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1.1 变化率与导数

1.1 变化率与导数. 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了 函数 ，随着对函数的研究，产生了 微积分 ，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数 , 求物体在任意时刻的速度与加速度等 ; 二、求曲线的切线 ; 三、求已知函数的最大值与最小值 ; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数 是微积分的 核心 概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数 研究的问题即 变化率问题 ： 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．.

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1.1 变化率与导数

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  1. 1.1 变化率与导数

  2. 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

  3. 姚明身高变化曲线图(部分) 身高 2.26 ● ● 2.12 ● 1.61 ● ● ● 0.8 ● ● ● ● ● ● ● ● 16 19 年龄 4 7 10 13 22

  4. 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?

  5. 播放 暂停 停止

  6. 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ， 所以， h O t

  7. B A 直线AB的斜率

  8. 例 (1) 计算函数f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2+1的平均变化率。 (2)解： △y=f (x+△x)- f (x) =2△x ·x+(△x )2 (1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2

  9. 练习 D 1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=() A .3 B .3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx A 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

  10. 小结： • 1.函数的平均变化率 • 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：

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