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Elaboré par M. NUTH Sothan. Intégral de surface. I. Surface dans l’espace. Soit x, y et z des coordonnées cartésiennes à 3 dimension. G un ensemble de points dans le plan ( u, v ). Déf . : On appelle surface une application continue F.
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Elaboré par M. NUTH Sothan Intégral de surface
Soit x, y et z des coordonnées cartésiennes à 3 dimension. G un ensemble de points dans le plan (u, v). Déf. : On appelle surface une application continue F. x=x(u, v) , y=y(u, v) , z=z(u, v) ,{u, v} G. (1) de l’ensemble G dans l’espace. 1. Surface régulière différentiable
Sous la forme vectorielle : (2) où L’ensemble G s’appelle système de coordonnées et u et v sont des coordonnées ou paramètres de F. L’image F(G) est la surface et définie par (1) ou (2). 1. Surface régulière différentiable...
Ex. : Les applications : x = cosu , y = sinu , z = v , (0 u 2π , 0 v 1) et x=cos2u , y=sin2u , z=v , (0 u 2π , 0 v 1) définissent des surfaces différentes biehnque G={{u, v}; (0 u 2π , 0 v 1) soient dans les deux cas l’ensemble : x2 + y2 = 1 , 0 z 1. 1. Surface régulière différentiable...
Le 1er cas : La surface ne présente pas de self-intersection. Le 2ème cas : Elle en présente. Déf. : La surface F est différentiable si (1) (ou (2)) possèdent des dérivées partielles 1ères ordre continues dans G. Déf. : Une surface différentiable F est régulière si en tout point {u, v} dans G le rang de la matrice 1. Surface régulière différentiable...
est égale à 2. Ceci exprime que sont linéairement indépendant. 1. Surface régulière différentiable...
Soit F une surface RD SSI, définie par (1) ou (2). Soit {u0 , v0} G. Pour u=u0 : devient courbe RD sur F passant par le point et un vecteur tangent à la courbe. 2. Plan tangent et vecteur normal à une Surface
De façon analogue : Pour v=v0 : devient courbe RD sur F passant par le point et un vecteur tangent à la courbe. Les courbes s’appelle coordonnées de la surface F. 2. Plan tangent et vecteur normal à une Surface...
Donc les lignes de coordonnées se coupent sous l’angle (0 < < ). Soit : u=u(t) , v=v(t) , a t b une courbe RD SSI passant par {u0 ,v0} dans G : u(t0)=u0 , v(t0)=v0 , a t0 b Alors (3) est une courbe diff. SSI située sur F. 2. Plan tangent et vecteur normal à une Surface...
Cette courbe est régulière. En effet : puisque sont linéairement indépendants et 2. Plan tangent et vecteur normal à une Surface...
L’équation tangent à la surface F au point : où est la normale à la surface F au point 2. Plan tangent et vecteur normal à une Surface...
On a : 3. longueur d’une courbe sur une surface
Donc : Notons : 3. longueur d’une courbe sur une surface...
Soit F RD SSI définie par : et D⊂G un domaine borné fermé. Soit FD la partie de F définie par D : Déf. : L’aire de surface FD est : 4. aire de surface
R.1: (6) représente l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs En effet : 4. aire de surface...
R.2: Si la surface différentiable F définie par : z = f(x, y) , {x, y}G , alors : 4. aire de surface...
Alors : R.3: Si z=0 , alors : Ex.: Calculer l’aire de portion de sphère de rayon R et de centre l’origine de coordonnées située dans le 1er octant. 4. aire de surface...
Soit F une surface RD SSI définie par et D⊂G un domaine borné fermé. Désignons FD la partie de F définie par D : II. Intégrale de surface
Déf.: Soit g(x, y, z) continue sur FD . II. Intégrale de surface...
R.: Si z=f(x, y) , {x, y}D II. Intégrale de surface...
Déf.: On dit qu’une surface RD est orientable s’il est possible de choisir un champ de vecteurs unitaires normaux continu. Dans le cas contraire on dit qu’elle est non orientable. Soit F une surface RD SSI orientée par le choix d’un champ de vecteurs unitaires normaux continus. II. Intégrale de surface...
R.: Il existe une surface non orientable. Soit F une surface RD SSI orientée par le choix d’un champ de vecteur unitaires normaux : II. Intégrale de surface...
Supposons : est continu sur F. Déf.: On appelle flux du champ de vecteur à travers la surface orienté F l’intégrale : où F est définie par : II. Intégrale de surface...
(2) s’appelle intégrale de surface de second espèce. Si F est orientée par , alors (2) change de signe. En effet : Si P=Q=0 et F est définie par : z=z(x, y), {x, y}D II. Intégrale de surface...
Alors : Le signe dépend du choix de l’orientation de la surface. Et II. Intégrale de surface...
Alors : De même manière : Et l’intégrale de surface de second espèce est (2). II. Intégrale de surface...
III. Formule de Stokes. Condition de potentialité d’un champ de vecteurs dans l’espace.
Soit F une surface RD SSI définie par : et G un domaine simplement connexe. Soit C⊂G un contour fermé simple deux fois différentiables : u=u(t) , v=v(t) , a t b , D un domaine fermé borné de frontière C. Donc définie un contour C situé sur F. 1. Formule de Stokes.
Soit FD la portion de surface contenue à l’intérieur de C. La surface F est orienté par vecteur unitaire normal : 1. Formule de Stokes...
Th.1: Soit un champ de vecteur continu et différentiable sur F. 1. Formule de Stokes...
Déf.: Le champ de vecteurs s’appelle rotationnel du champ de vecteurs différentiable ou 1. Formule de Stokes...
La formule de Stockes peut être écrite sous forme : R.: D’après la formule de Stockes, la circulation d’un champ de vecteurs suivant un contour fermé est égale au flux du rotationnel de ce champ à travers la surface limitée par ce contour. 1. Formule de Stokes...
Th.2 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G est potentiel ssi ne dépend pas de chemin L joignant deux points qc de G. Th.3 (CNS): Un champ de vecteurs continu dans G est potentiel ssi 2. Condition de potentialité
Soit H={{x, y, z}; z1 (x, y) z z2 (x, y), {x, y}D}, et z1 (x, y) < z2 (x, y) pour {x, y}D Soit la surface F est orientée par Soit un champ de vecteur IV. Formule d’ostrogradski
IV. Formule d’ostrogradski... z z=z1(x, y) F2 F0 F1 z=z1(x, y) y 0 D x
Th.: Déf.: IV. Formule d’ostrogradski...
Alors la formule d’Ostrogradski devient R.: est dit solénoïdal. IV. Formule d’ostrogradski...
