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定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB ,則 AM = MB 。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ] - PowerPoint PPT Presentation


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定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB ,則 AM = MB 。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ]. 定理 10.2.2 若 AM = MB ,則 OM ⊥ AB 。 [ 圓心至弦中點的連線垂直弦 ]. O 是圓心. 定理 10.2.3 若 AB = CD ,則 OM = ON 。 [ 等弦與圓心等距 ]. 定理 10.2.4 若 OM = ON ,則 AB = CD 。 [ 與圓心等距的弦等長 ]. O 是圓心. 弦的特性. . 例. 弦的特性. .

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Presentation Transcript

定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB,則 AM = MB。

[ 圓心至弦的垂線平分弦 ]

定理 10.2.2 若 AM = MB,則 OM ⊥ AB。

[ 圓心至弦中點的連線垂直弦 ]

O 是圓心

定理 10.2.3 若 AB = CD,則 OM = ON。

[ 等弦與圓心等距 ]

定理 10.2.4 若 OM = ON,則 AB = CD。

[ 與圓心等距的弦等長 ]

O 是圓心

弦的特性


弦的特性

圖中,O 是圓心。已知 P和 Q分別是 AB和 AC 的中點,OP = 5,∠BAC = 70,∠ACB = 55。求 OQ。

OP ⊥ AB及 OQ ⊥ AC

(圓心至弦中點的連線垂直弦)

∠ABC = 180 – 70 – 55(△ 內角和)

= 55

∠ACB = ∠ABC

∴ AC = AB (等角對邊相等)

∴ OQ = OP (等弦與圓心等距)

= 5


定理 10.3.1 x = 2y

[ 圓心角兩倍於圓周角 ]

O 是圓心

定理 10.3.2 若 AB 是直徑,

則 ∠ACB = 90。

[ 半圓上的圓周角 ]

O 是圓心

定理 10.3.3 x = y

[ 同弓形內的圓周角 ]

圓上的角


圓上的角

圖中,已知 BD 是直徑,∠ABD = 43,∠ADC = 98。求 ∠BAC。

∠ACD = ∠ABD (同弓形內的圓周角)

= 43

∠CAD = 180 – 98 – 43(△ 內角和)

= 39

∠BAD = 90(半圓上的圓周角)

∠BAC + ∠CAD = 90

∠BAC + 39= 90

∠BAC= 51


定理 10.4.1 – 定理 10.4.3

定理 10.4.4 – 定理 10.4.5

等弦

等弦

等弧

等弧

等圓心角

等圓周角

等弧、等弦與等圓心角(圓周角)


等弧、等弦與等圓心角(圓周角)

圖中,O 是圓心,AD是直徑,AB = CD = 4, ∠AOB = 60。

(a) 求 ∠COD。

∠COD = ∠AOB(等弦對等圓心角)

= 60


(b) 若圓周是 k 單位,求 ,答案以 k表示。

是半圓,所以 是圓周的 ,即 單位。

等弧、等弦與等圓心角(圓周角)

圖中,O 是圓心,AD是直徑,AB = CD = 4, ∠AOB = 60。

∠BOC = 180 – 60 – 60(直線上的鄰角)

= 60


定理 10.4.6

[ 弧長與圓心角成比例 ]

O 是圓心

定理 10.4.7

[ 弧長與圓周角成比例 ]

弧長的比與圓心角(圓周角)大小的比


圖中, AC 與 BD 相交於 M,

,求∠AMD。

在 △ADC 內,

x + x + x + 2x = 180(△ 內角和)

x = 36

弧長的比與圓心角(圓周角)大小的比

連接 CD 及 DA。設 ∠ACD = x。

∠CAD = ∠BDC = ∠ACD = x(等弧對等圓周角)

∴ ∠ADB = 2x (弧長與圓周角成比例)

∠AMD = ∠ACD + ∠BDC(△ 外角)

= 72


定理 10.5.1 若ABCD 是圓內接四邊形,

則 ∠A + ∠C = ∠B + ∠D

= 180。

[ 圓內接四邊形對角 ]

定理 10.5.2 a = b

[ 圓內接四邊形外角 ]

圓內接四邊形


圓內接四邊形

圖中,AD和 BC的延線相交於 M點,∠BAM = 70,∠CDM = 82。

(a) 求 ∠BCD 和 ∠ABC。

∠BCD + ∠BAD = 180

(圓內接四邊形對角)

∠BCD + 70= 180

∠BCD = 110

∠ABC = ∠CDM (圓內接四邊形外角)

= 82


∠BAM = ∠DCM(圓內接四邊形外角)

∠ABM = ∠CDM(已證)

∴ △ABM ~ △CDM(AAA)

∴ (相似 △ 對應邊)

圓內接四邊形

圖中,AD和 BC的延線相交於 M點,∠BAM = 70,∠CDM = 82。

(b) 證明 (AM) (DM)= (BM) (CM)。

∴ (AM) (DM)= (BM) (CM)


定理 10.6.1 若 AB 是圓在 P點的切線,

則 AB ⊥ 半徑OP。

[ 切線⊥半徑 ]

O 是圓心

定理 10.6.2 若 TP 和 TQ 是圓在 P和 Q點

的切線,則

(1) ∠PTO = ∠QTO

(2) TP = TQ

(3) ∠POT = ∠QOT

[ 由外點引切線 ]

O 是圓心

圓的切線


定理 10.6.3 x = y

[ 交錯弓形的圓周角 ]

圓的切線


CBD = ∠DCN(交錯弓形的圓周角)

= 63

∠BCM = ∠CBD(內錯角,MN // BD)

= 63

∠BCD = 180 – 63 – 63(直線上的鄰角)

= 54

圓的切線

圖中,MN 是圓在 C點的切線,且平行於 BD, ∠DCN = 63。求 ∠BAD。

∠BAD +∠BCD = 180(圓內接四邊形對角)

∠BAD + 54= 180

∠BAD = 126


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