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Grandezze omogenee, commensurabili e incommensurabili

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Grandezze omogenee, commensurabili e incommensurabili - PowerPoint PPT Presentation


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Grandezze omogenee, commensurabili e incommensurabili. Un insieme G di elementi costituisce una classe di grandezze omogenee se: due qualsiasi elementi di G sono sempre confrontabili fra loro, cioè per ogni a, b appartenenti a G

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Grandezze omogenee,

commensurabili e incommensurabili

  • Un insieme G di elementi costituisce una classe di grandezze omogenee se:
  • due qualsiasi elementi di G sono sempre confrontabili fra loro, cioè per ogni a, b appartenenti a G

è vera una sola fra le relazioni a < b, a = b, a > b

  • si può definire in G un’operazione di addizione (che sia commutativa, associativa e che abbia

elemento neutro), cioè tale che per ogni a, b appartenenti a G anche l’elemento c = a+b

appartenga a G.

Inoltre:

Una grandezza B è multipla di una grandezza A ad essa omogenea secondo il numero naturale n>0 se B è la somma di n grandezze uguali ad A (se n=1 allora B=A) e scriviamo che B=nA.Diciamo anche che A è sottomultipla di B secondo n.

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Date de grandezze omogenee P e Q fra loro commensurabili, si dice misura di P rispetto a Q il numero

razionale tale che . La grandezza Q si dice unità di misura.

Grandezze omogenee,

Commensurabili e incommensurabili

Due grandezze di una stessa classe si dicono commensurabili se hanno un sottomultiplo comune, incommensurabili in caso contrario.

ESEMPIO DI GRANDEZZE INCOMMENSURABILI:

il lato di un quadrato e la sua diagonale

D

L

Se P e Q sono incommensurabili la misura di P rispetto a Q è un numero irrazionale.

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Si dice rapporto fra due grandezze omogenee A e B la misura di A rispetto a B. Il rapporto fra A e B si

indica con il simbolo.

quattro grandezze A, B, C, D, di cui le prime due omogenee fra loro e le seconde due omogenee fra

loro, si dicono in proporzione se il rapporto è uguale al rapporto .

Per indicare che A, B, C e D sono in proporzione si scrive: oppure

Grandezze proporzionali

Si verifica che:

il rapporto fra due grandezze omogenee A e B è uguale al quoziente delle loro misure rispetto alla stessa unità;

Proporzione continua: proporzione con i medi uguali A : B = B : C, B si dice medio proporzionale

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Grandezze proporzionali

La proporzionalità fra grandezze gode delle seguenti proprietà:

quattro grandezze, omogenee fra loro le prime due e omogenee fra loro le seconde due, sono in proporzione se e solo se lo sono le loro misure;

teorema (di unicità della quarta proporzionale). Date tre grandezze A, B, C, con A e B omogenee fra loro, esiste sempre ed è unica una quarta grandezza D, omogenea a C, che forma una proporzione con le prime tre, cioè tale che A : B = C : D.

Data la proporzione a : b = c : d individuata dalle misure di quattro grandezze proporzionali si ha che:

  • proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi

bc = ad

  • proprietà dell’invertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una

proporzione

b : a = d : c

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Grandezze proporzionali

  • proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi oppure gli estremi si ottiene ancora una proporzione

a : c = b : d oppure d : b = c : a

  • proprietà del comporre: la somma tra il primo ed il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto)

(a + b): a = (c + d): c oppure (a + b): b = (c + d) : d

  • proprietà dello scomporre: la differenza fra il primo ed il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo ed il quarto sta al terzo (o al quarto)

(a − b): a = (c − d): c oppure (a − b): b = (c − d) : d

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Proporzionalità

diretta e inversa

Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono:

  • direttamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme è uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati
  • inversamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme è uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati

ESEMPI:

  • il perimetro di un quadrato è direttamente proporzionale alla lunghezza del lato
  • la velocità di un’automobile è inversamente proporzionale al tempo impiegato a percorrere una distanza stabilita

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il perimetro di un quadrato di lato 1m è 4m, quello del quadrato di lato 5m è 20m,

quello del quadrato di lato 6m è 24m; il rapporto fra il perimetro p e il lato lè sempre

uguale a 4:

Proporzionalità

diretta e inversa

Se passiamo dalle grandezze alle misure possiamo introdurre ulteriori proprietà:

  • sei due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali, allora il rapporto fra le misure delle

grandezze che si corrispondono è costante, cioè non cambia al variare della coppia scelta

  • se i due insiemi di grandezze sono inversamente proporzionali, allora il prodotto fra le misure

delle grandezze che si corrispondono è costante.

Il numero che esprime il rapporto costante viene detto costante di proporzionalità diretta; analogamente il numero che esprime il prodotto costante viene detto costante di proporzionalità inversa.

ESEMPI:

  • per percorrere 200km occorrono 2 ore viaggiando a 100km/h, 4 ore viaggiando a

50km/h, 10 ore viaggiando a 20km/h; il prodotto fra il tempo t e la velocità v è

sempre uguale a 200: v· t = 200

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ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti

  • alla somma di due angoli al centro corrisponde la somma dei rispettivi archi

Proporzionalità

diretta e inversa

Per stabilire se due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali si può applicare il criterio generale:

  • condizione necessaria e sufficiente affinché due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano
  • direttamente proporzionali è che:
  • a grandezze uguali del primo insieme corrispondano grandezze uguali del secondo
  • alla somma di due o più grandezze del primo insieme corrisponda la somma delle corrispondenti grandezze del secondo.

archi e angoli al centro di una circonferenza sono insiemi di grandezze proporzionali

ESEMPIO:

Infatti:

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Teorema. Se quattro segmenti sono in proporzione, il rettangolo dei medi è equivalente al rettangolo degli estremi.

a : b = c : dR1 R2

Proporzionalità

diretta e inversa

Vale anche l’inverso.

Teorema. Se due rettangoli sono equivalenti, i lati consecutivi dell’uno sono i medi e i lati consecutivi dell’altro sono gli estremi di una proporzione.

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una parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali

  • viceversa, se una retta interseca due lati di un triangolo e li divide in parti

proporzionali, essa è parallela al terzo lato.

Il teorema di Talete

Teorema (di Talete). Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse due insiemi di segmenti direttamente proporzionali.

  • Teorema (inverso del teorema di Talete). Date due rette r e s tali che i loro punti siano ordinati e in corrispondenza biunivoca, se:
  • i segmenti che hanno per estremi punti corrispondenti sono proporzionali
  • le rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti sono parallele

allora tutte le rette che congiungono coppie di punti corrispondenti sono parallele alle prime due e fra loro.

Applicazione ai triangoli:

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teorema (della bisettrice dell’angolo interno). La bisettrice di un angolo interno di un triangolo

divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.

CAD ≅ DAB DB : AB = CD : CA

  • teorema (della bisettrice dell’angolo esterno). La bisettrice di un angolo esterno di un

triangolo, se non è parallela al lato opposto, incontra la retta di quest’ultimo in un punto che

individua con quel lato segmenti proporzionali agli altri due lati.

BAP ≅ PAR, AP non parallela a BC CP : CA = PB : BA

Il teorema di Talete

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rettangolo di dimensioni b e h

b · h

quadrato di lato l

l2

parallelogramma di base b e altezza h

b · h

triangolo di base b e altezza h

oppure, se p è il semiperimetro e a, b, c i lati (formula di Erone)

b · h

trapezio di basi b e B e altezza h

(B + b) · h

rombo di diagonali d1 e d2

d1 · d2

poligono di semiperimetro p circoscritto a circonferenza di raggio r

p · r

Le aree dei poligoni

Dal teorema sulla misura dell’area del rettangolo e dai teoremi di equivalenza tra poligoni possiamo derivare le principali formule per il calcolo delle aree:

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Teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle misure dei cateti è uguale al quadrato della misura dell’ipotenusa; in simboli:

c2 = a2 + b2

  • Primoteorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per la misura della proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa; in simboli:

a2 = c· d

Teoremi di

Pitagora ed Euclide

Riformuliamo da un punto di vista metrico alcuni teoremi sui triangoli rettangoli.

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Secondoteorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; in simboli:

h2 = d· m

Teoremi di

Pitagora ed Euclide

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indicata con l la misura del lato di un quadrato e con d quella della sua

diagonale si ha che

  • Analoghe relazioni valgono nei triangoli rettangoli che hanno gli angoli acuti di 45° oppure di 30° e

60° che sono rispettivamente la metà di un quadrato e la metà di un triangolo equilatero

Relazioni metriche

Conseguenze del teorema di Pitagora:

  • indicata con l la misura del lato di un triangolo equilatero e con h quella

della sua altezza si ha che

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indicata con rla misura del raggio di una circonferenza e con l la misura

del lato del quadrato inscritto si ha che

  • indicata con rla misura del raggio di una circonferenza, con l la misura del

lato del triangolo equilatero inscritto e con h quella della sua altezza si h a:

  • il lato dell’esagono inscritto in una circonferenza di raggio r è lungo r

Relazioni metriche

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Dall’assioma: ogni arco di circonferenza è maggiore della corda che lo sottende e minore della somma dei due segmenti di tangente condotti dagli estremi dell’arco fino al loro punto di intersezione : AB < AB < AP + PB

  • il perimetro p del poligono inscritto è minore della lunghezza della circonferenza
  • il perimetro p’ del poligono circoscritto è maggiore della lunghezza della circonferenza

La lunghezza

della circonferenza

possiamo dedurre che se consideriamo un qualunque poligono inscritto nella circonferenza e un qualunque poligono circoscritto, accade che:

Alla lunghezza di una circonferenza possiamo allora associare il segmento che si ottiene considerando il perimetro del poligono in essa inscritto o quello del poligono ad essa circoscritto con un numero infinito di lati; a tale segmento si dà il nome di circonferenza rettificata. Due circonferenze rettificate sono proporzionali ai rispettivi diametri.

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Teorema. Un cerchio ha la stessa area di un triangolo che ha per base la circonferenza rettificata e per altezza un segmento congruente al raggio della circonferenza.

Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e l’area T dei corrispondenti settori circolari si deduce la relazione:

Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e la lunghezza l dei corrispondenti archi si deduce la relazione:

Area del cerchio

Analogamente si può definire l’area del cerchio come il “confine” fra le aree dei poligoniinscritti e le aree dei poligoni circoscritti al crescere del numero dei lati.

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