МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.
Download
1 / 24

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ. - PowerPoint PPT Presentation


  • 360 Views
  • Uploaded on

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ. Выполнила: ученица 9 класса «В» МОУСОШ № 32 Иванова Софья Андрияновна Учитель: Стаханова Полина Александровна. Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач. Методы исследования:

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.' - xia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ.

Выполнила: ученица 9 класса «В» МОУСОШ № 32 Иванова Софья Андрияновна

Учитель: Стаханова Полина Александровна.


Цель: исследование метода вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.

Методы исследования:

  • 1.Изучение теории по вспомогательной окружности

  • 2. Доказательство признаков задач, которые могут привести к применению вспомогательной окружности

  • 3. Установление связи между методом вспомогательной окружности и решением задач

  • 4. Выполнение практической части.


Вспомогательная окружность вспомогательной окружности и его свойств, применение данного метода при решении задач.-одно из наиболее эстетичных дополнительных построений.

Метод вспомогательной окружности заключается в том, что если геометрическая фигура (многоугольник, треугольник, квадрат и т.п.) имеет ряд конкретных признаков, то вокруг неё можно описать окружность, что значительно облегчит решение ряда задач.


Докажем признаки при которых вокруг многоугольников можно описать окружность:

Первый признак:

Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.


Второй признак: вокруг многоугольников можно описать окружность:

Если точки В и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой AD, причём АВD= ACD, то точки A, B, C, D принадлежат одной окружности.


Третий признак: вокруг многоугольников можно описать окружность:

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

a+b=c+d.


Углы, связанные с окружностью. вокруг многоугольников можно описать окружность:

Угол с вершиной вне круга равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла.

Угол с вершиной внутри круга равен полусумме дуг, заключенных между сторонами угла.


Угол между касательной и хордой, проведенными из одной точки, равен половине дуги, заключенной между ними.


Отрезки, связанные с окружностью.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Радиус перпендикулярен хорде тогда и только тогда, когда он проходит через ее середину.


Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.


Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.


Задача№4: произведению секущей на ее внешнюю часть.

Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.

Первый случай:

Если угол В - тупой

1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.

2. BD- диаметр

3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).

4.∆MON-равносторонний

Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.


Практическая часть: Решение задач с помощью метода вспомогательной окружности.

Задача№1:

Дан прямоугольный треугольник АВС, С= 90°. На катете ВС выбрана произвольная точка М. Из точки М проведён перпендикуляр МN на гипотенузу АВ. Докажите, что ANC= AMC.


Задача№2: задач с помощью метода вспомогательной окружности

  В прямоугольник ABCD вписан равносторонний треугольник АРК так, что вершина К лежит на стороне ВС, а Р- на CD. КН- высота этого треугольника. Докажите, что треугольник ВНС – равносторонний.


Задача№3: задач с помощью метода вспомогательной окружности

Дан угол α с вершиной в точке А и точка М внутри угла. В и С- основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны угла. МВ= a, МС= b. Найдите АМ.

a

М

А

b

1.Вокруг АВМС можно описать окружность;

В

3.АМ -диаметр

С


Задача№4: задач с помощью метода вспомогательной окружности

Расстояние между основаниями двух высот ВМ и BN ромба ABCD вдвое меньше диагонали BD. Найдите углы ромба.

Первый случай:

Если угол В - тупой

1.Вокруг ABCD- можно описать окружность.

2. BD- диаметр

3.так как 2MN= BD=> MN=R(где R- радиус).

4.∆MON-равносторонний

Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.


Второй случай: задач с помощью метода вспомогательной окружности

Если угол В – тупой.

Второй случай:

Если угол В – тупой.

  • Ответ: углы ромба равны 150° и 30°.


Задача№5: задач с помощью метода вспомогательной окружности

 Определить площадь трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.

1. вокруг ABCD можно описать окружность.

2. AD- диаметр;

R=13

3.трапеция равнобедренная, т. к. вокруг неё можно описать окружность.

HD= 26-18=8.

СН=

=12

S тр. =

=216


Задача №7(теорема о квадрате биссектрисы):

Доказать, что квадрат биссектрисы равен разности произведений сторон содержащих её, и отрезков стороны на которые делит биссектриса сторону на которую падает.


Задача№8(вспомогательная): биссектрисы):

Дан треугольник АВС, СС1 перпендикулярна стороне АВ, АА1 перпендикулярна стороне ВС. Найти чему равен радиус?

R=

=


Задача№6: биссектрисы):

ABCD- параллелограмм, точка О лежит внутри параллелограмма, так что угол AOD равен углу OCD. Доказать, что угол СВО равен углу CDO.


Задача№11(задача Брахмагупта): биссектрисы):

 Докажите справедливость формулы для треугольника АВС: b*c=h*2R.


Задача № 9: биссектрисы):

 В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки пересечения высот треугольника ВМN.

С

В

В

С

N1

М1

Н

M

M

А

А

D

D

N

N


Www themegallery com

биссектрисы): Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою”. И.Ф. Шарыгин

www.themegallery.com


ad