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2. 第一章：生命表 第一节 寿命分布 生命表－又称为死亡表，它是以统计表的形式，研究在一定时期的特定区域或特定人口群体同时出生的一批人随着年龄的增长渐渐死亡，直至这批人全都死亡的整个过程。生命表是人寿保险用以测定死亡或生存概率的基础。根据以往死亡人数的统计资料，推测出未来死亡或生存概率，是计算人寿保险费率的必要依据，它贯穿于整个人寿保险精算的全过程。 例如：一个新生儿活过60岁的概率。 例如：x岁的人在未来一年内死亡的概率。

3. 注：平均寿命可通过X的数学期望函数E（X）表示。注：平均寿命可通过X的数学期望函数E（X）表示。 例如：一个新生儿活过60岁的概率。 例如：x岁的人在未来一年内死亡的概率。 平均寿命：

4. 生存函数和分布函数的关系： 例如：一个新生儿活过60岁的概率；x岁的人在未来一年内死亡的概率。

6. 在精算学中有一套国际通用的符号来表示有关T的各种概率：在精算学中有一套国际通用的符号来表示有关T的各种概率： 表示x岁的人在x+t岁前死亡的概率 表示x岁的人在x+t岁时活着的概率

8. 注：以上这些概率都可用生存函数表示如下： 注：公式（3）表示x岁的人在x+t岁到x+t+u岁之间死亡的概率等于这个人活过t年的概率和活过t年后在以后u年内死亡的概率之积。

9. 取整余命－只考虑（x）未来能够活过的整数年，称为（x）的取整余命，记为K（x）＝［T（x）］取整余命－只考虑（x）未来能够活过的整数年，称为（x）的取整余命，记为K（x）＝［T（x）］ 例如：某人年龄为30岁，在55岁零3个月时死亡。 （1）余命： T（30）＝55.25－30＝25.25 （2）取整余命： K（30）＝25

10. 死亡力度（死力） 引入的背景：生命表中描述的死亡水平的指标是死亡概率qx,这里的x是对正整数而言，如果x不光仅取值与正整数，而是连续变动的，怎样描述在某确切年龄点上的瞬间死亡水平呢？ 问题：到底S（X )是个什么样的函数？

12. 最早的也是最简单的死亡规律是德莫弗提出的，它假设的生存函数是最简单的，不妨设人的极限寿命为100岁：最早的也是最简单的死亡规律是德莫弗提出的，它假设的生存函数是最简单的，不妨设人的极限寿命为100岁： 说明：随着年龄的增大，x岁的人在1年内死亡的概率也增大。 说明：x岁的人在未来任何一年内死亡的概率是相同的。

13. 平均寿命： 说明：平均寿命是极限寿命的一半。

14. 解：

15. 解：

16. （4）1、先求50岁的人在70岁以前死亡的概率 2、再求50岁的人能活到70岁的概率

17. 第二节 生命表 一、生命表与随机生存群体

18. 35岁的人在36岁以前死亡的概率 35岁的人能活到36岁的概率 35岁的人能活到37岁的概率

19. 随机生存群体－在各个年龄的生存人数和各年龄间的死亡人数都是随机变量，称之为随机生存群体，在随机生存群体中，死亡规律是用期望值描述的。随机生存群体－在各个年龄的生存人数和各年龄间的死亡人数都是随机变量，称之为随机生存群体，在随机生存群体中，死亡规律是用期望值描述的。

20. 2.2、生命表编制原理、框架 在编制生命表时，首先选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的封闭人口数，这个数成为确定基数。假如，选择0岁为初始年龄，并规定了此整数年龄的人数，通常取10万人，然后根据各年龄的死亡率，计算出各年龄的死亡人数和生存人数。把上述的过程列为表格极为生命表。 生命表框架中项目的定义：

24. 解：

25. 解：

26. 解：

27. 例4：根据美国国民生命表计算40岁的美国人发生以下事件的概率：（1）活过70岁（2）在6年内死亡（3）在50岁死亡例4：根据美国国民生命表计算40岁的美国人发生以下事件的概率：（1）活过70岁（2）在6年内死亡（3）在50岁死亡 解：

28. 取整平均余命：

29. 二、确定生存群体 把生命表中0岁的人看作一个生存群体，群体的人数不断减少时为负增长，每年应有一个负增长（死亡率）：q0,q1,q2……,则到x岁仍生存的人Lx决定于群体初始人数L0，和每年的负增长率。 注：由于群体每年的生存人数是确定的，故这样的群体称之为确定生存群体。

30. 死亡人数与生存人数的关系：

31. 例1：已知某生存群体55岁的生存人数为89509人，往后5年的死亡率分别为0.006、0.007、0.009、0.012和0。0.015。求该群体60岁时的生存人数。例1：已知某生存群体55岁的生存人数为89509人，往后5年的死亡率分别为0.006、0.007、0.009、0.012和0。0.015。求该群体60岁时的生存人数。 解：

32. 三、各年龄内的寿命分布 • 使用背景: • 生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数年龄的生存状况。 实质：在已知生存函数在整数年龄x岁的值s(x)的基础上，考虑非整数年龄x+t岁的值s(x+t)，0<t<1。 • 常用方法 • 均匀分布假定(线性插值) • 常数死亡力假定(几何插值) • Balducci假定(调和插值) • 基本原理:插值法

33. （一）线性插值（均匀分布假设） 实质：假设生存函数x+t的值可以由在x岁的值和x+1的值之间进行线性插值。

35. 年龄内均匀分布假设－假设x岁的人的余命T（x)在x岁到x+1之间服从均匀分布。年龄内均匀分布假设－假设x岁的人的余命T（x)在x岁到x+1之间服从均匀分布。 注：在均匀分布假设条件下，T(x)的密度函数为一常数。 补充：设x为正整数，0<t<1,则在均匀分布假设下有：

36. 解：

37. 解： ＝0.7916

38. （二）几何插值（常数死力假设）

40. 解：

41. 解： ＝0.70162

42. （三）调和插值（Baducci假设） 注： Baducci（白度西）是意大利精算师，他提出的和使用的这一假设在北美广泛采用。

43. 解：

44. 三种假定下的生命表函数

45. （四）平均余命的计算问题 （分部积分法）

46. （换元积分法） 下利用年龄内均匀分布假设：

48. 解：

49. 四、生命表的类型 （一）国民生命表与经验生命表 国民生命表是根据全体国民或者在一特定地区的人口的死亡统计数据编制的生民表。它主要来源于人口普查的统计资料及死亡统计资料，而死亡统计的对象是一国的全体公民。 经验生命表简称为经验表，是根据人寿保险公司，社会保险公司所积累的以往死亡记录等资料编制的生命表，保险公司使用的是经验生命表。由于保险人承保时曾对被保险人进行了风险选择（例如体格检查），因此经验生命表的死亡概率一般较国民生命表低些。 注1：经验生命表可分为选择生命表、终极生命表、综合生命表。 年金生命表是根据年金购买者的死亡资料编制的生命表。这种生命表的死亡率较其它一般的寿险的死亡率要低。

50. 注2：反映女性死亡率和男性死亡率差别的方法：注2：反映女性死亡率和男性死亡率差别的方法： 1、分别对不同性别进行统计，构造出男性生命表和女性生命表。 2、不分性别统计构造出男女混合表 注3：一般对男性使用表中的死亡率，而对女性则使用年龄倒退法 例如：在美国生命表上对30岁以上的女性采用3年到退法计算死亡率，求50岁的女性或过70岁的概率。 解：