第 一 章
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第 一 章. 概率论的基本概念. § 1 随机 试验. ( E xperiment ). 概率论中试验的含义十分广泛,它包括各种各样的科学实验,也包括对事物某一特征的观察 、测量等. 例如:. E 1 : 抛一枚硬币,观察正面 H(Heads)、 反面 T (Tails) 出现的情况. E 2 : 将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况 . E 3 : 将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数. E 4 : 抛一颗骰子,观察出现的 点数. E 5 : 记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数.

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Presentation Transcript
第 一 章

概率论的基本概念


§1 随机试验

(Experiment )

概率论中试验的含义十分广泛,它包括各种各样的科学实验,也包括对事物某一特征的观察、测量等. 例如:

E1:抛一枚硬币,观察正面H(Heads)、反面T (Tails)出现的情况.


E2 :将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况.

E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数.

E4:抛一颗骰子,观察出现的

点数.

E5:记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数.

E6:在一批灯泡中任意抽取一只,

测试它的寿命.

E7:记录某地一昼夜的最低温度

和最高温度.


这些试验具有以下特征:

1. 在相同的条件下可以重复进行;

2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事

先明确试验的所有可能结果;

3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果

会出现.

在概率论中,把具有以上三个特征的试验称

为随机试验,简称为试验.


§2 样本空间 随机事件

(一)样本空间

(二)随机事件

(三)事件间的关系与事件的运算


(一)样本空间(Space)

定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为 S . 样本空间的元素,即 E 的每个结果,称为样本点.

如§1中试验Ek (k=1,2,…,7) 的样本空间Sk为

S1 : { H , T }

S2 : { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,

TTT }

S3 : { 0, 1, 2, 3 }

S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }


S5 : {0,1,2,3……}

S6 : { t | t  0 }

S7 : { ( x , y ) | T 0 x  y  T1 }


(二)随机事件

定义:

随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件.

基本事件 : 只有一个样本点组成的单点集.

必然事件 : 样本空间 S 本身,即每次试验中都发生

的 事件.

不可能事件 : 空集,即每次试验中都不发生的事件.

我们称一个随机事件发生当且仅当它所包

含的一个样本点在试验中出现.


在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用A、B、C等表示.

不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件.

每次试验中一定发生的事件称为必然事件.

每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.


例1在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用


若事件在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用A 发生, 必然导致B 发生 , 则称事件B 包含事件A,记作

A

S

(三)事件间的关系与事件的运算

1.事件的包含

图示B 包含A.

B


A在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

B

S

事件的相等关系

若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事件A与事件B相等,记作A=B.

2. 事件的并 (和)

图示事件A 与B 的并.


推广在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

3. 事件的交 (积)


AB在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

A

B

S

图示事件A与B的积事件.


A在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

B

4. 事件的差

事件 “A 发生而 B 不发生”,称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.

图示 A 与 B 的差

S


若事件 在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用A 、B 满足

则称事件 A与B互不相容.

A

B

5. 互不相容事件(互斥)

实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面”

是互不相容的两个事件.

图示 A与B互斥

S


若事件 在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用A 、B 满足

则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作

A

6.对立事件(逆事件)

B

图示 A 与 B 互逆.

S


A在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

B

A

对立事件与互斥事件的区别

A、B 互斥

A、B 对立

B

S

S

互 斥

对立


事件的运算规律在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用


幂等律在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用


例2在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用 在例1中有


例 3在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用 下图的电路中,A表示“信号灯亮”,B,C,D表示事件开关1,2,3闭合,则BC⊂A,BD⊂A,BC∪BD=A,而BA=Ф,即事件B与事件A互不相容.且有

2

1

3


小结在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

1.

随机现象的特征:

条件不能完全决定结果.

2.随机现象是通过随机试验来研究的.

(1) 可以在相同的条件下重复地进行;

(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果;

(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会

发生.

3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系


子集在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

随机试验、样本空间与随机事件的关系

每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样

本空间的子集就是随机事件.

随机试验

样本空间

随机事件

必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件


记号在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用

概率论

集合论

样本空间,必然事件

空间(全集)

不可能事件

空集

单元素集

基本事件

子集

随机事件

A的补集

A的对立事件

A发生必然导致B发生

A是B的子集

事件A与事件B相等

集合A与集合B相等

概率论与集合论之间的对应关系


事件在一次试验中可能发生也可能不发生事件称为随机事件(或偶然事件),简称为事件.通常用A与事件B的和

集合A与集合B的并集

事件A与事件B的积

集合A与集合B的交集

事件A与事件B的差

A与B两集合的差集

A与B 两集合中没有

相同的元素

事件A与B互不相容

课后作业:


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