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Sistemas Realimentados

Sistemas Realimentados. Resposta em Frequência Diagramas de Bode. Introdução. Resposta em Freqüência : Permite analizar a Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal

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Presentation Transcript


  1. Sistemas Realimentados Resposta em Frequência Diagramas de Bode

  2. Introdução Resposta em Freqüência: Permite analizar a Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal Métodos de resposta em freqüência: Varia-se a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante. Forma Gráfica: Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols)

  3. Obtenção das Respostas em Regime Permanente às Entradas Senoidais A resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidal. Função de transferência na qual s é substituído por jw, onde w é a freqüência

  4. Sistema Estável, Linear, invariante no tempo Se a entrada for um sinal senoidal, a saída em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma freqüência, mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase serão diferentes.

  5. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Defasagem, ou diferença de fase, entre a entrada senoidal e a saída senoidal Relação de amplitude entre a saída e a entrada senoidal Objetivo: Mostrar que após esperar até que as condições de regime permanente sejam alcançadas, a resposta em freqüência pode ser calculada substituindo-se s por jw na função de transferência. Será mostrado também que a resposta em regime permanente é dada por:

  6. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

  7. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

  8. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Multiplicando os dois lados da igualdade por e avaliando no ponto s = -jw Repetindo o mesmo procedimento para

  9. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

  10. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais • A amplitude do sinal de saída é dada pelo produto da amplitude do sinal de entrada pelo módulo de G(jw) • O ângulo de fase da saída, difere do ângulo de fase da entrada pelo valor de

  11. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

  12. Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

  13. Exemplo 1

  14. Exemplo 1

  15. Exemplo 1 Conclusões: Se w for pequeno: a defasagem da saída será pequena e a amplitude de resposta de saída será K vezes a amplitude da entrada Se w for grande: a amplitude de resposta (saída) será pequena e quase inversamente proporcional a w. A defasagem se aproxima de -90º à medida que w tende a infinito. Essa é uma rede de atraso de fase.

  16. Exemplo 2

  17. Exemplo 2

  18. Exemplo 2

  19. Diagramas de Bode • Dois gráficos traçados em relação à freqüência em escala logarítmica: • Gráfico do Módulo em dB • Gráfico do ângulo de fase • Representação padrão do logarítmo do módulo de G(jw) – a base do logarítmo é 10: • A unidade da representação do módulo é o decibel (db) • A multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma.

  20. Fatores Básicos de G(jw)H(jw) • Ganho K • Fatores integral e derivativo(jw)±1 • Fatores de primeiraordem(1+jwT)±1 • Fatoresquadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1 • Umavezfamiliarizados com a construção dos gráficoslogarítmicosdestesfatoresbásicos é possívelutilizá-los naconstrução de um gráficologarítmicocompostoporqualquer forma geral de G(jw)H(jw).

  21. O Ganho K • Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis • Um número menor que uma unidade tem valor negativo • A curva do módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis • O ângulo de fase do ganho K é zero • O efeito da variação do ganho K na função de transferência é o deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em dB da função de transferência por um valor constante correspondente, sem nenhum efeito na curva de ângulo.

  22. Conversão de um Número de dB

  23. O Ganho K - Propriedades • Quando um número aumenta de um fator 10, o valor correspondente em dB fica acrescido de 20 • Estendendo a análise: • O recíproco de um número difere apenas no sinal:

  24. Fatores integral e derivativo (jw)±1 • O valor de logarítmico de 1/jw em decibéis é: • O ângulo de fase de 1/jw decibéis é constante e igual a -90. • No diagrama de Bode as relações entre as freqüências são dadas em termos de oitavas e décadas: • Uma década é um intervalo compreendido entre w1 e 10w1, onde w1é qualquer valor de freqüência. • Exemplo: a distância horizontal entre w=1 e w=10 é igual a distância horizontal entre w=3 e w=30.

  25. Gráfico de -20logw dB versus w • Em escala logaritmica será uma reta • Localiza-se um ponto (0 dB, w=1) • Como a inclinação da reta será -20dB/década

  26. Fatores integral e derivativo (jw)±1 • De forma análoga, o módulo de jw em decibéis é: • O ângulo de fase é 90o • A curva do logarítmo do módulo é uma reta com inclinação de 20db/década

  27. Diagrama de Bode de G(jw) = 1/jw e G(jw) = jw

  28. Fatores integral e derivativo (jw)±1 • Se a função de transferência possuir o fator (1/jw)n ou (jw)n , as grandezas logaritmicas se tornarão respectivamente: Ou • As inclinações passam a ser respectivamente -20n dB/década ou 20n db/década • O ângulo de fase de (1/jw)n é igual a -90.n em toda a faixa de freqüência, enquanto que o de (jw)n é igual a 90.n em toda a faixa de freqüência.

  29. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1 • O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jwT) é: Para altas freqüências, como w >>1/T Para baixas freqüências, como w << 1/T

  30. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1 • Para w>>1/T, a curva de módulo em dB é então, uma reta com inclinação de -20dB/década • A representação logaritmica da curva de resposta em freqüência pode ser aproximada por duas assíntotas

  31. Freqüência de canto, ou freqüência de quebra ou mudança de inclinação Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1

  32. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1

  33. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1

  34. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1

  35. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1 A FT (1/(1+jwT) tem as características de um filtro passa-baixas. Para freqüências acima de 1/T, o módulo em dB cai rapidamente para o infinito No filtro passa baixas, a saída pode seguir, com fidelidade, a entrada senoidal para baixas freqüências Em altas freqüências, a amplitude tende a zero e o ângulo de fase de saída tende a -90º. Se a entrada tem muitos harmônicos, os componentes de baixa freqüência são reproduzidos com fidelidade na saída, enquanto os componentes de alta freqüência são atenuados na amplitude ou defasados.

  36. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±1

  37. Fatores de primeira ordem (1+jwT)±n

  38. Fatoresquadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  39. Fatoresquadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1 Veremos que: As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em freqüência não são precisas para um fator com baixos valores de z. O módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da freqüência de canto como do coeficiente de amortecimento z.

  40. Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1 Para altas freqüências, como w >>wn Para baixas freqüências, como w << wn

  41. Fatoresquadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  42. Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  43. Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  44. Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  45. Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  46. Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  47. Fatores quadráticos [1+2z (jw/wn)+(jw/wn)2]±1

  48. Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr g(w)

  49. Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr

  50. Freqüência de Ressonância wr e Pico de Ressonância Mr

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