Tema 4: Combinatoria

1. Tema 4:Combinatoria

2. Índice • Factorial de un número • Clasificación • Variaciones con y sin repetición • Permutaciones con y sin repetición • Combinaciones con y sin repetición • Números combinatorios • Propiedades • Triángulo de Pascal • Binomio de Newton

3. Factorial de un número Se define factorial de un número natural (entero positivo) n y se escribe n! como el producto de los n primeros números naturales. Ejemplo: 3! = 1·2·3 = 6

4. Clasificación Variaciones con repetición Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por VRm,n. Variaciones sin repetición Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por Vm,n. (n≤m).

5. Clasificación Permutaciones con repetición Permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces, etc. n = a + b + c + ... Permutaciones sin repetición Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn.

6. Clasificación Combinaciones con repetición Son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Crm,n. Para construir las combinaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones con repetición posibles. Combinaciones sin repetición Son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m). ¿Cómo se forman?. Para construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles.

7. 4. Números combinatorios Se representan: Otra forma: Le podemos considerar como a las combinaciones que podemos hacer como m elementos tomados de n en n. Se lee m sobre n. Ejemplo:

8. Números combinatorios Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1: 2. Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m: 3. Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es igual al número de elementos, podemos decir que los dos números combinatorios son iguales: 4. La suma de dos números combinatorios con el mismo número de elementos y los números que representan los elementos por grupo son consecutivos es otro número combinatorio en el que el número de elementos aumenta en una unidad y el número de elementos por grupo es el del mayor:

9. Números combinatorios Triángulo de Pascal El triángulo de Pascal es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima.

10. Binomio de Newton La fórmula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce como binomio de Newton.