współrzędne „igrekowe”:

y = |-1 – (-5)| = |-1 + 5| = 4

Dalsze obliczenia są takie same jak wcześniej.


Przyk adowe zadania
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 1.

Oblicz długość odcinka którego końcami są punkty: A = (2; -3) , B = (-1; -7).

Postępujemy zgodnie ze wskazówkami z poprzedniej planszy.x = |2 – (-1)| = |2 + 1| = 3

y = |-3 – (-7)| = |-3 + 7| = 4|AB|2 = 32 + 42

|AB|2 = 9 + 16 = 25

|AB| = 5


Przyk adowe zadania1
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 1.

Oblicz długości boków narysowanego trójkąta.

Wypiszmy najpierw współrzędne punktów:

A = (-2; 4) , B = (1; -3) ,C = (4; 2).

Dla boku AB mamy:

x = |-2 – 1| = |-3| = 3

y = |4 – (-3)| = |4 + 3| = 7

|AB|2 = 32 + 72

|AB|2 = 9 + 49 = 58

|AB| =


Przyk adowe zadania2
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.Dla boku AC mamy:

x = |-2 – 4| = |-6| = 6

y = |4 – 2| = 2

|AC|2 = 62 + 22

|AC|2 = 36 + 4 = 40

|AC| = = 2


Przyk adowe zadania3
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 1. – ciąg dalszyDla boku BC mamy:

x = |1 – 4| = |-3| = 3

y = |-3 – 2| = |-5| = 5

|BC|2 = 32 + 52

|BC|2 = 9 + 25 = 24

|BC| =


Przyk adowe zadania4
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 2.

Oblicz odległość punktu A = (12; -5) od początku układu współrzędnych.

Początek układu współrzędnych to punkt O = (0; 0) mamy więc dla odcinka AO:

x = |12 – 0| = 12y = |-5 – 0| = |-5| = 5– do obliczeń wystarczy więc wziąć wartość bezwzględną ze współrzędnych

|AO|2 = 122 + 52

|AO|2 = 144 + 25 = 169

|AO| = 13


Przyk adowe zadania5
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 3. Czy punkt A = (-6; 8) leży na okręgu o promieniu 10 i początku w układzie współrzędnych?

Aby punkt leżał na takim okręgu jego odległość od początku układu współrzędnych musi wynosić 10. Sprawdźmy dla punktu A:x = |-6| = 6y = |8| = 8

|AO|2 = 62 + 82

|AO|2 = 36 + 64 = 100

|AO| = 10

A więc ten punkt leży na danym okręgu.


Przyk adowe zadania6
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 4.

Znajdź współrzędne punktów z rysunku.

Z rysunku można odczytać współrzędne x oraz promień koła. Mamy:

r = 5

A = (2; …) , B = (2; …)

Współrzędną y znajdziemy korzystając z tego, że:|AO| = r = 5|BO| = r = 5


Przyk adowe zadania7
PRZYKŁADOWE ZADANIA. piękno przyrody.”

ZADANIE 4 – ciąg dalszy.

Mamy więc:

52 = 22 + y2

25 = 4 + y2

25 – 4 = y2

y2 = 21

W takim razie y = dla punktu A i y = - dla punktu B. Zatem:

A = (2; )

B = (2; - )


WZÓR piękno przyrody.”

Jeśli ktoś woli mieć gotowy przepis na obliczanie długości odcinków w układzie współrzędnych w oparciu o podane już informacje może wyprowadzić wzór.

Oznaczmy współrzędne dwóch punktów:

P1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2)

Wtedy długości odcinków oznaczonych przez nas przez x i y obliczymy tak:

x = |x1 - x2 |

y = |y1 - y2 |

A więc :

|P1 P2 |2 = x 2 + y 2 = |x1 - x2 |2 + |y1 - y2 |2


WZÓR piękno przyrody.”

P1 = (x1; y1) , P2 = (x2; y2)

Wzór ten można nieco udoskonalić. Wiesz jak?


ad