第 10 章坐標簡介

第10章 坐標簡介

注意： 右圖中，序偶(4, 7) 和(7, 4)分別表示不同地點。序偶 • 「一對」有「次序」且寫在括號內的數。

直角坐標平面(或稱為笛卡兒平面)是由數學家雷內．笛卡兒所創立。 直角坐標 • 透過直角坐標平面，數學家能以代數的方法去解決幾何上的問題。

直角坐標平面是由一條水平線(x 軸)和一條鉛垂線(y 軸)所構成的。直角坐標 • x軸和y軸的交點O 稱為原點。 • 平面上任何一點的位置均可用序偶(x, y)來表示， x和y便是該點的坐標。

直角坐標 • x軸和y軸把平面分成4個區域，稱作象限。

｛ a -b，其中a >bb -a，其中 a <b 則AB= ｛ c -d，其中c >d d -c，其中c <d 則CD= 距離 • 若A 和B 是同一水平線上的兩點，它們的坐標分別為(a, k) 和(b, k) • 若C 和D 是同一鉛垂線上的兩點，它們的坐標分別為(h, c)和(h, d)

AB = BC = CD = DE = 距離 [2 - (-4)] 個單位 = 6 個單位 [3 - (-5)] 個單位 = 8 個單位 [2 - (-1)] 個單位 = 3 個單位 [-1 - (-5)] 個單位 = 4 個單位

求圖中ABC的面積。 面積

求圖中ABC的面積。 面積長方形APQR的面積 = 7  5 = 35 個平方單位 ACR的面積 = 7  2  2 = 7 個平方單位 BQC的面積 = 5  3  2 = 7.5 個平方單位 APB的面積 = 5  2  2 = 5 個平方單位  ABC的面積= 35 - 7 - 7.5 - 5 = 15.5 個平方單位

p.135(下) 課堂活動 極坐標

極坐標 I p.136(上) • O是固定點，稱作極。 • OI 是固定線，稱作極軸。 • O至P的距離，稱作極徑(r)。

極坐標 I I p.136(中) • OP 和OI的夾角，稱作極角()。即從OI以逆時針方向量度至OP 的角度。 • P的位置可以用序偶(r, ) 表示，稱作P點的極坐標。

p.136 (下) 回應題

p.138(下) 圖形的變換 • 平移 • 反射 • 旋轉

把線段AB向右移4 個單位，然後向上移1 個單位，便得出A’B’。例：平移 p.140(上) • 若點A(x, y)向右移h個單位，然後向上移k個單位，得出平移影像A’的坐標為(x+h, y+k)。即A(2, 1) 變換為A’(2+4, 1+1) 或A’(6, 2) B(3, 2) 變換為B’(3+4, 2+1) 或B’(7, 3)

例：長方形ABCD的頂點坐標為A(2,0)、B(1,2)、 C(5, 4)和D(6, 2)。若長方形ABCD沿x軸作反射變換，得出影像A’B’C’D’。各影像頂點的坐標為 A’ = B’ = C’ = D’ = 反射 p.141(下) • 若點A(x, y)沿x軸作反射變換，其影像A’的坐標為(x, -y)。 (2, 0) (1, -2) (5, -4) (6, -2)

例：長方形ABCD的頂點坐標為A(2, 0)、B(1, 2)、 C(5, 4)和D(6, 2)。若長方形ABCD沿y軸作反射變換，得出影像A’B’C’D’。各影像頂點的坐標為 A’ = B’ = C’ = D’ = 反射 p.143(上) • 若點A(x, y)沿y軸作反射變換，其影像A’的坐標為(-x, y)。 (-2, 0) (-1, 2) (-5, 4) (-6, 2)

例：四邊形ABCD的頂點坐標為A(2, 0)、B(1, 2)、C(5, 4) 和D(3, 2)。直線L 與y 軸平行，且在y 軸右邊距離1 個單位。若四邊形ABCD 沿直線L 作反射變換，得出影像A’B’C’D’。各影像頂點的坐標為 A’ = B’ = C’ = D’ = 反射 p.145(中) • 沿與x 軸或y軸平行的直線作反射變換。 (0, 0) (1, 2) (-3, 4) (-1, 2)

例：右圖中，A’B’是AB以原點O 為中心作逆時針方向旋轉90的影像。旋轉 p.146(中) • 若點A(x, y) 以原點O為中心作逆時針方向旋轉90，其影像A’的坐標是(-y, x)。 A(2, 1)變換為A’(-1, 2)， B(3, 2)變換為B’(-2, 3)。

例：右圖中，A’B’是AB以原點O為中心作順時針方向旋轉90的影像。例：右圖中，A’B’是AB以原點O為中心作順時針方向旋轉90的影像。旋轉 p.147(中) • 若點A(x, y) 以原點O為中心作順時針方向旋轉90，其影像A’ 的坐標是(y, -x)。 A(2, 1)變換為A’(1, -2)， B(3, 2)變換為B’(2, -3)。

例：右圖中，A’B’是AB以原點O為中心旋轉180的影像。例：右圖中，A’B’是AB以原點O為中心旋轉180的影像。旋轉 p.148(中) • 若點A(x, y) 以原點O為中心旋轉180(作順時針或逆時針方向旋轉的結果都是一樣的)，其影像A’ 的坐標是(-x, -y)。  A(2, 1) 變換為A’(-2, -1)， B(3, 2) 變換為B’(-3, -2)。

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