Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE Nazwy szkół: Gimnazjum w Manowie oraz Gimnazjum im. Dr. M. Krybusa w Książu Wlkp. ID grup: 98/20_G2_MF oraz 98/80_G2_MF Opiekunowie: p. Dagmara Kowalczyk, p. Iwona Prałat Kompetencja: Matematyka i fizyka Temat projektowy: Geometria analityczna Semestr/rok szkolny: 2011/2012

3. Geometria analityczna

4. Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi (obliczeniowymi) i algebraicznymi. Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań, które opisują badane figury. Przedmiotem badań geometrii analitycznej jest zasadniczo przestrzeń euklidesowa i własności jej podzbiorów, choć wiele wyników można uogólnić na dowolne, skończenie wymiarowe przestrzenie liniowe.

5. Wektor • Wektor, uporządkowana para punktów [A, B], gdzie punkt A jest początkiem wektora a punkt B jego końcem. W interpretacji geometrycznej wektor to leżący na prostej i zawierający punkty A, B skierowany odcinek ([A, B]= - [B, A]) - kierunkiem wektora nazywa się kierunek tej prostej, zwrot określony jest przez kolejność punktów A i B.

6. Obliczanie długości wektora na płaszczyźnie

7. Kartezjański układ współrzędnych

8. Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie W matematyce do określenia położenia punktu na płaszczyźnie używamy prostokątnego układu współrzędnych. Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie to dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się wzajemnie w w swoich miejscach zerowych. Punkt przecięcia się tych osi oznaczamy (0,0) i nazywamy początkiem układu współrzędnych. Układ współrzędnych na płaszczyźnie nazywamy często kartezjańskim układem współrzędnych na płaszczyźnie. Nazwa pochodzi od nazwiska filozofa Rene Descartesa.

9. Osie układu współrzędnych Osie układów współrzędnych rysuje się najczęściej tak jak na rysunku poniżej. Za pierwszą oś przyjmuje się oś poziomą i tradycyjnie nazywa się ją osią odciętych. Drugą, pionową oś tradycyjnie nazywa się osią rzędnych. Osie dzielą płaszczyznę na ćwiartki: I, II, III, IV.

10. Położenie punktu Położenie każdego punktu na płaszczyźnie możemy określić jednoznacznie dzięki parze liczb, których kolejność ma znaczenie. Liczby te nazywamy współrzędnymi punktu np. P(x,y), odpowiednio x - odcięta, y - rzędna.

11. Jak odczytać współrzędne punktów?

12. Wektor

13. Wektor - podstawowe informacje Wektor - jest to uporządkowana para punktów [A, B], gdzie punkt A jest początkiem wektora, a punkt B jego końcem. W interpretacji geometrycznej wektor to odcinek leżący na prostej i zawierający punkty A i B. Obiekt mający moduł, kierunek, zwrot i punkt przyłożenia.

14. Czym charakteryzuje się wektor? • Cechy wektora: • Moduł • Kierunek • Zwrot • Punkt zaczepienia

15. Moduł określa długość wektora, zwaną czasem wartością. Symbolizuje intensywność wielkości, którą określa wektor. Im dłuższy moduł tym większą siłę symbolizuje. Kierunek wektora to prosta poprowadzona od początku do końca wektora. Na jego końcu znajduje się zwrot.

16. Zwrot określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego nasz wektor jest początkiem, a które końcem wektora, oraz w którą stronę skierowana jest siła (prawo, lewo, góra, dół). Punktem zaczepienia nazywamy punkt, od którego rozpoczynamy rysowanie wektora.

17. Zastosowanie wektorów Wektory są podstawowymi pojęciami w naukach fizycznych. Mogą być wykorzystane do reprezentowania dowolnej wielkości mającej kierunek, takiej jak prędkość, wielkością reprezentowaną przez wektor jest siła, ponieważ ma moduł i kierunek (ze zwrotem). F1; F2 - to siły składowe Fw – to siła wypadkowa

18. Przykłady wielkości wektorowych: Pęd – w mechanice wielkość fizyczna opisująca ruch obiektu fizycznego . Pęd mogą mieć wszystkie formy materii, np. ciała o niezerowej masie spoczynkowej, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne. Prędkość wektorowa- wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu. Przyspieszenie – wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę prędkości w czasie. Ciężar- jako siła, jest wielkością wektorową– wektor ciężaru skierowany jest w każdym miejscu do środka ciężkości układu planeta – ciało , co w praktyce oznacza środek ciężkości planety. Siła – wektorowa wielkość fizyczna będąca miarą oddziaływań fizycznych między ciałami.

19. Zadanie: Sprinter o masie 90kg rozwinął prędkość 10 metrów na sekundę.Jaki pęd "ma" ten sprinter? Dokładniej byłoby zapytać - jaki jest pęd sprintera?

20. Wektory mogą również opisywać wiele innych wielkości fizycznych takich jak przemieszczenie, przyspieszenie, pęd oraz kręt (moment pędu). Wzór na przyspieszenie Inne wektory fizyczne, takie jak pole elektryczne, czy magnetyczne, są reprezentowane przez układ wektorów skojarzonych z każdym punktem przestrzeni fizycznej, to jest pole wektorowe. Pole elektryczne ładunków różnoimiennych

21. SKALAR • jest to wielkość mechaniczna, którą można jednoznacznie określić za pomocą jednej liczby rzeczywistej.

22. Rachunek wektorowy • to dziedzina matematyki • zajmująca się badaniem działań • na wektorach

23. DZIAŁANIA NA WEKTORACH

24. Dodawanie • Przy dodawaniu wektorów stosowane są dwie metody: równoległoboku i wielokąta. • Metoda równoległoboku • polega na zbudowaniu równoległoboku z dwóch wektorów. Przekątna, której jeden z końców znajduje się w miejscu przyłożenia obydwu wektorów, jest szukanym wektorem wypadkowym.

25. Metoda wielokąta • w miejscu, gdzie kończy się jeden wektor, rysujemy kolejny. Początkiem wypadkowego wektora jest początek pierwszego z dodawanych wektorów, zaś jego końcem jest koniec ostatniego z dodawanych wektorów.

26. Suma wektorów to wektor o współrzędnych będących sumą współrzędnych wektorów składowych. Przykład:

27. ODEJMOWANIE • Odejmowanie wektorów a i b sprowadza się do dodania wektorów a i -b, czyli wektora o przeciwnym zwrocie w stosunku do b:

28. Różnica wektorów to wektor o współrzędnych będących różnicą współrzędnych wektorów składowych. Przykład:

29. MNOŻENIE PRZEZ SKALAR • Mnożenie wektora a przez skalarn daje w wyniku nowy wektor na o wartości liczbowej n razy powiększonej i o zwrocie zgodnym lub przeciwnym względem wektora a, zależnie od tego, czy skalar n jest dodatni, czy ujemny.

30. Iloczyn wektora przez liczbę rzeczywistą k to wektor o współrzędnych będących iloczynem, współrzędnych wektora i liczby k. Przykład:

31. Zadanie 1 Na rysunku przedstawiono siłę wypadkową sił i oraz siłę (jedną z sił składowych). Wyznacz graficznie siłę . Rozwiązanie:

32. Zadanie 2 Wiedząc, że wartość wypadkowej sił i wynosi 9 N, a wartość siły wynosi 3 N, dorysuj wektor siły Rozpatrz dwa przypadki.

33. Rozwiązanie: 1. F2 = 6 N 2. F2 = 12 N

34. PROSTA, LINIA PROSTA RÓWNANIE PROSTEJ W POSTACI: a) kierunkowej y=ax+b , gdzie a,b R b) ogólnej Ax+By+C=0 , gdzie A,B,C R WARUNEK RÓWNOLEGŁEOŚCI PROSTYCH : y=a1x+b1 II y=ax+ b  a1=a np. y=3x+1 II y=3x-4 WARUNEK PROSTOPADŁOŚCI PROSTYCH: y=ax+b y=a1x+b1 a a1=-1 np. y=2x y=- 0,5x -5

35. ZADANIE Napisz równanie prostej równoległej do prostej y=3x-1 i przechodzącej przez punkt A=(-2;1) Prosta równoległa do prostej y=3x-1 ma postać y=3x+b. Skoro przechodzi przez punkt A to spełnia równanie: 1=3∙(-2)+b b=1+6 b=7 Stąd otrzymujemy równanie szukanej prostej: y=3x+7

36. ZADANIE Napisz równanie prostej l prostopadłej do prostej k:5x+2y-17=0 i przechodzącej przez punkt P=(1;1.) Prosta prostopadła do prostej k ma postać y=2,5x+b. Skoro przechodzi przez punkt P to spełnia równanie: 1=0,4∙1+b b=1-0,4 b=0,6 Stąd otrzymujemy równanie szukanej prostej: y=0,4x+0,6 w postaci kierunkowej 0,4x-y+0,6=0 / ∙5 2x-5y+3=0 w postaci ogólnej

37. METODA GRAFICZNA ROZWIAZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ Metoda ta polega na wykreśleniu w prostokątnym układzie współrzędnych wykresu (linii prostej) każdego równania układu i odczytaniu współrzędnych punktów wspólnych dla obu prostych.

38. GRAFICZNA ILUSTRACJA UKŁADU DWÓCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ oznaczony( niezależnych) ma dokładnie jedno rozwiązanie- punkt przecięcia się prostych. Układ nieoznaczony (zależnych) ma nieskończenie wiele rozwiązań- dwie proste pokrywające się. Układ sprzeczny nie ma rozwiązania- proste równoległe.

39. ZADANIA 1. Rozwiąż graficznie układ równań: Aby rozwiązać ten układ należy w układzie współrzędnych narysować proste : y=x+3 (0;3) (-3;0)- linia czerwona y=-x-1 (0;-1 ) (-1;0)-linia zielona Układ równań ma jedno rozwiązanie x=-2 i y=1 -punkt przecięcia się prostych. Jest to układ oznaczony.

40. ZADANIA 2. Rozwiąż graficznie układ równań: Rozwiązaniem układu równań są dwie proste pokrywające się. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jest to układ nieoznaczony. 3. Rozwiąż graficznie układ równań: Rozwiązaniem układu równań są dwie proste równoległe. Układ nie ma rozwiązania. Jest to układ sprzeczny.

41. Odcinki |SA| i |PA| mają długości:|SA|=|x-xs||PA|=|y-ys|Dla narysowanego trójkąta prawdziwe jest tw. Pitagorasa:|SA|2+|PA|2=r2Stąd otrzymujemy równanie okręgu w postaci kanonicznej:(x-xs)2+(y-ys)2=r2 gdzie : r - promień okręgu (xs,ys) - współrzędne środka okręgu RÓWNANIE OKRĘGU

42. RÓWNANIE OKRĘGU Przekształcamy wzór: (x-xs)2+(y-ys)2=r2 otrzymujemy postać ogólną równania okręgu gdzie c=

43. ZADANIE 1. Sprawdź czy punkt P=(0,4) należy do okręgu Odp: Punkt P nie należy do okręgu, ponieważ otrzymaliśmy zdanie fałszywe.

44. ZADANIE 2. Oblicz współrzędne środka i promień okręgu o równaniu: x2+y2-16x+10y+25=0 c=25, xs=8, ys=-5 Xs2+ys2-r2=c 82+(-5)2-r2=25 64+25-r2=25 r2=89-25 r2=64/ r=8 Odp: S=(8,-5), r=8 3. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S=(-5,4) i przechodzącego przez początek układu współrzędnych. S=(-5,4) O(0,0) Równanie okręgu w postaci kanonicznej: (x+5)2+(y-4)2=41

45. ZADANIE 4. Zapisz równanie okręgu w postaci ogólnej. (x+4)2+y2=4 Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia x2+8x+16+y2=4 x2+y2+8x+12=0 (a=-4, b=0, c=12) Odp: x2+y2+8x+12=0 5. Zapisz równanie okręgu w postaci kanonicznej. x2+y2+3x-4y-1=0 (a=-1,5, b=2, c=-1) Obliczamy r ze wzoru: r2=a2+b2-c r2=2,25+4+1 r2=7,25 r= 0,5 (x+1,5)2+(y-2)2=7,25 Odp: (x+1,5)2+(y-2)2=7,25

46. WZAJEMNE POŁOŻENIEOKRĘGU I PROSTEJ Niech d oznacza odległość środka okręgu od prostej l. -odległość środka okręgu od prostej jest większa od długości promienia (d>r) -odległość środka okręgu od prostej jest równa długości promienia (d=r) -odległość środka okręgu od prostej jest mniejsza od długości promienia (d<r)

47. Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest większa od długości promienia, to prosta leży całkowicie poza okręgiem. Jeżeli odległość prostej od środka okręgu jest mniejsza od długości promienia , to prosta ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem. Taką prostą nazywamy sieczną okręgu.

48. STYCZNA DO OKRĘGU Własność stycznej do okręgu: Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonegodo punktu styczności. Styczną do okręgu nazywamy prostą, która ma z okręgiem tylko jeden punkt wspólny (na rys. punkt A).

49. Odległość punktuod prostej Odległość punktu P=(x0,y0) od prostej l: Ax + By +C=0 możemy obliczyć ze wzoru: (*)

50. ZADANIE Wyznacz odległość punktu P=(1,3) od prostej l:5x-2y-3=0 x0=1, y0=3 oraz A=5, B=-2, C=-3 Podstawiając do wzoru (*) otrzymujemy: Odp. Odległość punktu P od prostej l wynosi .