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GEOMETRIA PLANA

Autor: Welber Neres. GEOMETRIA PLANA. Postulados ou Axiomas : são propriedades aceitas sem demonstração. P 1 : Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos. P 2 : Dois pontos determinam uma única reta. P 3 : Pontos colineares pertencem à mesma reta. Importantes definições.

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Presentation Transcript

  1. Autor: Welber Neres GEOMETRIA PLANA

  2. Postulados ou Axiomas: são propriedades aceitas sem demonstração. • P1: Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos. • P2: Dois pontos determinam uma única reta. • P3: Pontos colineares pertencem à mesma reta. Importantes definições

  3. P4: Três pontos determinam um único plano. • P5: Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta está contida neste plano. Importantes definições

  4. Concorrentes: quando tiverem apenas um ponto em comum. Perpendiculares Obliquas • Paralelas: retas que estão no mesmo plano, porem não tem pontos em comum. Distintas Coincidentes Posições relativas entre retas

  5. Definição:É a ABERTURA formada por duas semirretas que têm a mesma origem. • Classificação Ângulo Reto Ângulo Raso Ângulo Obtuso Ângulo Raso ÂNGULOS . . .

  6. Ângulos Complementares: Definição: Quando a soma de dois ângulos é igual a 90º ÂNGULOS .

  7. Ângulos Suplementares: Definição: Quando a soma de dois ângulos é igual a 180º ÂNGULOS

  8. Ângulos Replementares: Definição: Quando a soma de dois ângulos é igual a 360º ÂNGULOS

  9. O dobro do complemento de um ângulo, aumentado de 40º é igual a terça parte do suplemento do ângulo. Determine o valor do suplemento do ângulo. O triplo do complemento de um ângulo é igual ao suplemento do dobro desse ângulo, mas 80º. Determine a medida desse ângulo. exemplos

  10. Ângulos Opostos pelo Vértice Dizemos que os ângulos são chamados de congruentes. ÂNGULOS

  11. Duas retas Paralelas cortadas por uma transversa: Sendo r//s e t uma transversal, geram os ângulos: • Correspondentes: • Alternos: • Colaterais: ÂNGULOS t r s

  12. Definição: A medida do ângulo central é dada em radiano pela razão entre o comprimento do arco e o raio. Sistema circular r

  13. Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios 5 u.c e 3 u.c, respectivamente. Sendo s1 o comprimento do arco AB e s2 o comprimento do arco A’B’, então o valor de s2 – s1, em unidade de comprimento, é aproximadamente igual a: 01) 0,52 02) 1,05 03) 1,57 04) 3,14 05) 4,71 exemplos A’ A B B’

  14. 2-Dada a figura, qual o valor de x, y e z, sabendo que as retas r, s e t são paralelas • x= 60º, y = 40º e z = 80º • x= 80º, y = 40º e z = 60º • x= 40º, y = 60º e z = 80º • x= 50º, y = 60º e z = 70º • N.d.a exemplos w v 40º t 120º s y z x r

  15. 3-Na figura abaixo, são dados as retas r, s, x, y e t, tais que r//s, x//y e t é uma transversal. A medida , do ângulo assinalado, é: 01) 60º 02) 50° 03) 40° 04) 30° 05) 20º exemplos x y 60° r s 50° t

  16. Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais, segmentos proporcionais. Teorema de tales

  17. 1-No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas? a) 30 c) 32 e) 34 b) 31 d) 33 exemplos

  18. 2-Dois postes perpendiculares ao solo estão a uma distância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5 m liga seus topos, como mostra a figura abaixo. Prolongando esse fio até prende–lo no solo, são utilizados mais 4 m de fio. Determine a distância entre o ponto onde o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele. exemplos

  19. Os triângulos podem ser classificados de 2 maneiras: • Quanto aos lados: triângulos b c c b a a Triângulo Escaleno Triângulo Isósceles Triângulo Equilátero b = c a = b = c

  20. Quanto aos ângulos: triângulos Triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras a b . c Triângulo Obtusângulo a b c Triângulo Acutângulo a b c

  21. 1- Na figura acima, os valores de x e y, em u.c, são respectivamente: 01) e 6 04) e 4 02) e 6 05) 8 e 4 03) e 4 exemplos N x . L y M 4 P

  22. 2-Seu Carlos precisa chegar ao terraço do prédio, pois o elevador esta quebrado e as escadas estão em reforma. Como mostra a figura um edifício que tem 15 m de altura e a distancia da escada para o prédio é de 8 m. Qual o comprimento da escada que esta encostada na parte superior do prédio. exemplos

  23. 3-Uma escada apoiada em uma parece, num ponto distante de 4 m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em metros? 01) 6 m 02) 7 m 03) 8 m 04) 9 m 05) 10 m exemplos

  24. 50º 35º x 15º 4-Na figura abaixo, a medida do ângulo x é: a) 80º b) 100º c) 110º d) 130º e) 260º exemplos

  25. Definição: dois triângulos são semelhantes quando possuem os ângulos congruentes, dois a dois, e os lados correspondentes proporcionais. Semelhança de triângulos A A’ a b b’ a’ C’ B’ c’ C c B Lados Proporcionais Ângulos Iguais

  26. 1-Os triângulos ABC e CDE da figura abaixo são retângulos. Se AB=4 cm, BC=8 cm e a área do triangulo ABS é o dobro da CDE, então DE mede, em centímetros, 01) 02) 03) 04) 05) exemplos A . D . E C B

  27. 2-Na figura abaixo, um garoto está em cima de um banco. Qual é a altura desse garoto que projeta uma sombra de 1,2 m, sabendo que o banco de 30 cm projeta uma sombra de 40 cm ? exemplos

  28. 3-A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros. exemplos

  29. Lei dos Senos • Lei dos Cossenos Leis dos senos e cossenos A c b A b c C B a B a C

  30. 1-Utilizando a lei dos senos e cossenos determine o valor de x, nas figuras abaixo: a) c) b) exemplos x 10 60º 16 10 45º x x 30º 60º 12 5

  31. Quadrado • Retângulo quadriláteros • Losango • Paralelograma . . . . . . . .

  32. Trapézio quadriláteros Trapézio Retângulo Trapézio Isósceles Trapézio Escaleno

  33. 1-Na figura abaixo, as medidas são dadas em centímetros. A área da figura, em centímetros quadrados, é: a) b) c) d) e) exemplos

  34. B M N A C 2-Na figura, ABC é um triangulo equilátero de altura 5 u.c, M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. A área do trapézio ACNM, em u.a, é: a) e) b) c) d) exemplos

  35. 3-O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB=BC/2, Antonio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5. Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele: a) Duplicasse a medida do lado do quadrado. b) Triplicasse a medida do lado do quadrado. c) Triplicasse a área do quadrado d) Ampliasse a medida do lado do quadrado em 4% e) Ampliasse a área do quadrado em 4% exemplos D C A E B

  36. 4-A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050m3/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? A) 90m³/s. C) 1.050m³/s. E) 2.009m³/s. B) 750m³/s. D) 1.512m³/s. exemplos

  37. 5-Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas bancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de A) R$ 8,20 B) R$ 8,40 C) R$ 8,60 D) R$ 8,80 E) R$ 9,00 Exemplos

  38. Elementos da Circunferência • Áreas A B C D circunferência FLECHA CENTRO R CORDA . C D DIÂMETRO S ARCO A B O A SEGMENTO CIRCULAR SETOR CIRCULAR C ZONA CIRCULAR D B COROA CIRCULAR

  39. Comprimento da Circunferência • Comprimento de Arco (l) CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA R O R l O

  40. Área do Círculo • Área do Setor Circular CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA R O

  41. Área do Segmento Circular • Área da Coroa Circular CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA R r

  42. 1-As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas a linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em media 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: a) 16 horas c) 25 horas e) 36 horas b) 20 horas d) 32 horas exercícios

  43. 2-Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que A entidade I recebe mais material do que a entidade II. A entidade I recebe metade de material do que a entidade III. A entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. As entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. As três entidades recebem iguais quantidades de material. exemplos

  44. 3-Na figura, a área hachurada mede, em unidade de área: a) b) c) d) e) exemplos 5 u.c 6 u.c 4 u.c

  45. 4-A figura representa um hexágono retangular, inscrito num circulo de centro O e raio . A área da região assinalada na figura é: a) b) c) d) e) exemplos A B F . C E D

  46. 5-Na figura ABC é um triângulo equilátero de lado igual a 2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centros nos vértices A, B e C, respectivamente, e de raios todos iguais a 1. A área da região sombreada é: a) d) b) e) c) exemplos A N M C B P

  47. 6-Quatro círculos de raio unitário cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é: a) b) c) d) e) exercícios

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