5.6 指數成長與衰減

1. 5.6 指數成長與衰減

2. 5.6 指數成長與衰減 學習目標 以指數成長與衰減作為實際生活的模型。 第五章　指數與對數函數 P.5-38

3. 指數成長與衰減 本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間 t的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。 第五章　指數與對數函數 P.5-38

4. 指數成長與衰減 在上式中 k 為常數，而 y 為 t 的函數，下面即為此方程式的解。 第五章　指數與對數函數 P.5-38

5. 指數成長與衰減（證明） 因為 y 的變化量與 y 成正比，所以 顯然 y ＝ Cekt為方程式的解，因為對 y 微分可得 dy/dt ＝ kCekt，再代入方程式也得 第五章　指數與對數函數 P.5-38

6. 學習提示 在模型 y ＝ Cekt 中，C 稱為起始值，因為當 t ＝ 0 時，y ＝ Cek(0)＝ C(1) ＝ C。 第五章　指數與對數函數 P.5-38

7. 應用 放射性物質的衰減是以半衰期(half-life) 來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列 鈾 (238 U) 4,470,000,000 年 鈽 (239 Pu) 24,100 年 碳 (14 C) 5,715 年 鐳 (226 Ra) 1,599 年 鑀 (254 Es) 276 天 鍩 (257 No) 25 秒 第五章　指數與對數函數 P.5-39

8. 範例1　放射性物質衰減的模型 某樣本中有 1 公克的鐳，試問 1000 年後的鐳殘留物是否多於 0.5 公克？ 第五章　指數與對數函數 P.5-39

9. 範例1　放射性物質衰減的模型 （解） 令 y 表示在樣本中的鐳物質 (公克)。因為衰減率正比於 y，所以應用指數衰減律可知 y 的形式為 y ＝ Cekt，其中 t 為時間(年) 。已知當 t ＝ 0 時 y ＝ 1，代入模型可得 1 ＝ Cek(0)以 1 代入 y，0 代入 t 因此 C ＝ 1。因為鐳的半衰期為 1599 年，所以當 t ＝ 1599 時y ＝ 1/2，再代入模型即可解得 k。 第五章　指數與對數函數 P.5-39

10. 範例1　放射性物質衰減的模型 （解） 所以 k ≈－0.0004335，故指數衰減模型為 y ＝ e－0.0004335t。 若要求1000 年後的鐳殘留量，將 t ＝ 1000 代入模型，經計算可得 y ＝ e－0.0004335(1000) ≈ 0.648 公克 即，1000 後仍有超過 0.5 公克的鐳，此模型的圖形如圖 5.18 所示。 第五章　指數與對數函數 P.5-39

11. 範例1　放射性物質衰減的模型 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-39 圖5.18

12. 檢查站 1 以範例 1 的模型來計算 1 公克樣本的鐳衰減為 0.4 公克時所需的時間。 第五章　指數與對數函數 P.5-39

13. 應用 請注意，不必像範例 1 使用近似的 k 值，直接在模型中代入 k的正確值可得 這個公式清楚地顯示「半衰期」：當 t ＝ 1599，y 值為 1/2，當t ＝ 2(1599)，y 值為 ，以此類推。 第五章　指數與對數函數 P.5-39

14. 應用 第五章　指數與對數函數 P.5-40

15. 範例2　數量成長的模型 研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有 100隻，四天後有 300 隻果蠅，則 5 天後有幾隻果蠅？ 第五章　指數與對數函數 P.5-40

16. 範例2　數量成長的模型 （解） 令 y 為果蠅在時間 t 的數量。已知當 t ＝ 2 時，y ＝ 100 和當t ＝ 4 時，y ＝ 300，代入模型 y ＝ Cekt得 100 ＝ Ce2k　和　300 ＝ Ce4k 若要解 k，先解出第一方程式中的 C，再代入第二方程式。 第五章　指數與對數函數 P.5-40

17. 範例2　數量成長的模型 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-40

18. 範例2　數量成長的模型 （解） 因為 ，可得 C ≈100/e2(0.5493) ≈ 33。即指數成長模型為 y ＝ 33e0.5493t 如圖 5.19 所示。所以，5 天後果蠅的數量有 y ＝ 33e0.5493(5) ≈ 514 隻 第五章　指數與對數函數 P.5-40

19. 範例2　數量成長的模型 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-40 圖5.19

20. 範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c) 。 代數技巧 第五章　指數與對數函數 P.5-40

21. 檢查站 2 如果果蠅數量兩天後有 100隻，四天後有 400隻，求其指數成長模型。 第五章　指數與對數函數 P.5-40

22. 範例3　複利的模型 在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在 6 年後增值為兩倍，試問其年利率為何？ 第五章　指數與對數函數 P.5-40

23. 範例3　複利的模型 （解） 以連續複利計算的銀行帳戶餘額 A 可表示為指數成長模型 A ＝ Pert指數成長模型 其中 P 為原始存款值，r 為年利率 (以小數表示) 且t 為時間 (年)。已知 t ＝ 6 時，A ＝ 2P，如圖 5.20 所示，即可解得 r。 第五章　指數與對數函數 P.5-40

24. 範例3　複利的模型 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-40 圖5.20

25. 範例3　複利的模型 （解） 所以，年利率為 或者大約 11.55%。 第五章　指數與對數函數 P.5-41

26. 檢查站 3 已知以連續複利計算的帳戶餘額在 8 年後恰增值為兩倍，求年利率。 第五章　指數與對數函數 P.5-51

27. 應用 本節的例子都是使用以 e 為底數的指數成長模型，此模型其實可以任意數為底數。換言之，模型 y ＝ Cabt 也可以是指數成長模型 (因為該模型可寫成 y ＝ Ce(ln a) bt)。在某些實際生活的例子，不以 e 為底數反而較方便。 第五章　指數與對數函數 P.5-41

28. 應用 譬如在範例 1 中，因為鐳的半衰期是 1599 年，所以指數衰減模型可寫成 根據此模型，樣本中的鐳的同位素數量在 1000 年後剩下 也吻合範例 1 的結果。 第五章　指數與對數函數 P.5-41

29. 學習提示 是否可立即看出範例 1 中放射性物質衰減的模型為 ？注意：當t ＝ 1599 時，y 值為 1/2，當t ＝ 3198 時，y 值為 1/4，以此類推。 第五章　指數與對數函數 P.5-41

30. 範例4　銷售量模型化 在停止全國性電視廣告後的四個月，某製造商發現 MP3 的銷售量從100,000 台減為 80,000 台。若銷售量是以指數衰減來變化，再過四個月後的銷售量為何？ 第五章　指數與對數函數 P.5-41

31. 範例4　銷售量模型化 （解） 令 y 為 MP3 的銷售量，t 為時間 (月)，並考慮指數衰減模型 y ＝ Cekt 指數衰減模型 從已知條件可知當 t ＝ 0 時，y ＝ 100,000，即100,000 ＝ Ce0 第五章　指數與對數函數 P.5-41

32. 範例4　銷售量模型化 （解） 所以 C ＝ 100,000。若要解 k，則須利用當 t ＝ 4 時，y ＝ 80,000 的條件，所以 第五章　指數與對數函數 P.5-41

33. 範例4　銷售量模型化 （解） 則 ，所以此模型為 y ＝ 100,000e－0.0558t 再過四個月 (t ＝ 8)，銷售量將衰減為 y ＝ 100,000e－0.0558(8)  64,000 台 MP3 如圖 5.21 所示。 第五章　指數與對數函數 P.5-41

34. 範例4　銷售量模型化 （解） 第五章　指數與對數函數 P.5-41 圖5.21

35. 檢查站 4 • 根據範例 4 的模型，請問 MP3 的銷售量何時會掉到 50,000 台？ P.5-42