Instituto Tecnológico de Saltillo Curso Intensivo de Cálculo Diferencial para docentes del ITS

1. Instituto Tecnológico de Saltillo Curso Intensivo de Cálculo Diferencial para docentes del ITS Instructor: M.C. Ignacio Dávila Ríos Colaboración especial: Lic. Benjamín Arellano Periodo Agosto - Diciembre 2013

2. Introducción: Objetivo del Curso. Alcance del Curso. Limitaciones. Ing. Ignacio Dávila Ríos

3. Test para evaluar sus posibilidades de cometer asesinatos matemáticos Solamente conteste con una “V” si considera verdadera la cuestión o “F” si la considera Falsa. Cuestiones. V o F Si una ganancia se ha duplicado es que se ha aumentado un 200% _____ 2. El precio de la factura de la electricidad es directamente proporcional al consumo realizado _____ 3. Un terreno de mide _____ 4. El siglo XX acabó el 31 de diciembre de 1999 _____ 5. A 32° de temperatura hace calor _____ 6. El número mayor usando sólo dos nueves es 99 _____ 7. El premio mayor con el número 12,345 tiene mas probabilidades de salir que el 22,222 _____

4. Test para evaluar sus posibilidades de cometer asesinatos matemáticos Solamente conteste con una “V” si considera verdadera la cuestión o “F” si la considera Falsa. Cuestiones. V o F 8. Si al comprar dos cosas iguales del segundo le cobran la mitad resulta un 50% de descuento _____ 9. Al comprar un producto por cada $100 de compra se te descuenta la mitad, resulta en un 50% de descuento _____ 10. El cuadrado de 5 euros es 25 euros al cuadrado. _____

5. Temario: Unidad I. Las Funciones y sus Gráficas. Unidad II. Límites y Continuidad. Unidad III. Derivadas. Unidad IV. Aplicaciones de la Derivada. Ing. Ignacio Dávila Ríos

6. Unidad I. Las Funciones y sus Gráficas. • El concepto de función es importante no solo para las matemáticas, sino también en las aplicaciones prácticas. Decimos que es una función de , cuando los valores de dependen de los valores que toma , esto lo escribimos , nombramos variable independiente a , mientras que llamamos variable dependiente a . • A menudo se definen las funciones por medio de expresiones algebraicas, esto es, por medio de fórmulas que indican la relación funcional de las variables, por ejemplo: • ; ; ; ; etc. Ing. Ignacio Dávila Ríos

7. Las leyes de la física son proposiciones respecto a la forma en que dependen ciertas cantidades de otras, cuando algunas de estas varían, por ejemplo la presión atmosférica depende de la altitud, la energía de una bala, de su masa y velocidad, el tono de la nota emitida por una cuerda vibrante depende de su longitud, de su peso y de la tensión a que está sometida; la distancia recorrida por un cuerpo en movimiento depende del tiempo, etc. La tarea del físico consiste en determinar la naturaleza exacta o aproximada de esa dependencia funcional, esto es, en encontrar la fórmula general que indique la relación funcional entre las cantidades involucradas en el fenómeno que estudia. Ing. Ignacio Dávila Ríos

8. Tal actitud no solo se adopta con los físicos, sino también en otras áreas como por ejemplo, en la ingeniería, economía, biología, y muchas otras. El procedimiento que se sigue para obtener dichas fórmulas es más o menos el siguiente: Observando un fenómeno llega a identificar las variables que intervienen en él. Como segundo paso, obtiene en forma experimental, valores de la variable dependiente para ciertos valores de la independiente, formando así una tabla de datos. En el tercer paso, usando un sistema de coordenadas (usualmente rectangulares, aunque también se utilizan de otro tipo) grafica estos datos; obteniendo una serie de puntos en el plano (o en el espacio). El siguiente paso, es buscar la gráfica de una función que se “parezca” más a la gráfica obtenida al unir los puntos .Tal función es considerada como la que describe en forma más aproximada el fenómeno estudiado. Ing. Ignacio Dávila Ríos

9. Para realizar el último paso, es necesario tener un conocimiento de la representación gráfica de las funciones. En matemáticas obtenemos la gráfica de una función por medio de la fórmula de la función, dando valores a la variable independiente obtenemos valores de la variable dependiente, representando una cantidad de estos valores en un sistema de coordenadas obtenemos tal gráfica; otra forma es por medio del cálculo. El objetivo de esta unidad es el de proporcionar algunas ideas para dibujar bosquejos de las gráficas de varios tipos de funciones, partiendo del análisis de las gráficas de funciones sencillas. Ing. Ignacio Dávila Ríos

10. DEFINICION: Una función es una relación entre dos conjuntos de valores llamados y , para lo cual, a CADA valor del conjunto le corresponde únicamente un valor del conjunto . Esto hace que el conjunto de valores de dependan del conjunto de los valores de . X -2 -1 0 1 2 3 Y 1 2 3 4 1 2 Ing. Ignacio Dávila Ríos

11. Entrada x Salida y Función f Rango Dominio Ing. Ignacio Dávila Ríos

12. Existen diferentes formas de representar una función. 1. Podemos representar una función por medio de una tabla de valores. Si todos los valores de X son diferentes es una función. NO es una Función SI es una Función Ing. Ignacio Dávila Ríos

13. Existen diferentes formas de representar una función. 2. Podemos representar una función por medio de un diagrama de flechas, o diagrama sagital. Si sale una sola flecha del conjunto de valores de , es una función. X -2 -1 0 1 2 3 Y 1 2 3 4 Ing. Ignacio Dávila Ríos

14. Existen diferentes formas de representar una función. 2. Podemos representar una función por medio de un diagrama de flechas, o diagrama sagital. Si sale más de una flecha del conjunto de valores de NO ES una función. X -2 -1 0 1 2 3 Y 1 2 3 4 5 6 Ing. Ignacio Dávila Ríos

15. Existen diferentes formas de representar una función. 3. Podemos representar una función por medio de un conjunto de pares ordenados. Si todos los valores de la componente en del conjunto es diferente, si es una función. Si es una función No es una función Ing. Ignacio Dávila Ríos

16. Existen diferentes formas de representar una función. 4. Podemos representar una función por medio de una gráfica. Si se cumple la prueba de la recta vertical, si es una función. Ing. Ignacio Dávila Ríos

17. Prueba de la Línea Vertical. Una gráfica representa una función si al trazar a lo largo de toda la gráfica una línea vertical y toca solamente un solo punto entre esta y la gráfica. No es una función Si es una función Ing. Ignacio Dávila Ríos

18. Existen diferentes formas de representar una función. 5. Podemos representar una función por medio de una ecuación, para poder determinar si una ecuación es una función no es tan sencillo, se tienen que tener conocimiento de la misma. =25 No es una función Si es una función Ing. Ignacio Dávila Ríos

19. Características de una función Son varías las características con las que cuenta una función, entre las principales se pueden exponer las siguientes: Su Dominio. Su Rango*. Su simetría con alguno de los ejes . Si es par, impar o ninguna de las dos. Si es uno a uno ó biunívoca. *También llamado Contradominio, Imagen, Ámbito, Codominio. Ing. Ignacio Dávila Ríos

20. Dominio y Rango de una Función El Dominio de una función se denota por todos los posibles valores que puede tomar la función a lo largo del eje de las “”. El Rango de una función se denota por todos los posibles valores que puede tomar la función a lo largo del eje de las “”. Ing. Ignacio Dávila Ríos

21. Dominio y Rango de una Función ¿Cuál es la forma más sencilla de encontrar el dominio y rango de una función? La forma más fácil de encontrar el dominio y rango de una función es a través de la tabla de valores, el diagrama sagital, el conjunto de pares ordenados y también desde su gráfica, que es la más común en cálculo diferencial. Ing. Ignacio Dávila Ríos

22. Dominio y Rango de una Función en una tabla de valores Dominio Dominio Rango Rango Rango Ing. Ignacio Dávila Ríos

23. Dominio y Rango de una Función en una gráfica Dominio Rango Dominio: Rango Ing. Ignacio Dávila Ríos

24. Dominio y Rango de una Función en una gráfica Dominio Rango Dominio: Ran Ing. Ignacio Dávila Ríos

25. Dominio y Rango de una Función en una gráfica Dominio Rango Dominio:] Ran Ing. Ignacio Dávila Ríos

26. Dominio y Rango de una Función en una gráfica Dom Dominio Rango: Rango Ing. Ignacio Dávila Ríos

27. Tipos de Funciones más comunes. Existe una gran cantidad de funciones y de las cuales muchas son representaciones de fenómenos físicos, biológicos, químicos, de economía, astronomía, etc. A continuación se muestran las más usuales: Función Constante. Función Lineal. Función Cuadrática. Función Cúbica. Funciones Polinomiales. Función Valor Absoluto. Función Raíz Cuadrada. Función Máximo Entero. Función racional. Funciones Inversas. Función Compuesta y operación con funciones. Funciones logarítmicas y exponenciales. Funciones Trigonométricas, etc. Ing. Ignacio Dávila Ríos

28. 1. Función Constante. La función constante es considerada la función más sencilla, y esto es porque para cualquier valor de “” la variable “” no cambia, es decir, permanece constante. Tiene la forma: Por ejemplo, 5 Ing. Ignacio Dávila Ríos

29. 1. Función Constante. Características: El Dominio siempre es y su Rango el valor de la constante “C”, su gráfica siempre es una línea horizontal en “”, por lo que su pendiente es cero. 5 Ing. Ignacio Dávila Ríos

30. 2. Función Lineal. La Función Lineal como su nombre lo dice, nos representa una línea recta, sus principales características es que posee una pendiente y siempre corta al eje de las “y” en un punto. Además que su dominio y rango siempre es La función lineal en su forma fundamental es: Ing. Ignacio Dávila Ríos

31. 2. Función Lineal. Alas formas más comunes que podemos encontrar en una función lineal son: , forma canónica. donde “” es la pendiente (positiva o negativa) y “” es el valor donde intersecta la grafica con el eje “”. Ing. Ignacio Dávila Ríos

32. 2. Función Lineal. Ejemplo: Esta es la ecuación lineal en su forma fundamental. y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta a y que pasa por el origen. Ing. Ignacio Dávila Ríos

33. 2. Función Lineal. Ejemplo: Esta es la ecuación lineal en su forma 5 y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta por arriba de los y que pasa por el origen. Ing. Ignacio Dávila Ríos

34. 2. Función Lineal. Ejemplo: Esta es la ecuación lineal en su forma y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta por debajo de los y que pasa por el origen. Ing. Ignacio Dávila Ríos

35. 2. Función Lineal. Ejemplo: Esta es la ecuación lineal en su forma negativa. y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta a pero ahora en forma descendente y que pasa por el origen. Ing. Ignacio Dávila Ríos

36. 2. Función Lineal. La función lineal cuya forma es , nos muestra que la gráfica se traslada sobre el eje “”, “” unidades hacía arriba si esta sumando y “” unidades hacía abajo si esta restando. Esto nos permite realizar trazos de funciones que denominaremos “graficación por simple inspección”, esta técnica nos evita realizar una tabla de valores y tener que evaluar la función; además nos ahorra muchos cálculos y minimiza el tiempo de graficación. Ing. Ignacio Dávila Ríos

37. Graficación de Funciones por “Simple Inspección”. Para realizar la graficación por “simple inspección”, se requiere conocer algunos movimientos estratégicos de las funciones, siempre se parte de la función fundamental, y los movimientos más comunes sobre la función son los siguientes: Traslaciones horizontales. Traslaciones verticales. Compresión y Alargamiento Verticales. Reflexión. Ing. Ignacio Dávila Ríos

38. Graficación de Funciones por “Simple Inspección”. Traslación horizontal de gráficas. Una traslación horizontal de una gráfica se presenta sobre el eje de las “” tal como se muestra a continuación: Sea . La gráfica de es la de desplazada unidades hacía la derecha. La gráfica de es la de desplazada unidades hacía la izquierda. Ing. Ignacio Dávila Ríos

39. Graficación de Funciones por “Simple Inspección”. 2. Traslación vertical de gráficas. Una traslación vertical de una gráfica se presenta sobre el eje de las “” tal como se muestra a continuación: Sea . La gráfica de es la de desplazada unidades hacía arriba. La gráfica de es la de desplazada unidades hacía abajo. Ing. Ignacio Dávila Ríos

40. Graficación de Funciones por “Simple Inspección”. 3. Compresión y Alargamiento Verticales de Gráficas. Para cualquier constante , la forma básica de la gráfica de es igual que la de , pero con un cambio en la escala vertical. Los dominios de y son iguales, y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen. Para . La gráfica de es un alargamiento vertical. Para . La gráfica de es una compresión vertical. Ing. Ignacio Dávila Ríos

41. Graficación de Funciones por “Simple Inspección”. 4. Reflexión de Gráficas. Para cualquier constante , la forma básica de la gráfica de es igual que la de , pero con un cambio en la escala vertical. Los dominios de y son iguales, y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen. La gráfica de es una reflexión respecto del eje x de la de Ing. Ignacio Dávila Ríos

42. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. La función lineal cuya forma es , nos muestra que la gráfica se traslada sobre el eje “”, “” unidades hacía arriba si esta sumando y “” unidades hacía abajo si esta restando, como en el siguiente ejemplo: En este ejemplo tenemos que observar primero que se trata de una función lineal, por lo que tenemos que partir de la función fundamental , (siempre se parte de esta función), luego como la pendiente es decimos que esta a por lo que la función únicamente muestra una traslación vertical hacía arriba “” unidades. Ing. Ignacio Dávila Ríos

43. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. Ing. Ignacio Dávila Ríos

44. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. Ing. Ignacio Dávila Ríos

45. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. Como la línea se inclina un poco más hacía el eje de las “”. Ing. Ignacio Dávila Ríos

46. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. Como la línea se inclina un poco más hacía el eje de las “”. Ing. Ignacio Dávila Ríos

47. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. La función lineal cuya forma es , nos muestra que la gráfica se traslada “” unidades sobre el eje “” y “” unidades sobre el eje “”, como en el siguiente ejemplo: En este ejemplo tenemos que observar primero que se trata de una función lineal, por lo que tenemos que partir de la función fundamental , luego que existe una traslación de 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacía arriba. Ing. Ignacio Dávila Ríos

48. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. Punto pivote El punto pivote se recorre primero 2 unidades a la derecha y 1 hacía arriba a . Ing. Ignacio Dávila Ríos

49. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. La función lineal cuya forma es , nos muestra que la función no esta despejada para la variable “”, por lo que se despeja y se pone en la forma canónica. Como por ejemplo: Despejando la variable “” tenemos, Para graficar tenemos que observar que como , su pendiente es positiva y se aproxima al eje “” en forma ascendente. Y como tiene la forma , tiene una traslación sobre el eje de las “” negativas 4 unidades. Ing. Ignacio Dávila Ríos

50. 2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección. • En resumen: • es la función fundamental, con pendiente , y , de esta se debe de partir para graficar cualquier otra. • nos muestra la inclinación de la línea, esta en forma ascendente si y descendente si . • Si la gráfica se proyecta hacía el eje de las “”. • Si la gráfica se proyecta hacía el eje de las “” negativa. • Si , la gráfica presenta una traslación sobre el eje de las “”, unidades. • Si , la función tiene una traslación sobre el eje “” , y sobre el eje “” • Una recta con pendiente , es horizontal. Ing. Ignacio Dávila Ríos