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定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB ，則 AM = MB 。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ]

定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB ，則 AM = MB 。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ]. 定理 10.2.2 若 AM = MB ，則 OM ⊥ AB 。 [ 圓心至弦中點的連線垂直弦 ]. O 是圓心. 定理 10.2.3 若 AB = CD ，則 OM = ON 。 [ 等弦與圓心等距 ]. 定理 10.2.4 若 OM = ON ，則 AB = CD 。 [ 與圓心等距的弦等長 ]. O 是圓心. 弦的特性. . 例. 弦的特性. .

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定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB ，則 AM = MB 。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ]

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  1. 定理 10.2.1 若 OM ⊥ AB，則 AM = MB。 [ 圓心至弦的垂線平分弦 ] 定理 10.2.2 若 AM = MB，則 OM ⊥ AB。 [ 圓心至弦中點的連線垂直弦 ] O 是圓心 定理 10.2.3 若 AB = CD，則 OM = ON。 [ 等弦與圓心等距 ] 定理 10.2.4 若 OM = ON，則 AB = CD。 [ 與圓心等距的弦等長 ] O 是圓心 弦的特性 

  2. 例 弦的特性  圖中，O 是圓心。已知 P和 Q分別是 AB和 AC 的中點，OP = 5，∠BAC = 70，∠ACB = 55。求 OQ。 OP ⊥ AB及 OQ ⊥ AC （圓心至弦中點的連線垂直弦） ∠ABC = 180 – 70 – 55（△ 內角和） = 55 ∠ACB = ∠ABC ∴ AC = AB （等角對邊相等） ∴ OQ = OP （等弦與圓心等距） = 5

  3. 定理 10.3.1 x = 2y [ 圓心角兩倍於圓周角 ] O 是圓心 定理 10.3.2 若 AB 是直徑， 則 ∠ACB = 90。 [ 半圓上的圓周角 ] O 是圓心 定理 10.3.3 x = y [ 同弓形內的圓周角 ] 圓上的角 

  4. 例 圓上的角  圖中，已知 BD 是直徑，∠ABD = 43，∠ADC = 98。求 ∠BAC。 ∠ACD = ∠ABD （同弓形內的圓周角） = 43 ∠CAD = 180 – 98 – 43（△ 內角和） = 39 ∠BAD = 90（半圓上的圓周角） ∠BAC + ∠CAD = 90 ∠BAC + 39= 90 ∠BAC= 51

  5. 定理 10.4.1 – 定理 10.4.3 定理 10.4.4 – 定理 10.4.5 等弦 等弦 等弧 等弧 等圓心角 等圓周角  等弧、等弦與等圓心角（圓周角）

  6. 例  等弧、等弦與等圓心角（圓周角） 圖中，O 是圓心，AD是直徑，AB = CD = 4， ∠AOB = 60。 (a) 求 ∠COD。 ∠COD = ∠AOB（等弦對等圓心角） = 60

  7. (b) 若圓周是 k 單位，求 ，答案以 k表示。 例 ∴ 是半圓，所以 是圓周的 ，即 單位。  等弧、等弦與等圓心角（圓周角） 圖中，O 是圓心，AD是直徑，AB = CD = 4， ∠AOB = 60。 ∠BOC = 180 – 60 – 60（直線上的鄰角） = 60

  8. 定理 10.4.6 [ 弧長與圓心角成比例 ] O 是圓心 定理 10.4.7 [ 弧長與圓周角成比例 ] 弧長的比與圓心角（圓周角）大小的比 

  9. 圖中， AC 與 BD 相交於 M， ，求∠AMD。 例 在 △ADC 內， x + x + x + 2x = 180（△ 內角和） x = 36 弧長的比與圓心角（圓周角）大小的比  連接 CD 及 DA。設 ∠ACD = x。 ∠CAD = ∠BDC = ∠ACD = x（等弧對等圓周角） ∴ ∠ADB = 2x （弧長與圓周角成比例） ∠AMD = ∠ACD + ∠BDC（△ 外角） = 72

  10. 定理 10.5.1 若ABCD 是圓內接四邊形， 則 ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180。 [ 圓內接四邊形對角 ] 定理 10.5.2 a = b [ 圓內接四邊形外角 ] 圓內接四邊形 

  11. 例 圓內接四邊形  圖中，AD和 BC的延線相交於 M點，∠BAM = 70，∠CDM = 82。 (a) 求 ∠BCD 和 ∠ABC。 ∠BCD + ∠BAD = 180 （圓內接四邊形對角） ∠BCD + 70= 180 ∠BCD = 110 ∠ABC = ∠CDM （圓內接四邊形外角） = 82

  12. 例 ∠BAM = ∠DCM（圓內接四邊形外角） ∠ABM = ∠CDM（已證） ∴ △ABM ~ △CDM（AAA） ∴ （相似 △ 對應邊） 圓內接四邊形  圖中，AD和 BC的延線相交於 M點，∠BAM = 70，∠CDM = 82。 (b) 證明 (AM) (DM)= (BM) (CM)。 ∴ (AM) (DM)= (BM) (CM)

  13. 定理 10.6.1 若 AB 是圓在 P點的切線， 則 AB ⊥ 半徑OP。 [ 切線⊥半徑 ] O 是圓心 定理 10.6.2 若 TP 和 TQ 是圓在 P和 Q點 的切線，則 (1) ∠PTO = ∠QTO (2) TP = TQ (3) ∠POT = ∠QOT [ 由外點引切線 ] O 是圓心 圓的切線 

  14. 定理 10.6.3 x = y [ 交錯弓形的圓周角 ] 圓的切線 

  15. ∠CBD = ∠DCN（交錯弓形的圓周角） = 63 例 ∠BCM = ∠CBD（內錯角，MN // BD） = 63 ∠BCD = 180 – 63 – 63（直線上的鄰角） = 54 圓的切線  圖中，MN 是圓在 C點的切線，且平行於 BD， ∠DCN = 63。求 ∠BAD。 ∠BAD +∠BCD = 180（圓內接四邊形對角） ∠BAD + 54= 180 ∠BAD = 126

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