Zborcen é plochy

1. Zborcené plochy Mgr. Jan Šafařík Přednáška č. 11 - 13 přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240

2. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Literatura • Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3. • Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php • Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006–2008. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php • Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.http://math.fce.vutbr.cz/studium.php Základní literatura:

3. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Literatura Doporučená literatura: • Jiří Doležal: Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html • Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992. • Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997. • Bulantová, Jana - Hon, Pavel - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Deskriptivní geometrie pro I. ročník kombinovaného studia, Fakulta stavební VUT v Brně, 2004–2008. • Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003.

4. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Literatura • Blaženková, Šárka: Plochy technické praxe, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006 • Černý, Jaroslav – Kočandrlová, Milada: Obrazová podpora skript Černý, Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, http://mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/kog/default.html. • Doležal, Jiří : Základy geometrie a Geometrie, http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html. • Juklová, Lenka: Přednášky z Ploch technické praxe  - 8. semestr - KAG/GPTP8, http://kag.upol.cz/juklova/index.html. • Kadeřávek František: Plochy stavebně-inženýrské praxe, Druhé přepracované a rozšířené vydání připravily Václav Havel a František Harant, nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1958. • Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975. • Surynková, Petra: Plochy stavební praxe, Bakalářská práce, Matematicko-fyzikální fakulta, Univerzita Karlova, Praha 2006 • Vanadiová, Lucie: Využití matematických ploch k zastřešení, Diplomová práce, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno 2006. Další zdroje:

5. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy • Zborcená plochaje dána třemirůznými (obecně prostorovými) řídícími křivkami 1c, 2c, 3c, které neleží na téže rozvinutelné ploše • Značíme (1c, 2c, 3c) • Přímka protínající všechny tři řídící přímky se nazývá tvořící přímka

6. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy • Konstrukce tvořící přímky: • Zvolme bod A 1c. Tvořící přímku n procházející bodem A získáme jako průnik kuželové plochy 2s vrcholem Aa řídící křivkou 2c a kuželové plochy 3s vrcholem Aa řídící křivkou 3c.

7. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy • Je-li tvořící přímka m dotyková povrchová přímka obou kuželových ploch, pak se nazývá torzální přímka a vrchol kuželů se nazývá kuspidální bod. • Podél torsální přímky existuje jediná tečná rovina zborcené plochy , tzv. torzální rovina. • Křivka na zborcené ploše se nazývá dvojná {trojná, …}, jestliže každým bodem této křivky (s konečným počtem vyjímek) prochází dvě {tři, …} tvořící přímky (které nemusí byt torzální). • Kuspidální body se vyskytují na dvojných {trojných, …} křivkách zborcené plochy . Torzální přímka prochází kuspidálním bodem. • Tečná rovina v nevlastním bodě netorzální přímky n zborcené plochy se nazývá asymptotická.

8. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy • Stupeň plochy: • Buď zborcená plocha dána algebraickými křivkami 1c stupně 1n, 2c stupně 2n a 3c stupně 3n. • Nemají-li řídící křivky žádný společný bod, pak je stupně 2·1n·2n·3n • Mají-li křivky ic, jc pro 1ij3 společný sij bodů, pak je stupně 2·1n·2n·3n – s12·3n – s13·2n – s23·1n

9. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy • Užití zborcených ploch • Jejich soustava tvořících přímek je vhodná pro kladení bednění nebo výztuží betonu, které umožňuje značné zmenžení tloušťky klenby – vznik skořepinových ploch • Odolnost vůči tlakům vznikajícím ve stavbě, i při jejím provozním chodu bez zpevňujících zařízení • Ze statického hlediska jsou zborcené plochy samonosné

10. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy 2. stupně(zborcené kvadriky) • Jednodílný hyperboloid • Hyperbolický paraboloid

11. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy 2. stupně(zborcené kvadriky) • Buď dány tři řídící přímky – mimoběžky 1a, 2a, 3a. Tvořící přímky vytvoří zborcenou plochu (1a, 2a, 3a) stupně 2·1·1·1=2, tj. kvadriku • Tvořící přímky plochy , například 1b, 2b, 3b, 4b, … jsou navzájem mimoběžné, neboť kdyby například 1b a 2bbylyruznoběžné, pak alespoň dvě z přímek 1a, 2a, 3a  (1b, 2b), ale to je spor s předpokladem mimoběžnosti přímek 1a, 2a, 3a. • Tvořící přímky - mimoběžky ib plochy se nazývají např. přímky I. regulu plochy . Zvolme nyní tři mimoběžky I. regulu, například 1b, 2b, 3b jako řídící přímky plochy , pak přímky 1a, 2a, 3a spolu s dalšími mimoběžkami ia tvoří přímky II. regulu plochy .

12. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy 2. stupně(zborcené kvadriky) • Z konstrukce je patrné, že: • Každá přímka I. regulu protíná všechny přímky II. regulu a naopak • Přímky téhož regulu jsou navzájem mimoběžné • Tečná rovina plochy v bodě Mje určena přímkami obou regulů, bodem M procházejících

13. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid

14. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid • Jestliže přímky téhož regulu nejsou rovnoběžné s rovinou , pak se plocha nazývá jednodílný hyperboloid (obecněnerotační). • Základní vlastnosti • Bod přímky p nejblíže ose vytváří při rotaci hrdlovou kružnici (kružnice plochy s nejmenším poloměrem). • Střed hrdlové kružnice nazýváme středem hyperboloidu. • Dva systémy mimoběžných přímek na ploše… reguly. • Plocha dvojí křivosti. • Nerozvinutelná plocha.

15. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid • Asymptotická kuželová plocha • Kuželová plocha, jejíž vrchol je střed hyperboloidu. • Každá tvořící přímka asymptotické kuželové plochy je rovnoběžná s některou tvořící přímkou hyperboloidu. • Má-li asymptotická kuželová plocha obrys, jsou její obrysové přímky asymptotami obrysu hyperboloidu. Obrysem hyperboloidu je hyperbola.

16. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid • Řezy na jednodílném hyperboloidu přímky kružnice, elipsa

17. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid • Řezy na jednodílném hyperboloidu parabola hyperbola

18. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida)

19. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.

20. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid Chladící věže jaderných elektráren

21. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid

22. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid • Jestliže existuje rovina  (’), se kterou jsou přímky nečárkovaného (čárkovaného) regulurovnoběžné, dostaneme plochu zvanou hyperbolický paraboloid. • Základní pojmy • Zborcený čtyřúhelník • Řídicí rovina • Systém (regulus) přímek • Sedlový bod, sedlová plocha • Vrchol hyperbolického paraboloidu • Osa hyperbolického paraboloidu • Směr osy hyperbolického paraboloidu • Zborcená přímková kvadratická plocha • Plocha dvojí křivosti

23. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid • Základní pojmy • Zborcený čtyřúhelník – čtyřúhelník, jehož vrcholy neleží v téže rovině • Osa hyperbolického paraboloidu – přímka, která je rovnoběžná s průsečnicí řídících rovin obou regulů • Vrchol V hyperbolického paraboloidu – osa hyperbolického paraboloidu prochází bodem V, tzv. vrcholem HP. Tečná rovina ve vrcholu V je kolmá k ose HP. • Tečná rovina protíná hyperbolický paraboloid ve dvou přímkách, které se protínají v jejím bodě dotyku. Jedna patří do přímek 1. regulu a druhá do přímek 2. regulu.

24. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid • Základní pojmy • Řez hyperbolického paraboloidu rovinou: • Je-li rovina řezu rovnoběžná s řídící rovinou 1. nebo 2. regulu, je řezem jedna površka. • Je-li rovina řezu tečna hyperbolického paraboloidu v bodě dotyku T, jsou řezem dvě površky. • Je-li rovina řezu rovnoběžná resp. procházející osou hyperbolického paraboloidu, ale různoběžná s řídícími rovinami obou regulů, je řezem parabola • Pro všechny ostatní případy je řezem hyperbola.

25. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Proč hyperbolický paraboloid

26. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Příklad: V izometrii je dán průmět dvou zdí stejné výšky, jejíž lícní roviny , mají různý spád. Proveďte spojení obou zdí pomocí plochy hyperbolického paraboloidu. A[60, 0, 0], B[80, 30, 0], C[0, 80, 60], D[0, 0, 60].

27. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Příklad: V pravoúhlé izometrii je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem ABCD. Sestrojte několik tvořících přímek plochy patřících do obou přímkových regulů. Je dáno A[40, 0, 0], B[0, 80, 50], C[-40, 0, 0], D[0, -80, 50]. Plochu omezte rovinami (x, y), , , je- li dáno: : y = 80, : y = - 80. Bulantová, J. - Prudilová, K. - Puchýřová, J. - Zrůstová, L.: Úlohy o zborcených plochách, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006.

28. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Příklad: V Mongeově promítání je dána plocha hyperbolického paraboloidu pomocí zborceného čtyřúhelníku ABCD, který se v půdorysně  zobrazí jako rovnoběžník. A[-69,62, 77], B[19, 74, 0], C[?, ?, 77], D[-19, 9, 0]. V bodě dotyku T sestrojte tečnou rovinu τ. Sestrojte řez rovinou , rovnoběžnou s nárysnou , procházející vrcholem V hyperbolického paraboloidu.

29. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem • Střešní roviny stejného spádu • hřeben není vodorovný Požadujeme hřeben vodorovný

30. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem • Půlícím bodem střední příčky je veden vodorovný hřeben MN rovnoběžný s jednou okapovou hranou. • Část střešní plochy tvoří hyperbolický paraboloid určený zborceným čtyřúhelníkem ABMN. • Latě jsou vodorovné, ale krokve nejsou kolmé k hřebeni.

31. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem • Krokve jsou kolmé na hřeben. • Hyperbolický paraboloid je určen zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Nároží se sousedními střešními rovinami jsou části kuželoseček.

32. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Střecha nad lichoběžníkovým půdorysem • Užitá část hyperbolického paraboloidu je ohraničena zborceným čtyřúhelníkem KLMN. • Přechází v části rovin určených body ALM a BKN. • Tím docílíme, že všechna nároží jsou úsečky.

33. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada

34. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo

35. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie

36. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Zborcené plochy vyšších stupňů • Přímý kruhový konoid • Plückerův konoid • Küpperův konoid • Plocha Štramberské trúby • Plocha Montpellierského oblouku • Plocha Marseillského oblouku • Plocha Šikmého průchodu

37. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Konoidy • Má-li zborcená plocha mezi řídícími křivkami přímku v konečnu a přímku v nekonečnu, zanývá se konoid. • Hyperbolický paraboloid je konoidem nejnižšího stupně. • Třetí řídící křivka dourčuje název konoidu: • kruhový konoid • eliptický konoid • šroubový konoid • … • Konoidy dělíme na přímé a kosé podle úhlu, který svírá přímka v konečnu s řídící rovinou • = 90 – přímý konoid • ≠ 90 – kosý konoid

38. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý kruhový konoid

39. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý kruhový konoid • zadání • řídící rovinou (c∞ ) • řídící přímkou d • řídící kružnicí k;  , d  • stupeň křivky: • 2·1·1·2=4

40. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý kruhový konoid Příklad: V kosoúhlém promítání (=135, qy=2/3) je dán přímý kruhovýkonoid s řídící kružnicí 1k (S[35, 35, 0], r=35) v půdorysně, řídící rovinou  a řídící přímkou 2k. Přímka2kprochází bodemM[35, 0, 80]. Sestrojte několik tvořících přímek konoidu, určete stupeň plochy.

41. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý parabolický konoid

42. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý parabolický konoid • zadání • řídící rovinou (c∞ ) • řídící přímkou d • řídící parabolou;  , d  • stupeň křivky: • 2·1·1·2=4

43. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Přímý parabolický konoid

44. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Štramberské trúby

45. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Štramberské trúby • zadání • dvěma k sobě kolmými mimoběžkami 1d, 2d • kružnicí k ležící v rovině rovnoběžné s 1d a 2d a se středem na ose mimoběžek 1d a 2d. • stupeň křivky: • 2·1·1·2=4

46. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Štramberské trúby

47. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku

48. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku • zadání • řídící kružnicí k • řídící přímkou 1d, která prochází středem S kružnice k kolmo na rovinu kružnice • řídící přímkou 2d, která je rovnoběžná a různá s rovinou kružnice a mimoběžná s řídící přímkou 1d • stupeň křivky: • 2·2·1·1=4

49. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku

50. Jan Šafařík: Zborcené plochy Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Montpellierského oblouku Příklad: V Mongeově promítání sestrojte Montpelliérský oblouk daný řídící kružnicí 1k (S [0, 20, 0], r = 40), která leží v rovině ν' || ν(x, z), dále řídící přímkou 2d || x1,2, Q2d, Q [0, 60, 60] a přímkou 3d, 3dν, S 3d. Plochu omezte řídící kružnicí 1k, řídící přímkou 2d a rovinami α(20, -20, ) a β (-20, -20, ). Dále sestrojte řez rovinou ρ(, 80, 65).