第六章数理统计的基本概念

第六章数理统计的基本概念 第一节随机样本第二节抽样分布

第一节随机样本 总体与个体在一个统计问题中，将研究对象的全体称为总体。构成总体的每个元素称为个体。由于总体就是一个随机变量X（或向量X）或一个概率分布，因此研究总体就是要研究X的概率分布或某些特征量。样本从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽样。所抽得的个体称为样本。上一页下一页返回

设X是具有分布函数F的随机变量，若X1，X2，…，Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1，X2，…，Xn为来自总体X(或总体F)的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，…，xn称为样本值。设X是具有分布函数F的随机变量，若X1，X2，…，Xn是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X1，X2，…，Xn为来自总体X(或总体F)的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，…，xn称为样本值。对于简单随机样本X1，X2，…，Xn，其联合概率分布可以由总体X的分布完全确定。若总体X的分布函数为F(x)，则样本X1，X2，…，Xn的联合分布函数为上一页下一页返回

又若X具有概率密度f(x)，则X1，X2，…，Xn的联合概率密度为又若X具有概率密度f(x)，则X1，X2，…，Xn的联合概率密度为若X的分布律为则X1，X2，…，Xn的联合分布律为上一页下一页返回

例1　设总体X～B(1,p)，X1，X2，…，Xn为取自总体X的样本，求样本X1，X2，…，Xn的联合分布（称为样本分布）。解:X的分布律为所以样本X1，X2，…，Xn的联合分布律为上一页下一页返回

定义1设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量.定义1设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函数,若g中不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量. 设x1, x2,…,xn是相应于样本X1,X2,…,Xn的样本值,则称g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的观察值. 样本平均样本方差上一页下一页返回

样本标准差 样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩上一页下一页返回

它们的观察值分别为 上一页下一页返回

例2　设总体X的期望、方差分别为 X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，其样本均值和样本方差分别记为。求上一页下一页返回

1、分布 设X1,X2,…,Xn是来自总体N(0，1)的样本，则统计量服从自由度为n的分布，记为分布的概率分布密度为第二节抽样分布上一页下一页返回

分布具有以下性质: 上一页下一页返回

标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上 分位点记为 ,它满足其中Z～N(0,1)。对不同的分布的上分位点的值已制成表格，可以查用。上一页下一页返回

设X~N(0,1),Y~ ,且X与Y相互独立， 则随机变量服从自由度为n的t分布,记为t~t(n)。 2、t 分布 t(n)分布的概率密度函数为上一页下一页返回

t(n)分布的概率密度函数 关于t=0单峰对称上一页下一页返回

当n很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用Γ函数的性质可以证明当n很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用Γ函数的性质可以证明 t(n)分布的上分位数记为，即满足 t分布的上分位数可由附表查得。当n>45时，有当n较小时，t(n)分布与N(0,1)分布之间有较大差异。上一页下一页返回

设且U与V相互独立，则随机变量服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F～F(n1，n2) 3、F分布 F(n1,n2)分布的概率密度函数为上一页下一页返回

的上分位点记为，即它满足 若F～F(n1,n2)，则上一页下一页返回

若F~F(n1,n2),则 F分布的上分位点有如下的性质：上一页下一页返回

4、正态总体的样本均值与样本方差的分布 上一页下一页返回

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