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第四章 线性方程组

第四章 线性方程组. 4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式. 4.1 消元法. 1. 内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别 2. 教学目的 : 会用消元法解线性方程组 3. 重点难点 : 线性方程组的消元解法. （ 1 ）. 前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组的方程个数和未知量相等 , 并且方程组的系数行列式不等于零 , 在这一章我们要讨论一般的线性方程组：.

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第四章 线性方程组

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Presentation Transcript

  1. 第四章 线性方程组 4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式

  2. 4.1 消元法 1.内容分布 4.1.1 线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别 2.教学目的: 会用消元法解线性方程组 3.重点难点: 线性方程组的消元解法

  3. （1） 前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组的方程个数和未知量相等,并且方程组的系数行列式不等于零,在这一章我们要讨论一般的线性方程组： 在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.

  4. （2） 从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量 ,即把 的系数化为0. 例1解线性方程组：

  5. 得到： 把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量 ，得到 为了计算的方便,把第一个方程乘以 -2 后,与第二个方程交换，得：

  6. 现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三个方程，得 再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得： 这样我们就求出方程组的解.

  7. 4.1.1 线性方程组的初等变换 以上例子,我们实际上做了这样的工作,那就是对方程组施行下面三种变换： ①交换两个方程的位置； ②用一个不等于零的数某一个方程； ③用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. 这三种变换叫作线性方程组的初等变换.易知 定理4.1.1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.

  8. 在上面的讨论中，我们看到在对方程组作初等变换时，在上面的讨论中，我们看到在对方程组作初等变换时， 只是对方程组的系数与常数项进行了运算，而未知数没有 参加运算，也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的 解完全决定于它的系数和常数项，因此在讨论线性方程组 时，主要是研究它的系数和常数项. 因而消元法的过程即 用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，来解决求解问题， 此可转用另一种形式表述.为此引入：

  9. 定义1由st个数 排成一个s行t 列的表 叫做这个矩阵的元素. 4.1.2矩阵的初等变换 叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵， 注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.当s=t时,称为方阵.

  10. （3） （4） 线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表： 系数矩阵 而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表： 增广矩阵

  11. 一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组. Note：线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的 . 定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： 1) 交换矩阵的两行（列） 2)(倍变换)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素； 3)(消法变换)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另 一行（列）,即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个 元素后加到另一行（列）的对应元素上.

  12. 显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出. 在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量,也就是说,把方程组的左端化简. 因此我们先来研究,利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.

  13. 先化为 然后，进一步化为 在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵

  14. (5) 定理4.1.2设A是一个 m 行n列的矩阵： 通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：

  15. （6） 这里 * 表示矩阵的元素，但不同位置上 的 * 表示的元素未必相同. 证 若是矩阵A的元素 都等于零，那么A已有（5）的形式 进而化为以下形式，

  16. 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数， 矩阵A化为 不等于零，必要时交换矩阵的行和列，可以使这个 设某一 元素位在矩阵的左上角. 若B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B已经

  17. 有(5)的形式. 设B 的后m– 1 行中有一个元素b不为零，把b换到第二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为 如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.

  18. 形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是 显然的. 只要把由第一，第二，…，第r– 1 行 分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二，…， 第r – 2行分别减去第r– 1行的适当倍数，等等. Note：1）定理结论中首次出现了矩阵在要求的允许变换下 的最简形式（标准形式），可明确步骤为两步，目的是程序 整齐，计算量较小，实际中做法不一；但必须注意在具体允 许变换下，最简形式是相应的. 2）在此要求仅作行初等变换和列的换法变换是因为与解方程 有关.

  19. (7) 4.1.3用消元法解线性方程组 考察方程组（1）的增广矩阵（4）. 由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）. 对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：

  20. （8） 与（7）相当的线性方程组是

  21. 这里 是1，2，…，n 的一个全排列. 不全为零， 情形1， 由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等 变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方 程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要解方程组（1）， 只需解方程组（8）. 但方程组（8）是否有解以及有怎样 的解都容易看出. 这时方程组（8）无解，因为它的后m – r 个方程中 至少有一个无解. 因此方程组（1）也无解.

  22. 全为零， 情形2， 当r = n 时，方程组（9）有唯一解，就是 这也是方程组（1）的唯一解. 这时方程组（8）方程组 (9) 同解.

  23. (10) 以任意一组数值 于是，给予未知量 ，就得到（9）的一个解： 当r <n时，方程组（9）可以改写成

  24. 任意选取，用这一方法可以得到（1）的无穷多解. 另一 方面，由于（9）的任一解都必须满足（10），所以（9） 的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得出. 我们把未知量 可以 这也是（1）的一个解. 由于 叫做自由未知量，而把

  25. （10）叫做方程组（1）的一般解. 这样，线性方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（7）看出. 因此，我们完全可以就方程组（9）的增广矩阵来解这个方程组. 例2解线性方程组

  26. 解：对增广矩阵 施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含的系数 矩阵先化为（5），再化为（6）的形式. 由第一和第二行 分别减去第三行的5 倍和2 倍，然后把第三行换到第一行 的位置，得

  27. 由第二行减去第三行的2倍，得 虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已经 可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是 0 = 5 所以原方程无解.

  28. 例3解线性方程组 解：这里的增广矩阵是

  29. 把第一行的适当倍数加到其它各行，得 继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为 这个矩阵本质上已有（5）的形式，这一点只要交换 矩阵的第二和第三两列就可以看出. 进一步由第一 行减去第二行的三倍，得出相当于（6）型的矩阵

  30. 对应的线性方程组是 把 移到右边,作为自由未知数,得原方程组的一般解：

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