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學習目標 7.2 個案研究：加州製造公司問題 （ 7.1 節） 7.2–7.11 利用 BIP 做專案選擇： Tazer 公司問題 （ 7.2 節） 7.12–7.15 利用 BIP 選擇緊急服務設施的地點：卡林市的問題 （ 7.3 節） 7.16–7.19 利用 BIP 於機組人員排班：西南航空公司問題 （ 7.4 節） 7.20–7.24 利用混合 BIP 處理開始生產的整備成本 ︰ 偉伯公司問題修正版 （ 7.5 節） 7.25–7.30 補充教材 整數規劃導論（華盛頓大學上課教材） 7.31–7.46
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學習目標7.2 個案研究：加州製造公司問題（7.1節） 7.2–7.11 利用 BIP 做專案選擇：Tazer公司問題（7.2節） 7.12–7.15 利用 BIP 選擇緊急服務設施的地點：卡林市的問題（7.3節） 7.16–7.19 利用 BIP 於機組人員排班：西南航空公司問題（7.4節） 7.20–7.24 利用混合 BIP 處理開始生產的整備成本︰偉伯公司問題修正版 （7.5節） 7.25–7.30 補充教材 整數規劃導論（華盛頓大學上課教材） 7.31–7.46 整數規劃之應用（華盛頓大學上課教材） 7.47–7.59 第 7 章利用二位元整數規劃處理「是/否」決策
二位元變數之應用 • 因為二位元變數（binary variable）只有 0 與 1兩種可能的數值，所以自然用它們來表示「是/否」決策（yes-or-no decisions）。 • 範例： • 我們應該執行某一特定專案嗎？ • 我們應該選擇某一特定投資方案嗎？ • 我們應該將設施選定在某一特定地點嗎？
加州製造公司的問題 • 加州製造公司是一家多角化經營的公司，有許多的工廠與倉庫遍及整個加州，但是在洛杉磯或舊金山卻還沒有。 • 基本的問題是要在洛杉磯或舊金山二地之中擇一建廠，或是在兩地都設廠。 • 管理階層也考慮到最多蓋一個新倉庫，但是限制其只能蓋在新廠所在的城市。 問題：加州製造公司應該在洛杉磯或舊金山擴建工廠和（或）倉庫？
代數式 令x1 = 1 若在洛杉磯蓋工廠；否則為0 x2 = 1 若在舊金山蓋工廠；否則為0 x3 = 1 若在洛杉磯蓋倉庫；否則為0 x4 = 1 若在舊金山蓋倉庫；否則為0 最大化 NPV = 8x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4（百萬美元）受限於 總資本支出： 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 （百萬美元）最多1個倉庫：x3 + x4 ≤ 1有設工廠才可能蓋倉庫：x3 ≤ x1x4 ≤ x2且x1, x2, x3, x4為二位元變數
管理階層的結論 • 管理階層暫時所考慮的投資金額為 1,000 萬美元。 • 在此資本下，最佳計畫是在洛杉磯和舊金山都設立工廠，但都不設倉庫。 • 這個計畫有一個優點，就是總共只使用了 900 萬美元，剩下的 100 萬美元可用於其他的投資方案。 • 如果可用資本降到 900 萬美元以下，就會產生嚴重的損失（總淨現值從 1,300 萬美元減至 900 萬美元）。 • 如果將資本增加 100 萬美元（從 1,000 萬美元變成 1,100 萬美元），就會增加 400 萬美元的總淨現值（從 1,300 萬美元到 1,700 萬美元）。管理階層最後決定要這樣做。 • 若有如此多的資本可茲運用，則最佳計畫是在洛杉磯與舊金山都設立工廠，並且在舊金山設立倉庫（所產生的總淨現值估計為 1,700 萬美元）。
一些其他應用 • 投資分析 • 我們是否應該做某一特定投資？ • 範例：Turkish Petroleum Refineries (1990), South African National Defense Force (1997), Grantham, Mayo, Van Otterloo and Company (1999) • 廠址選擇 • 是否應該選擇某一特定地點作為設廠的位置？ • 範例：AT&T (1990) • 設計生產與配銷網路 • 是否某一特定工廠應該繼續運作？是否應該選擇某一特定地點作為設立新廠的位置？是否某一特定配銷中心應該繼續運作？是否某一特定配銷中心應該被指派來服務某一特定市場區域？ • 範例：Ault Foods (1994), Digital Equipment Corporation (1995)
一些其他應用（續） • 運送指派 • 是否某一特定路線被選定為某一輛卡車的運行路徑？是否使用某一特定大小的車輛？是否選定某一特定期間作為出車時間？ • 範例：Quality Stores (1987), Air Products and Chemicals, Inc. (1983), Reynolds Metals Co. (1991), Sears, Roebuck and Company (1999) • 排定相關活動時程 • 是否某一特定活動在某一期間展開？ • 範例：Texas Stadium (1983), China (1995) • 排定資產出售時程 • 是否某一特定資產在某一期間出售？ • 範例：Homart Development (1987) • 航空公司應用 • 是否某一特定類型飛機被指派作為某一特定航班之用？是否指派某一特定航線給某位機師？ • 範例：American Airlines (1989, 1991), Air New Zealand (2001)
專案選擇：Tazer 公司問題 • Tazer 為一家製藥公司，目前想要研發一種突破性新藥物。 • 有五個具潛力的 R&D 專案： • 提升專案：研發出更有效的抗憂鬱藥劑，且不會導致病患嚴重的情緒起伏。 • 穩定專案：研發出抗躁鬱症的藥物。 • 選擇專案：研發出較少侵入性的女性避孕方法。 • 希望專案：研發出預防 HIV 感染的疫苗。 • 釋出專案：研發出更有效的降血壓藥物。 • 公司可用資金只有12 億美元（只夠執行二到三個專案）。 問題：應該選擇哪些研發專案？
Tazer 公司專案選擇問題的代數式 令xi = 1 若選擇專案i ;0 否則 ( i = 1, 2, 3, 4, 5) 最大化 P = 300x1 + 120x2 + 170x3 + 100x4 + 70x5 （百萬美元） 受限於 研發預算： 400x1 + 300x2 + 600x3 + 500x4 + 200x5 ≤ 1,200 （百萬美元） 且 xi為二位元 ( i = 1, 2, 3, 4, 5)
緊急服務設施地點的選擇：卡林市的問題 • 卡林市人口成長快速，居住範圍擴展到原有城市邊界以外。 • 這座城市只有一個消防站，位在擁擠的市中心。 • 結果是當火災發生無法快速抵達城市外圍的地區。 目標：提出一個在城市多處設立消防站的計畫。 新政策：回應時間 ≤ 10 分鐘
卡林市問題的代數式 令xj= 1 若在區域j設立消防站；否則為 0 (j = 1, 2, … , 8) 最小化 C = 350x1 + 250x2 + 450x3 + 300x4 + 50x5 + 400x6 + 300x7 + 200x8 受限於 區域 1: x1 + x2 + x4 ≥ 1區域 2: x1 + x2 + x3 ≥ 1區域 3: x2 + x3 + x6 ≥ 1區域 4: x1 + x4 + x7 ≥ 1區域 5: x5 + x7 ≥ 1區域 6: x3 + x6 + x8 ≥ 1區域 7: x4 + x7 + x8 ≥ 1區域 8: x6 + x7 + x8 ≥ 1 且 xj為二位元 ( j = 1, 2, … , 8)
機組人員排班：西南航空公司問題 • 西南航空對於所有排定的航班，需要指派它的機組人員去執行飛航勤務。 • 我們將焦點擺在：指派三位居住於舊金山（San Francisco，簡稱 SFO）的機組人員來執行 11 個航班的勤務。 問題：應該如何將這三位機組人員指派到三條航線，使得 11 個航班都有人負責勤務？
西南航空問題的代數式 令 xj = 1 若接續航線j被指派給某位組員；否則為0 (j = 1, 2, … , 12)最小化 成本 = 2x1 + 3x2 + 4x3 + 6x4 + 7x5 + 5x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 + 9x10 + 8x11 + 9x12 (千美元)受限於 航班1：x1 + x4+ x7 + x10 ≥ 1航班2：x2 + x5 + x8 + x11 ≥ 1 : :航班11：x6 + x9 + x10 + x11 + x12 ≥ 1三位組員： x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 ≤ 3 且xj為二位元 (j = 1, 2, … , 12)
偉伯公司問題︰考慮整備成本 • 假設偉伯公司問題有兩項改變： 1. 開始某一產品的生產時需要調整（或設定）生產設施， 所以會有所謂的整備成本（setup cost）。 2. 對於每一種產品，每月只有排定一週來生產。所以原始模式中的 D 和 W 現在分別代表門和窗戶的生產量，而不再是生產率。因此，這二個變數必須限制為整數。
考慮整備成本偉伯問題的代數式 令 D = 門生產量W = 窗戶生產量y1 = 1 若整備來生產門；否則為 0y2 = 1 若整備來生產窗戶；否則為 0最大化 P = 300D + 500W – 700y1 – 1,300y2受限於 原始限制式：工廠 1：D ≤ 4工廠 2： 2W ≤ 12工廠 3： 3D + 2W ≤ 18只有整備才能生產：門：D ≤ 99y1窗戶：W ≤ 99y2且D ≥ 0, W ≥ 0, y1與y2為二位元
整數規劃 • 何種情況下允許「非整數」解？ • 解本身是可以切割的 • 例如：金錢、磅、小時 • 解代表速率 • 例如：每週產量 • 解只是作為規劃的目的 • 何種情況下允許將解取為整數？ • 當數值相當大時 • 例如：將 114.286 取為 114 或許並無問題 • 何種情況下不允許將解取為整數？ • 當數值相當小時 • 例如：將 2.6 取為 2 或 3 可能會有問題 • 二位元變數 • 「是╱否」決策
「取為整數」可能形成的問題 • 取為整數後的解可能不再是可行解。 • 取為整數後的解可能已經偏離最佳解相當遠。 • 可能會有許多取為整數後的整數解。 • 範例：考慮一個具有30 個非整數值的 LP 變數解。若將這些變數值取為整數後，會有多少組可能的整數解？
二位元變數的應用 • 做「是/否」類型的決策 • 建造一座工廠？ • 製造一項產品？ • 執行一個專案？ • 指派一個人來做一件工作？ • 集合涵蓋問題 • 指定一組指派使其可以涵蓋一組需求 • 固定成本 • 若啟動某項產品的生產，會伴隨一項固定的整備成本 • 若一個倉庫運作的話，會有固定的營運費用
範例 # 1（資本預算） • Norwood 開發公司正考慮四項具潛力的開發專案。 • 每一項專案最多在三年內可以完成。 • 每一項專案所需現金流量、淨現值、以及每年可用現金如下表所示。 問題：應該選擇哪些專案？
Norwood 開發公司資本預算的代數式 令yi = 1 若選擇專案i； 否則為0 (i = 1, 2, 3, 4)最大化淨現值 = 30y1 + 16y2 + 22y3 + 14y4受限於 第 1 年： 9y1 + 7y2 + 6y3 + 11y4 ≤ 28 (百萬美元)第 2 年：（累計） 15y1 + 11y2 + 9y3 + 11y4 ≤ 41 (百萬美元)第 3 年：（累計） 21y1 + 11y2 + 13y3 + 11y4 ≤ 51 (百萬美元)且 yi為二位元 (i = 1, 2, 3, 4)
其他的考量（邏輯和相依限制式） • 至少選擇專案 1、2、3 其中一個。 • 除非執行專案 3，否則不能執行專案 2。 • 專案 3 和專案 4 只能二擇一，不能二者都選。 • 總共專案執行件數不超過二件。 問題：若有上述這些額外考量，需要加入哪些限制式？
範例 # 2（集合涵蓋問題） • 華盛頓州議會正想要決定要在哪些地點設立搜救隊。 • 成立搜救隊需要許多經費，所以他們希望所成立的隊伍數愈少愈好。 • 回應時間相當關鍵，所以他們希望每一個郡要有一支搜救隊或是在鄰近的郡要有搜救隊。 問題：要在哪些地點設立搜救隊？
代數式 令yi = 1 若在郡i 設有搜救隊; 0 否則 (i = 1, 2, … , 37)最小化搜救隊數 = y1 + y2 + … + y37受限於 郡 1 : y1 + y2 ≥ 1郡 2 : y1 + y2 + y3 + y6 + y7 ≥ 1 郡 3 : y2 + y3 + y4 + y7 + y8 + y14 ≥ 1 : :郡 37 : y32 + y36 + y37 ≥ 1且 yi為二位元 (i = 1, 2, … , 37)
範例 # 3（固定成本） • Woodridge白鑞（錫與鉛、黃銅等的合金）製器公司生產三種白鑞製品：淺盤、碗、以及水罐。 • 每一項產品的製造需要有可運用的機器和模具。製造每一種產品的機器和模具可以租用，租金如下: 製造淺盤為 $400╱週，製造碗為 $250 ╱週，製造水罐為 $300 ╱週。 • 各種產品所需人工和白鑞如下表所示。銷售價格以及變動成本亦列在表中。 問題：應該生產哪些製品，以及多少數量？
代數式 令x1 = 生產淺盤的數量x2 = 生產碗的數量x3 = 生產水罐的數量yi = 1 若租用製造產品i的機器和模具；否則為 0 (i = 1, 2, 3)最大化 利潤 = ($100–$60)x1 + ($85–$50)x2 + ($75–$40)x3 – $400y1 – $250y2 – $300y3受限於 人工： 3x1 + x2 + 4x3 ≤ 130 小時 白鑞： 5x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 240 磅 只有機器和模具有租用時才可以生產：x1 ≤ 99y1x2 ≤ 99y2 x3 ≤ 99y3 且 xi≥ 0 ，yi為二位元 (i = 1, 2, 3)
二位元變數之應用 • 作「是╱否」類型之決策 • 建造一座工廠？ • 製造一項產品？ • 執行一個專案？ • 指派某個人執行某件工作？ • 固定成本 • 若生產某項產品，則伴隨有固定整備成本。 • 若一座倉庫運作，則伴隨有固定成本。 • 二擇一限制式 (Either-or constraints) • 生產量必須 = 0 或 ≥ 100 • 部分限制式(Subset of constraints) • 4 條限制式中必須滿足其中的 3 條
具有附帶限制式之資本預算（是╱否決策） • 某一家公司正在為未來幾年規劃資本預算。 • 他們目前正考慮 10 個具有潛力的專案。 • 他們已經計算出各項專案的期望淨現值，以及未來五年所需的現金流量。 • 此外，假設有以下的附帶限制式（contingency constraints）： • 至少必須執行專案1、2、3其中的一個。 • 專案 4 和 專案 5 不能二個都執行。 • 除非專案 6 有執行，否則專案 7 不得執行。 問題：他們應該執行哪些專案？
