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第四章 线性方程组

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第四章 线性方程组 - PowerPoint PPT Presentation


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第四章 线性方程组. 4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式. 4.1 消元法. 1. 内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别 2. 教学目的 : 会用消元法解线性方程组 3. 重点难点 : 线性方程组的消元解法. ( 1 ). 前一章中我们只讨论了这样的线性方程组,这种方程组的方程个数和未知量相等 , 并且方程组的系数行列式不等于零 , 在这一章我们要讨论一般的线性方程组:.

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第四章 线性方程组

4.1 消元法

4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法

4.3 线性方程组的公式解

4.4 结式和判别式

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4.1 消元法

1.内容分布

4.1.1 线性方程组的初等变换

4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵

4.1.3 线性方程组有解的判别

2.教学目的:

会用消元法解线性方程组

3.重点难点:

线性方程组的消元解法

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(1)

前一章中我们只讨论了这样的线性方程组,这种方程组的方程个数和未知量相等,并且方程组的系数行列式不等于零,在这一章我们要讨论一般的线性方程组:

在实际的解线性方程组时,比较方便的方法是消元法.

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(2)

从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍,来消去这两个方程中的未知量 ,即把 的系数化为0.

例1解线性方程组:

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得到:

把第二个方程的2倍加到第三个方程,消去后一方程中的未知量 ,得到

为了计算的方便,把第一个方程乘以 -2 后,与第二个方程交换,得:

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现在很容易求出方程组(2)的解. 从第一个方程减去第三个方程的3倍,再从第二个方程减去第三个方程,得

再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍,得:

这样我们就求出方程组的解.

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4.1.1 线性方程组的初等变换

以上例子,我们实际上做了这样的工作,那就是对方程组施行下面三种变换:

①交换两个方程的位置;

②用一个不等于零的数某一个方程;

③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.

这三种变换叫作线性方程组的初等变换.易知

定理4.1.1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.

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在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,

只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有

参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的

解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组

时,主要是研究它的系数和常数项. 因而消元法的过程即

用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,

此可转用另一种形式表述.为此引入:

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定义1由st个数

排成一个s行t 列的表

叫做这个矩阵的元素.

4.1.2矩阵的初等变换

叫做一个s行t列(或s×t)的矩阵,

注意:矩阵和行列式在形式上有些类似,但有完全不同的意义,一个行列式是一些数的代数和,而一个矩阵仅仅是一个表.当s=t时,称为方阵.

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(3)

(4)

线性方程组的(1)的系数可以排成下面的一个表:

系数矩阵

而利用(1)的系数和常数项又可以排成下表:

增广矩阵

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一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.

Note:线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的 .

定义2矩阵的行(列)初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换:

1) 交换矩阵的两行(列)

2)(倍变换)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行(列),即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行(列)的每一个元素;

3)(消法变换)用某一数乘矩阵的某一行(列)后加到另

一行(列),即用某一数乘矩阵的某一行(列)的每一个

元素后加到另一行(列)的对应元素上.

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显然,对一个线性方程组施行一个初等变换,相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换,而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出.

在对于 一个线性方程组施行初等变换时,我们的目的是消去未知量,也就是说,把方程组的左端化简. 因此我们先来研究,利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此,为了叙述的方便,除了行初等变换外,还允许交换矩阵的两列,即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置,这不影响对方程组的研究.

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先化为

然后,进一步化为

在例1中,我们曾把方程组(2)的系数矩阵

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(5)

定理4.1.2设A是一个

m 行n列的矩阵:

通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式:

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(6)

这里

* 表示矩阵的元素,但不同位置上

的 * 表示的元素未必相同.

证 若是矩阵A的元素 都等于零,那么A已有(5)的形式

进而化为以下形式,

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乘第一行,然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数,乘第一行,然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数,

矩阵A化为

不等于零,必要时交换矩阵的行和列,可以使这个

设某一

元素位在矩阵的左上角.

若B中,除第一行外,其余各行的元素都是零,那么B已经

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有(5)的形式. 设B 的后m– 1 行中有一个元素b不为零,把b换到第二行第二列的交点位置,然后用上面同样的方法,可把B 化为

如此继续下去,最后可以得出一个形如(5)的矩阵.

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形如(5)的矩阵可以进一步化为形如(6)的矩阵是形如(5)的矩阵可以进一步化为形如(6)的矩阵是

显然的. 只要把由第一,第二,…,第r– 1 行

分别减去第r 行的适当倍数,再由第一,第二,…,

第r – 2行分别减去第r– 1行的适当倍数,等等.

Note:1)定理结论中首次出现了矩阵在要求的允许变换下

的最简形式(标准形式),可明确步骤为两步,目的是程序

整齐,计算量较小,实际中做法不一;但必须注意在具体允

许变换下,最简形式是相应的.

2)在此要求仅作行初等变换和列的换法变换是因为与解方程

有关.

4 1 3

(7)

4.1.3用消元法解线性方程组

考察方程组(1)的增广矩阵(4). 由定理4.1.2,我们可以对(1)的系数矩阵(3)施行一些初等变换而把它化为矩阵(6). 对增广矩阵(4)施行同样的初等变换,那么(4)化为以下形式的矩阵:

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(8)

与(7)相当的线性方程组是

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这里

是1,2,…,n 的一个全排列.

不全为零,

情形1,

由于方程组(8)可以由方程组(1)通过方程组的初等

变换以及交换未知量的位置而得到,所以由定理4.1.1,方

程组(8)与方程组(1)同解. 因此,要解方程组(1),

只需解方程组(8). 但方程组(8)是否有解以及有怎样

的解都容易看出.

这时方程组(8)无解,因为它的后m – r 个方程中

至少有一个无解. 因此方程组(1)也无解.

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全为零,

情形2,

当r = n 时,方程组(9)有唯一解,就是

这也是方程组(1)的唯一解.

这时方程组(8)方程组

(9)

同解.

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(10)

以任意一组数值

于是,给予未知量

,就得到(9)的一个解:

当r <n时,方程组(9)可以改写成

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任意选取,用这一方法可以得到(1)的无穷多解. 另一

方面,由于(9)的任一解都必须满足(10),所以(9)

的全部解,亦即(1)的全部解都可以用以上方法得出.

我们把未知量

可以

这也是(1)的一个解. 由于

叫做自由未知量,而把

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(10)叫做方程组(1)的一般解.

这样,线性方程组(1)有没有解,以及有怎样的解,都可以从矩阵(7)看出. 因此,我们完全可以就方程组(9)的增广矩阵来解这个方程组.

例2解线性方程组

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解:对增广矩阵

施行行初等变换,并且注意,我们是要把其中所含的系数

矩阵先化为(5),再化为(6)的形式. 由第一和第二行

分别减去第三行的5 倍和2 倍,然后把第三行换到第一行

的位置,得

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由第二行减去第三行的2倍,得

虽然我们还没有把增广矩阵化成(5)的形式,但已经

可看出,相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是

0 = 5

所以原方程无解.

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例3解线性方程组

解:这里的增广矩阵是

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把第一行的适当倍数加到其它各行,得

继续施行行初等变换,这一矩阵可以化为

这个矩阵本质上已有(5)的形式,这一点只要交换

矩阵的第二和第三两列就可以看出. 进一步由第一

行减去第二行的三倍,得出相当于(6)型的矩阵

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对应的线性方程组是

移到右边,作为自由未知数,得原方程组的一般解:

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