第 8 章 振动

1. 合成 简谐运动 复杂振动 分解 • 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 第8章 振动 • 机械振动 物体围绕一固定位置附近所作的周期性往复运动. • 其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等. • 周期和非周期振动 • 简谐运动 最简单、最基本的振动.

2. 令 积分常数，根据初始条件确定 简谐振动及其描述

3. 弹簧振子周期 图 注意 • 周期 • 频率 • 角频率 8.1 简谐振动的特征量 周期、频率 周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关

4. 1） 存在一一对应的关系; 2）相位在 内变化，质点无相同的运动状态； 相位 3）初相位描述质点初始时刻的运动状态. 相差 为整数质点运动状态全同.（周期性） ( 取 或 ) 振幅

5. 常数 和 的确定 初始条件 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.

6. 取 图 图 图 简谐振动曲线

7. 例8-1一弹簧振子竖直悬挂，在弹性力和重力的作用下作振动。试讨论该振动系统的振动是否是简谐振动。例8-1一弹簧振子竖直悬挂，在弹性力和重力的作用下作振动。试讨论该振动系统的振动是否是简谐振动。 解 如图8-3所示，取轴竖直向下，点为弹簧自然状况下物体所处位置，为物体受力平衡的位置。物体在竖直方向振动时，始终受到弹性力和重力的作用。设物体在力平衡位置点时，弹簧净伸长量为，则 我们通过分析物体在任何位置P点的受力情况来讨论物体的振动情况。首先，设物体在坐标系下运动。物体在位置P所受的合外力为 (1) 然后，设物体在坐标下运动。物体在位置所受的合外力为 （2）

8. 由此可见，式（1）不满足简谐振动定义式（8-1），而式（2）满足式（8-1）。也就是说，该振动系统在坐标系中的运动不是简谐振动，而在坐标系中的运动是简谐振动。这时，弹性力和重力的合力类似于弹簧振子中的弹性力而作为简谐振动的回复力，一般可称为准弹性力。由此可见，式（1）不满足简谐振动定义式（8-1），而式（2）满足式（8-1）。也就是说，该振动系统在坐标系中的运动不是简谐振动，而在坐标系中的运动是简谐振动。这时，弹性力和重力的合力类似于弹簧振子中的弹性力而作为简谐振动的回复力，一般可称为准弹性力。 例8-2 一放置在水平桌面上的弹簧振子，已知振动周期T=0.50S 。初始条件 m， 试求该弹簧振子的振动方程。 解 由式（8-7），可得简谐振动的角频率为 振幅和初相由初始条件决定，由式（8-10）和式（8-11）可求得 据上式，可取或，但根据初始条件和，此时应 取在第三象限的值，即。

9. 可得所求弹簧振子的简谐振动方程为 8.2旋转矢量法 简谐振动除了用简谐振动运动学方程和简谐振动曲线表示 外，还可以用旋转矢量来表示。使用旋转矢量法常可以避免 一些繁琐的计算。

10. 长为 的矢量绕原点匀速旋转， --旋转矢量 1 旋转矢量 ---端点。 ----端点在X轴的投影点。

11. 端点M 在X 轴上的投影点P的运动特点是： 一维运动，而且在原点两边做往复运动，类似弹簧振子在平衡位置两边的往复运动----P点作简谐运动。

12. 投影点P的运动规律 ● 任意时刻投影点P点在 x轴上运动速度满足方程 ● 任意时刻投影点P点在 x轴上运动加速度满足方程 ● 任意时刻投影点P在 x轴上坐标满足方程 上三式与弹簧振子简谐振动三个方程一致。

13. 例8-3 一物体沿轴作简谐振动，振幅为 0.24m ，周期为 2s 。当t=0时 ，且向 轴正方向运动。试求： (1) 物体的振动方程； (2) 物体从 m且向 轴负方向运动的状态，回到平衡位置所需的最短时间。 解 (1) 由式（8-7）可得简谐振动的角频率为 当 t=0 时， ， ，可画出时旋转矢量的位置如图8-5(a)所示。因为 m， m，即 ，故从图中很容易求得 。所以振动方程为 (a) (b) 图8-5 例8-3图

14. (2) 令 和 这一状态对应的时刻为 ，回到平衡位置的时刻为 。按照旋转矢量法，可分别画出 和 时刻的旋转矢量位置，如图8-5(b)所示。从图中很容易求得旋转矢量从 时刻到 时刻所转过的角度为 由于 所以

15. 例8-4 设某弹簧振子的振动曲线如图8-6所示，试求其振动方程。 图8-7 例8-4旋转矢量图 图8-6 例8-4振动图线 解 由题设的 图线可知，振幅 ，而初始条件 于是，在旋矢图8-7中，可作出旋矢 （t=0），可得初相 。 由题设的 线可知，t=1s 时，物体的振动状态为 。于是在旋矢图8-7中可作出旋矢 （t=1s），可得的相位为

16. 即 可得题设弹簧振子的振动方程为

17. 8.3 简谐振动的能量

18. v x 某一时刻，谐振子速度为v，位移为x 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 谐振动总能量: 动能+势能

19. 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒

20. 8.4 振动的合成 一 两个同方向同频率简谐运动的合成 两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动

21. 讨论 1）相位差

22. 1）相位差 相互加强 2）相位差 相互削弱 3）一般情况