第 6 章 气体动理论基础

1. 气体动理论和热力学篇 第6章 气体动理论基础 §6.1平衡态 温度 理想气体状态方程 §6.2 理想气体压强公式 §6.3 温度的统计解释 §6.4 能量均分定理 理想气体的内能 §6.5 麦克斯韦分子速率分布定律 *§6.6 玻尔兹曼分布律 §6.7 分子的平均碰撞次数和平均自由程 *§6.8 气体内的输运过程

2. §6.1平衡态 温度 理想气体状态方程 一、平衡态 1、热力学系统与外界 热力学系统：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观物体，也简称系统。 外界：系统以外的物体。 系统分类（按系统与外界交换特点）： 孤立系统：与外界既无能量又无物质交换 封闭系统：与外界只有能量交换而无物质交换 开放系统：与外界既有能量交换又有物质交换 平衡态系统 非平衡态系统 系统分类（按系统所处状态）：

3. 2、热平衡态与非平衡态 热平衡态: 在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。 平衡条件: (1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换； (2) 系统的宏观性质不随时间改变。 非平衡态: 不具备两个平衡条件之一的系统。 说明 • 平衡态是一种热动平衡 • 平衡态是一种理想状态

4. 3、热力学系统的描述 1. 宏观量——状态参量 平衡态下描述宏观属性的相互独立的物理量。 如 压强 p、体积 V、温度 T等。 2. 微观量 描述系统内个别微观粒子特征的物理量。 如分子的质量、 直径、速度、动量、能量等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。

5. 二、温度 态参量 p、V、T 中，T 是热学特有的物理量，需要在热学中加以定义。 实验表明： 若A与C热平衡 则A与B必然热平衡 B也与C热平衡 热平衡定律（热力学第零定律） “分别与第三个系统处于同一热平衡态的两个系统必然也处于热平衡。” 温度：处于同一热平衡态下的热力学系统所具有的共同的宏观性质。

6. 三、理想气体状态方程 理想气体：严格服从三条实验定律(玻意尔定律、查 理定律、盖—吕萨克定律)的一定质量的气体 注:常温、低压下许多实际气体可看作理想气体. 状态方程 (也称克拉珀龙方程)

7. §6.2理想气体压强公式 一、理想气体分子模型和统计假设 1.分子模型 （1）分子可当作质点，不占体积； 常温常压下气体分子间的平均距离约为本身直径的10倍以上 （2）分子之间除碰撞瞬间外，不计相互作用力； （3）分子之间的碰撞为完全弹性碰撞,能量和动量均守恒； 2.分子模型 （1）在无外场作用时，气体分子在各处的概念相同； （2）分子可以有各种不同的速度，速度取向在各方向是等概率；

8. dA x 斜柱体体积 二、理想气体压强公式 设第i组分子的速度在vi~vi+dvi区间内 以ni表示第i组分子的分子数密度 则总分子数密度为n=n1+n2+···+ni+··· 设器壁上面积dA 的法向为 x轴正向 一次碰撞中质量为m的单个分子的动量变化为2m vix ni vix dt dA 在dt 时间内与dA碰撞的分子数为 dt时间内传给dA 的冲量为

9. 考虑到撞向器壁和背离器壁dA的分子数各占一半,则考虑到撞向器壁和背离器壁dA的分子数各占一半,则 称为气体分子的平均平动动能

10. 压强的物理意义： 气体的压强是大量分子对器壁碰撞的统计平均效应.分子平均平动动能 及分子数密度 n 越大，则气体压强 p 越大. (如雨点打雨伞) 注意 1)n 太小或太大时，压强公式不成立; 2)理想气体压强公式是统计规律，而非力学规律.

11. §6.3 温度的统计解释 一、温度的统计解释 注意:1) T  0，(因温度为零时，物质不在运动); 2) 温度只具有统计意义，单个分子或少数分子无温度可言. 二、方均根速率 • 可见，在温度相同的情况下，分子质量大的气体，其方均根速率小.

12. §6.4 能量均分定理 理想气体的内能 研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，因为分子有平动动能，还有转动动能和振动动能存在. 一、自由度 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目. 1.单原子分子(质点): 3个 2.双原子刚性分子(不计振动): 5个 3.多原子刚性分子(刚体): 6个 二、能量均分定理 理想气体在绝对温度T的平衡状态下，分子所具有的平均动能(包括转动能和振动能)平均分配在每个自由度上，每个自由度的能量都是kT/2.

13. 注意：分子平均动能 不同于分子平均平动动能 . 1.单原子分子： (除平动能,还有转动能) 2.刚性双原子分子： • 理想气体分子的平均动能为: i 为分子的自由度数 刚性双原子分子 单原子分子

14. 三、理想气体的内能 E 理想气体的内能是所有分子平均动能的总和. (由于不计相互作用力，所以忽略了相互作用势能) • 结论:一定量理想气体的内能只是温度的单值函数. 推论： 1)理想气体内能的改变量与过程无关; 2)温度一定时，1摩尔任何单原子分子理想气体的内能都相同，均为3RT/2；双原子分子、多原子分子类推.

15. §6.5 麦克斯韦速率分布律 单个分子的速率是不可预知的，而大量分子的速率分布却遵循统计规律. 一、速率分布函数 气体在平衡状态下，某一速率区间内的分子数占总分子数的比例遵循统计规律，这一规律用函数表达就是速率分布函数 f (v) 设气体总分子数为N，速率区间v ~ v+dv，该速率区间内分子数为dN ，则 或 f(v)的物理意义 ：速率在v附近单位速率区间dv内的分子数dN占总分子数N的百分比.

16. f(v) T o v 二、麦克斯韦速率分布率 m ~分子质量，T ~气体的温度 麦克斯韦速率分布函数曲线： 速率在 v1到v2区间内的分子数N占总分子数N的百分比: 归一化条件: 速率在 0到的分子数占总分子数的百分比必为1

17. f(v) (T <T ’) T T ’ o v 2.平均速率 三、三种统计速率 1.最可几速率vp ( 最概然速率) 该速率的分子数最多. T一定,所有分子速率的算术平均值

18. 3.方均根速率 T一定,所有分子速率平方的平均值 例题:已知分子总数为N，速率分布函数为f(v)，求速率分布在v1~ v2区间内的分子的平均速率. 则平均速率 解:设v1~v2区间内的分子数为N,

19. f(v) Mmol相同 (T <T ’) T T ’ o v 四、麦克斯韦分布曲线的性质 1.温度与分子速率 T↑，vp↑，总概率为1， 则有： 分布曲线宽度↑，高度↓，曲线平缓，右移 2.质量与分子速率 T一定，Mmol ↑，vp↓，总概率为1，则有： 分布曲线宽度↓ ，高度↑ ，曲线陡峭，左移

20. §6.6 玻耳兹曼分布律 在麦克斯韦速度分布率中，有一因子 如果气体分子有势能 Ep= Ep( x，y，z )， 则总能量为 E = Ep+ Ek 1.微观状态： 一气体分子处于速度区间 vx ~ vx+dvx， vy ~ vy+dvy，vz ~ vz+dvz和位置区间 x ~ x+dx，y ~ y+dy，z ~z+dz，称该分子处于一种微观状态. 2.状态区间： dvx dvy dvz dxdydz 所限 定的区域称为状态区间.

21. 一、玻耳兹曼能量分布率 温度为T的平衡状态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间(dvx dvy dvz dxdydz)内的粒子数dN与该状态区间的一个粒子的能量E有关，而且与e -E /kT成正比 玻耳兹 曼因子 n0是势能EP=0处的分子数密度 • 物理意义 1.在能量E越大的状态区间内的粒子数越少； 2.随着能量的增大，大小相等的状态区间内的粒子数按指数规律迅速减小，即分子优先占据势能较低的状态.

22. n o z 二、重力场中的气体分子按高度分布规律 设Z轴为高度；z=0处EP=0, n0； 高度z 处的分子重力势能EP=mgz. 理论推导可知：气体分子数密度n随高度的变化规律为(近似) 设大气为理想气体，且不同高度处的温度相同，则 n0 • 在登山运动、航空飞行、地质考察中，常用此式根据大气压强的变化来估算高度.(实际温度也随高度变化)

23. 平均自由程: d d 平均碰撞频率: A d §6 .7 气体分子的平均自由程 一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程. 一个分子单位时间里受到的平均碰撞次数. 设分子A以平均相对速率 运动，其它分子可设为静止；在运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A相碰撞； 单位时间内A经过的圆柱体体积为：

24. 标准状态下 Z ~ 6.5  10 9s-1，  ~ 6.9  10 -8 m 则 统计理论可计算 平均自由程 对空气分子 平均 d ~ 3.5  10 -10 m 注意：气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。

25. *§6 .8 气体内的输运过程 输运现象 如果系统各部分的物理性质是不均匀的（例如流速、温度和密度等的不相同），则由于分子间的相互碰撞和相互搀和，各部分之间将产生动量、能量和质量的转移，这种现象称为气体的输运现象。

26. z O u 一．粘滞现象 1.粘滞现象：流动中的流体，当各层速度不同时，在相邻两层的接触面上将产生阻碍两层之间相对运动的等值反向的摩擦力，这种现象称为黏性现象。 2.粘滞现象的宏观规律

27. 3. 内摩擦现象的微观机制：由于分子的热运动，导致相邻两层的分子相互搀和与相互碰撞，使相邻两层之间产生动量净迁移，从而在两层分界面产生一对阻碍相对运动的力。

28. z dQ T O T1 T2 二．热传导现象 1.热传导现象：当物体各部分温度不同时，由于分子间的相互碰撞和相互馋和而使热量将从温度较高处向温度较低处传递，这种现象称为热传导现象。 2.热传导现象的宏观规律

29. 3. 热传导现象的微观机制：由于分子的热运动，使得不同部分的分子相互碰撞和搀和，由此导致分子热运动的能量从温度高处向温度低处输运，产生宏观上的热量传递。

30. z dM  O 1 2 三．扩散现象 1.扩散现象：当物体中密度不均匀时，由于分子的热运动使粒子从密度较大处向密度较小处迁移的现象，称为扩散现象。 2.扩散现象的宏观规律

31. 3. 扩散现象的微观机制：由于分子的热运动，使得不同部分的分子相互搀和，从而导致粒子从密度较大处向密度较小处迁移。

32. 小结指导 一、理想气体状态方程 二、压强和温度 P = nkT 平均平动动能 平均动能 三、理想气体的内能 四、三种统计速率 五、速率分布函数 六、平均自由程