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TESTS. TESTS. TESTS. TESTS. TESTS. TESTS. TESTS. Worum es geht. Man möchte „testen“, ob eine bestimmte Annahme ( Hypothese ) über Parameter der Realität entspricht oder nicht. Formulierung einer Hypothese Nullhypothese. In der Statistik kann man nie ganz sicher sein.

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Tests

TESTS

TESTS

TESTS

TESTS

TESTS

TESTS

TESTS


Tests

Worum es geht

Man möchte „testen“, ob eine bestimmte

Annahme (Hypothese) über Parameter der

Realität entspricht oder nicht.

Formulierung

einer

Hypothese

Nullhypothese

In der Statistik kann

man nie ganz sicher

sein.

Die „Irrtumswahr-

scheinlichkeit“ sollte

wenigstens klein sein.

Beobachtung

(Stichprobe)

Vorgabe:

„Irrtumswahr-

scheinlichkeit“

Entscheidung


Tests

TESTS

Mathematischer Rahmen I

Gegeben sind:

Statistische Struktur

Diskreter Fall

Stetiger Fall

Testproblem

(Hypothese)

Nullhypothese

Niveau 


Tests

TESTS

Mathematischer Rahmen II

Test gegeben durch:

Ablehnungsbereich

Teilmenge der Grund-

gesamtheit :

Menge aller Beobachtungen ,

die zur Ablehnung der Hypothese führen


Tests

TESTS

Mathematischer Rahmen III

Beobachtung 

(Stichprobe)

Oder

Entweder

Beobachtung liegt

im Annahmebereich

Beobachtung liegt

im Ablehnungsbereich

Hypothese

annehmen!

Hypothese

ablehnen!


Tests

Fehler erster und zweiter Art

Entschei-

dung

Hypothese

abgelehnt

Hypothese

akzeptiert

Realität

Hypothese

wahr

Fehler 1. Art

Hypothese

falsch

Fehler 2. Art


Tests

Niveau und Macht

Obere Grenze für die Wahr-

scheinlichkeit, einen Fehler

1. Art zu begehen

Niveau

Macht in

einem

Punkt der

Alter-

native

1 - Wahrscheinlichkeit,

einenFehler 2. Art

zu begehen,

wenn der wahre Parameter-

wert in dem Punkt liegt


Tests

Neyman-Pearson-Test

Sei * ein Neyman-Pearson

Test vom Niveau :

Für einen Test  mit

gilt immer:


Tests

Jeder Test, der vom Niveau

eines gegebenen Neyman-

Pearson-Tests ist, besitzt

höchstens die Macht dieses

Neyman-Pearson-Tests.


Tests

Tafel für die Verteilungsfunktion

bei Normalverteilung


Tests

Approximative Konfidenzintervalle

im Bernoulli-Fall II

Vereinfachungfür großes n

(n  100)


Tests

Beispiel

Kaufhaus-Konzern

Kauf würde nicht

in Erwägung

gezogen

Kauf würde

in Erwägung

gezogen

572

1428


Tests

Tafel für die Verteilungsfunktion

bei Normalverteilung


Tests

Zusammenhang

Konfidenzintervalle - Tests

Gegeben sei ein Konfidenzintervall

C() vom Niveau 

Für eine einfache Hypothese

ist dann mit dem Ablehnungsbereich

ein Test vom Niveau  gegeben, denn:


Tests

Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung  wird

ein Intervall C()

der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau 

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit.

eine Beobachtung zu machen,

für die der wahre Parameter

im zugehörigen Intervall liegt,

größer oder gleich 1 - 


Tests

Tafel für die Verteilungsfunktion

bei Normalverteilung


Tests

Rechenbeispiel

Stichprobe vom Umfang n = 5

3.5 7.2 5.0 4.3 7.9

Stichprobenfunktionen


Tests

Konfidenzintervalle

für diese konkrete Stichprobe

1.Fall

2.Fall

3.Fall

4.Fall

18.28

5.Fall

6.Fall


Tests

Beispiel

Gewicht vonÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange

aus einem bestimmten italienischen

Anbaugebiet


Tests

Konfidenzintervalle

für diese konkrete Stichprobe

2.Fall

5.Fall


Tests

Tafel für die Verteilungsfunktion

bei Normalverteilung


Tests

Student-Verteilung


Tests

Fall Normalverteilung

Test

für den Erwartungswert

Varianz bekannt


Tests

Fall Normalverteilung

Test

für den Erwartungswert

Varianz unbekannt


Tests

Vergleich zweier unabhängiger

Stichproben 1. Fall

2 unabhängige Stichproben

mit Stichprobenvariablen X und Y

Annahmen:

X und Y normalverteilt

Varianz von X = Varianz von Y

Hypothese:

Erwartungswert von X

= Erwartungswert von Y


Tests

Mathematische Bedeutung

der Chi-Quadrat-Verteilung

Für n unabhängige Zufallsvariablen

mit

hat man:


Tests

Mathematische Bedeutung

der t-Verteilung

Für unabhängige Zufallsvariablen

W und U mit

hat man:


Tests

Vergleich zweier unabhängiger

Stichproben 1. Fall

Prüfgröße

n: Umfang der Stichprobe 1

(Stichprobenvariable X)

m: Umfang der Stichprobe 2

(Stichprobenvariable Y)

Ablehnungsbereich

 bestimmt durch


Tests

Vergleich zweier unabhängiger

Stichproben 2. Fall

2 unabhängige Stichproben

mit Stichprobenvariablen X und Y

Annahmen:

X und Y normalverteilt

n und m groß (> 30), damit

Approximation der Varianzen

sinnvoll

Hypothese:

Erwartungswert von X

= Erwartungswert von Y


Tests

Vergleich zweier unabhängiger

Stichproben 2. Fall

Ausgangspunkt

Approximation

Prüfgröße

Ablehnungsbereich

 bestimmt durch


Tests

Chi-Quadrat-Tests


Tests

Satz von Karl Pearson I

X: Stichprobenvariable, die r > 2

verschieden Werte annehmen kann:

Die Verteilung von X ist durch einen

Wahrscheinlichkeitsvektor

gegeben.

Stichprobe vom Umfang n:


Tests

Satz von Karl Pearson II

Dann hat man:

Dabei ist:


Tests

1857 - 1936

Geboren in London. Er versuchte, statistische

Methoden auf biologische Probleme der Ver-

erbung und der Evolution anzuwenden. In 18

Veröffentlichungen mit dem Titel „Mathematical

Contributions to the Theory of Evolution“ führte

er die Regressions-Analyse, den Korrelationsko-

effizienten und den Chi-Quadrat-Test ein.


Tests

1895 - 1980

Geboren in London als Sohn von Karl Pearson.

Egon Pearson arbeitete ab 1921 im Institut seines

Vaters am University College in London. Er be-

suchte zunächst alle Vorlesungen seines Vaters mit

dem Erfolg, dass er bald selbst hervorragende Arbei-

ten auf dem Gebiet der Statistik produzierte.

S. Neyman war 1925 - 26 als Stipendiat am University

College. Die Zusammenarbeit mit Egon Pearson

begann.


Tests

Geboren in Bendery, Moldavien. Als Jerzy Neyman

sein Stipendium in London antrat, um mit Karl

Pearson zusammenzuarbeiten, war er enttäuscht als er

feststellte, dass Karl Pearson die moderne Mathematik

ignorierte. Er kooperierte dann mit Egon Pearson und

revolutionierte durch seine Ergebnisse die Statistik.


Tests

1876 - 1937

William Gosset, der unter dem Namen Student ver-

öffentlichte, entdeckte die Gestalt der t-Verteilung

(Student-Verteilung) durch eine Kombination mathe-

matischer und empirischer Methoden. Er war

Chemiker in der Guiness-Brauerei in Dublin 1899

und erfand die t-Verteilung, um die Qualitätskontrolle

durchführen zu können.


Tests

Chi-Quadrat-Test

auf Anpassung

Hypothese

Ablehnungsbereich


Tests

Fairer Würfel?

Hypothese verwerfen!


Tests

Chi-Quadrat-Verteilung

falsch

0.831


Tests

Bakterielle Infektion

durch Stämme I, II, III

(siehe: Gelbrich)

Vermutung

Typ

I

II

III

Prozentsatz

30

50

20

Konkrete Stichprobe (80 Infektionen)

I

II

III

Typ

Anzahl

30

32

18


Tests

Chi-Quadrat-Verteilung

falsch

0.831


Tests

Mendelsche Gesetze

Prozentsätze nach der Theorie

rund und gelb

runzelig und gelb

rund und grün

runzelig und grün

0.5625

0.1875

0.1875

0.0625

Beobachtete Häufigkeiten

rund und gelb

runzelig und gelb

rund und grün

runzelig und grün

271

88

93

28

480

Summe


Tests

Chi-Quadrat-Verteilung

falsch

0.831


Tests

Krankmeldungen

Wochentag

Mo Di Mi Do Fr n

Anzahl

Krankmeldungen

44 28 24 20 34 150


Tests

Chi-Quadrat-Verteilung

falsch

0.831


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