五点共圆问题 与 Clifford 链定理 北京师范大学 张英伯 2007 年 4 月

1. 五点共圆问题 与Clifford链定理北京师范大学 张英伯2007年4月

2. 一、引子 • 在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。 • 江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答。我很敬佩濠江中学的这些老师们，他们的数学功底由此可见一斑。

4. 这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，其中每相邻的两个圆交于两个点，在所得五边形五顶点外的点共有五个，证明这五点共圆。这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，其中每相邻的两个圆交于两个点，在所得五边形五顶点外的点共有五个，证明这五点共圆。 • 2003年春天，我去德国访问。我的老板，代数学家 Claus Ringel 问我，你知道江问题吗？我正在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单，老板得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！”

5. Claus 刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。 • 2006 年底，华东师范大学张奠宙先生在澳门组织的高级研讨班邀请我去做报告，报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起三年前与 Claus 的对话，就临时改变报告题目，凭记忆谈了广义的五点共圆问题。

6. 回到学校，正赶上本科生准备毕业论文，一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士，来我这里要题目，我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。回到学校，正赶上本科生准备毕业论文，一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士，来我这里要题目，我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。 • 感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。 • 经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一页的最后一个脚注中，提到 Clifford 定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。

7. 有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜索 Clifford 所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：On Miquel’s theorem. 遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图书文献中心都没有收藏。 • 再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。

8. 因为没有见到原文，我今天讲的证明，基于 F. Morley 1900 年发表在美国数学会 Transaction 上的一篇文章 On the metric geometry of the plane n-line. Morley 也是英国人，几何学家。 • 在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了几何基础一书。

9. 十九世纪下半叶和二十世纪初，我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域。将数学基础研究首先引入中国的是我国著名的数学家，我国近代数学教育的先驱傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔伯特的几何基础，倾其毕生精力在北京师范大学，师大附中教书，引进国外教材，培训中学教师。十九世纪下半叶和二十世纪初，我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域。将数学基础研究首先引入中国的是我国著名的数学家，我国近代数学教育的先驱傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔伯特的几何基础，倾其毕生精力在北京师范大学，师大附中教书，引进国外教材，培训中学教师。 • 正因为我国的近代数学研究起步较晚，对当时的一些研究领域比较陌生。

10. 当几何基础引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形相关的点，直线和圆的问题被发现并研究。 1838年，Miquel 证明了有关四圆共点的定理。 • 一百三十六年前的1871年，在四圆共点的定理的基础上，英国数学家 William Kingdon Clifford 建立了 Clifford 链定理，并在英国早期的一本杂志《Messenger of Mathematics》第五册上发表了证明。 • Clifford 本人因他提出的 Clifford 代数而闻名于数学界。 。

11. Clifford 链定理是数学史上非常著名的有趣而又奇妙的定理。 • 19世纪末和20世纪初，许多欧美数学家都研究并论述过这个问题，一方面研究它的多种证明方法，一方面研究这些点圆和其他一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在欧美的许多深受欢迎的数学杂志上，不断地发表与 Clifford 链定理相关的研究成果。

12. 二、Clifford 链定理的表述 n=3 n=2

13. 任选平面内两条相交直线， 则这两条直线确定一个点。 任选平面内两两相交， 且不共点的三条直线， 则其中每两条为一组可以确定一个点，共有三个点， 那么这三个点确定一个圆。

14. n=4 n=4

15. 任选平面内两两相交， • 且任意三条直线都不共点的四条直线， • 则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆， • 则这四个圆共点。 • 此点被称为 Wallace 点。

16. n=5

17. 任取平面内两两相交， • 且任意三条直线都不共点的五条直线， • 则其中每四条作为一组可确定如上所述 • 的一个 Wallace 点，共有五个这样的点， • 那么这五个点共圆， • 此圆被称为Miquel圆 • （即五点共圆问题）。

18. n=6

19. 任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共点，任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共点， • 则其中每五条为一组可以确定一个Miquel 圆，共有六个这样的圆， • 则这六个圆共点。

20. n=7

21. 任取平面内两两相交， • 且任意三条直线都不共点的七条直线， • 则其中每六条作为一组可确定如上所述 • 的一个点，共有七个这样的点， • 那么这七个点共圆。

22. 一般地， • 任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的2n条直线，则其中每2n-1条直线可确定一个 Clifford 圆，共确定 2n 个圆， 那么这 2n 个圆交于一点，称为 2n 条直线的Clifford 点； • 任取平面内两两相交，且任意三条直线都 不共点的 2n+1条直线，则其中每 2n 条直线可确定一个 Clifford 点，共确定 2n+1个点，那么这 2n+1 个点共圆，称为 2n+1 条直线的 Clifford 圆。

23. 三、直线方程 • 用平面几何的方法归纳地证明 Clifford 定理几乎是不可能的，我们已经看到 n=7 的情况图形有多么复杂，实际上五点共圆问题已经够复杂了。那么用平面解析几何呢？用复平面呢？这样就可以充分借助现代数学工具。让我们来试一试。 • 现在考虑复平面C, 建立原点，实轴和虚轴。

24. 用 分别表示两个确定的复数，其中 的模为1，也就是说， 在单位圆上。其次，用 分别表示两个复变量，其中 的模为1，也就是说 在单位圆上运动。

25. 考察公式 • 当 在单位圆周上运动时， 跑过原点 0 和点 连线的垂直平分线。

26. 事实上， 而 因为 和 的模都是1，故 • 另一方面，当 趋近于 时， 的模趋近于无穷大；并且 是 的连续函数。所以我们得到了一条直线。

27. 从上述分析可以看出，直线与 的幅角的取值无关。我们不妨取 • 利用单位圆周上的点作参数，利用分子分母都是参数线性函数的分式表示一个圆或一条直线，是复变函数保角映射的一个特例。

28. 四、特征常数 • 如果我们有两条直线： ， • 则 . 两式相减，得到两条直 线的交点： . 记作 . 再设 . 称 为n=2时的特征常数。

29. 如果我们有三条直线： 令 • 上面的式子中，求和号表示对数组 (1 2 3) 进行轮换，分别取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 时的特征常数。

30. 建立一个圆方程，圆心在 ，半径为 ： • 当 时， • 当 时， • 当 时， • 所以我们的圆经过三条直线中每两条的交点，这就是三点共圆。

31. 定义 4.1. 关于 n 条直线 的特征常数定义为： • 引理4.2.

32. 证明： • 引理证毕。

33. 特征常数有如下的共轭性质。取任意正整数 n，令 • 将 的复共轭记作 ，令 ，则 • 引理4.3.

34. 引理4.4. 设 是 n 个变元的初等对称多项式，记 的共轭元为 。 如果 n 个变元均取模为 1 的复数，则 • 证明：设 ， • 则 • 引理证毕。

35. 五、n=4和 n=5时的证明 • 设我们有四条直线 • 根据第四节的讨论，三条直线确定的圆方程为： • 或 • 其中 是一个变元的初等对称多项式。根据引理4.2, 去掉四条直线中的第 条后的圆方程是：

36. 根据引理4.3,方程 是自共轭的，即它的共轭方程 与自身相等， 我们有： • 即 在单位圆上。又因为 的任意性，方程等价于： • 其中 是 n= 4 时的特征常数。则 • 即 • 是四条直线的 Clifford 点。

37. 当 n=5 时，我们有五条直线： • 去掉其中的任意一条，所得到的四条直线确定一个 Cliford 点。 • 根据引理4.2，我们可以从n=5 时的特征常数得到 n=4 时的特征常数，比如去掉第 条直线，得方程：

38. 因为 是一个变元的初等对称多项式， • 分别导出了两个变元的初等对称多项式 和 • 上述方程变为： • 根据引理4.3，第二个方程是自共轭的，保证了 t 在单位圆上。

39. 从方程组中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）为未知数的线性方程组，Cramer 法则给出 x 和 t 应该满足的关系： • 或 • 这就是五条直线的 Clifford 圆。

40. 六、Clifford 链定理 • 定理7.1. 2p 条直线的 Clifford 点由下述行列式给出： • 而 2p+1 条直线的 Clifford 圆由下述方程确定：

41. 证明：设p=1 在2x1 时得到两条直线的交点： • 设 P=2 ， 是一个变元的初等对称多项式。在 2x2-1 时得到三条直线的 Clifford 圆满足的方程： • 在2x2 的情况得到四条直线的 Clifford 点满足的方程 • 设p=3, 是两个变元的初等对称多项式。在2x3-1 时得到五条直线的 Clifford 圆方程：

42. 现在设 2p-1条直线的 Clifford 圆满足的方程是： • 其中 是 p-1个变元的初等对称多项式。则该假设当 p=2，p=3 时都是正确的。我们来计算 2p 条直线的情况。

43. 根据引理4.2, 关于 2p-1 条直线的特征常数可以用关于 2p 条直线的特征常数去掉某条直线，例如第 条表示出来：

44. 由于 的任意性，考察下述 p 个方程： • 其中第 1+i 与第 p-i+1 个方程是共轭的。为方便起见，我们仅验证第 2 与第 p 个方程的共轭性。

45. 记 是关于模为 1 的复数 • 的初等对称多项式。则 • 根据引理 4.3, 第二个方程的共轭方程为 • 将两端同乘以 ，根据引理 4.4 得：

46. 将第二个方程的两端同乘以 ，并颠倒次序，我们有方程： • 易见这两个方程共轭， 故 ， 在单位圆上。 • 将 2p 是的方程消去 ，即得所求公式，定理的第一部分证毕。

47. 我们来考察 2p+1 的情况。根据引理 4.2, 2p 条直线的特征常数可以通过 2p+1 条直线的特征常数表示出来。故 2p 条直线的 Clifford 点满足的方程诱导出下述 p 个方程：

48. 关于 p-1 个变元的初等对称多项式 • 与 诱导出 p 个变元的初等对称多项式 • 方程变为：

49. 运用引理 4.3，与 2p 的情况类似可验，方程组中的第 i+1 个方程与第 p+i+1 个方程是共轭的， t 在单位圆上。 • 在关于 2p+1 的方程中消去 ，即得所求公式。定理的第二部分证毕。 • Clifford 定理的正确性从数学归纳法得到。

50. 当然，特征常数 a 需要满足一定的条件，使得直线两两相交，且没有三条直线交于一点。下面列出的第二篇参考文献就专门讨论了这个问题。 • 我教过多年的线性代数，从来没有想到用矩阵，行列式和对称多项式能够如此巧妙地解决这样复杂的平面几何问题。当我读到这篇文献，不由地惊叹数学家的智慧，数学的深刻与优美。