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Petite introduction thématique à la théorie des graphes

Petite introduction thématique à la théorie des graphes. Dominique Barth, PRiSM-UVSQ. Plan. Introduction et concepts de base Coloration de graphes Planarité Comparaison de graphes Conclusion. Introduction et concepts de base. Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux}).

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Presentation Transcript

  1. Petite introduction thématique à la théorie des graphes Dominique Barth, PRiSM-UVSQ

  2. Plan • Introduction et concepts de base • Coloration de graphes • Planarité • Comparaison de graphes • Conclusion

  3. Introduction et concepts de base

  4. Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux}) Graphe de la relation, matrice d’adjacence, listes par extension • Degrés • Distances, diamètre • Chaine, chemin, cycle, circuits • Connexité, forte-connexité, k-connexité • pondération, étiquetage (vrai) graphe orienté Graphe orienté symétrique Graphe non-orienté

  5. Coloration de graphes

  6. G=(V,E), graphe non-orienté Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleurs Coloration propre : (u,v) une arête de E implique f(u) différent de f(v) Taille d’une coloration(propre) : cardinal de f(V) Nombre chromatique de G : taille minimum d’une coloration propre de G Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs. Problème historique des 4 couleurs

  7. Théorème : Un graphe est 2-coloriable ssi il ne contient pas de cycles de longueur impaire.

  8. 2 5 1 1 3 4 1 4 2 1 2 2 1 3 2 3 4 1 2 1 1

  9. 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1

  10. Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet Difficulté d’un problème : plus petite complexité d’un algorithme le résolvant Taille d’un problème : nombre de sommets, de liens Complexité Nombre de données processeur x 1000 traitées / 24h Linéaire 1 million x1000 Polynomial (deg. 4) 4000 x 2 Exponentiel 150 +20 Factoriel 12 +2 } Classe P

  11. Classe P: problèmes « faciles », pouvant être résolus en temps polynomial fonction du nombre de sommets et d’arêtes. Classe NP: problèmes pour lesquels pour chaque instance, vérifier si une solution possible est une solution réalisable ou optimale est « facile » (d’où algorithme exponentiel). Contient la classe P. Problème NP-complet : problème X de NP tel que tout autre problème de NP peut de facon « facile » se ramener à un sous-problème de X (donc, problèmes les plus durs de NP). Hiérarchie de classes de problèmes Question : P=NP ? Si un des problèmes NP-complet est dans P, alors P=NP

  12. Savoir si un problème est NP-complet : • « Si un problème X est au moins aussi difficile qu’un problème connu • comme étant l’un des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussi • un des problèmes les plus difficiles (NP-complet). » • Que faire si un problème est NP-complet : • Heuristiques polynomiales • Approximation, garanties de performances • Liens entre invariants et complexité

  13. Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet Problème : enchevêtrement de cycles 5 7 4 3 2 3 Invariant de complexité : largeur arborescente (calcul NP-complet)

  14. Planarité

  15. Graphe planaire : graphe que l’on peut dessiner sur un plan (une sphère) Sans que deux arêtes ne se croisent K3 K4 oui oui K5 non K3,3 non ?

  16. Graphe homéomorphe à Théorème (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il n’est homéomorphe ni à K5, ni à K3,3 Décider si un graphe est planaire est dans P.

  17. Carte planaire : dessin planaire d’un graphe planaire = caratérisation par un graphe + parcours des arêtes décrivant les faces

  18. Comparaisons de graphes

  19. Morphisme d’un graphe G=(V,E) dans un graphe H=(V’,E’) : Application f de V dans V’ tel que (u,v) dans E implique (f(u),f(v)) dans E’. f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc l’inverse de f est un (iso)morphisme)

  20. f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H - groupe d’automorphismes d’un graphe, - classes d’équivalence de sommets, - symétries (involutions) - graphes sommet-transitifs

  21. f homéomorphisme ssi isomorphisme – injectivité (contraction de V dans V’) (puis notion de mineur) Graphe homéomorphe à

  22. Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de G Et de H qui ont la propriété de morphisme visée. Plongement de graphes: f:V -> V’, injectif. Critère : minimiser dist(f(u),f(v)) pour tout (u,v) de E Transformation (édition, mineur) d’un graphe à un autre en minimisant Le nombre d’opérations élémentaires

  23. Conclusion

  24. Question : un graphe est-il « rond » ou « long »? • Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer? • Si non, utilisation de critères croisés : • - Excentricité moyenne (calcul polynomial) • - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) • - Heuristique de largeur de bande Petites introductions pour futurs MoDiMo : Théorie des jeux, combinatoire,…

  25. Excentricité 7 2 8 5 11 9 1 3 6 10 4 Largeur de bande Séparateur

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