Realizzazione di un lavoro didattico di formazione-informazione relativo alla parte finale del corso

1. – Progetto Docente – Applica le competenze acquisite Realizzazione di un lavoro didattico di formazione-informazione relativo alla parte finale del corso Applicazione di abilità e competenze nella costruzione di un percorso di Storia-Matematica-Astronomia e Fisica come conferma della validità del modello di e-learning 6-16 Novembre 2002

2. Obiettivi • L’obiettivo della presentazione riguarda l’applicazione delle abilità e competenze acquisite durante il corso mediante la costruzione di un percorso di comprensione relativo a un qualunque tema disciplinare come conferma della validità del modello di e-learning; • La ragione del perché si è scelto un percorso di Storia-Matematica-Astronomia e Fisica è la coerenza epistemologica che le quattro discipline mostrano di possedere nell’interpretazione culturale e pedagogica delle idee presenti nel tema; • Si è scelta come tematica le leggi di Keplero perché si è notato che è possibile sfruttare al meglio i mezzi informatici per realizzare, comprendere e visualizzare egregiamente le tematiche connesse con le quattro discipline (aspetto grafico, simbolico, iconico oltrechè testuale);

3. Le leggi di KEPLERO: Indice (Fai click sulle pergamene per vedere l’ animazione)

4. Le leggi empiriche di KepleroDiscipline coinvolte: Storia Matematica Astronomia Fisica A cura dei proff. Vincenzo Calabrò-Vincenzo Cennamo-Fernando Cogli

5. Sommario • Il problema generale delle Leggi di Keplero • Il problema storico • Il problema matematico • Il problema astronomico • Il problema fisico • Sintesi • Bibliografia

6. Il problema generale • Fin dai tempi più remoti i movimenti dei pianeti, coi loro vagabondaggi sullo sfondo del cielo stellato, hanno rappresentato un affascinante mistero per l’umanità • I volteggi di Marte erano i più sorprendenti La curvaa cappio descritta dal pianeta Marte sullo sfondo della Costellazione del Capricorno

7. 1a legge di Keplero o legge delle orbite Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi 1 Legge

8. Orbita ellittica

9. 2a legge di Keplero o legge delle aree Il segmento che collega un pianeta al Sole descrive (spazza) aree uguali in tempi uguali dA/dt=cost. 2 Legge

10. 3a legge di Keplero o legge dei periodi(*) Il quadrato del periodo di qualunque pianeta è proporzionale al cubo della sua distanza media dal Sole • T2= k r3 • (*) Chiamata anche legge armonica 3 Legge Approfondisci

11. Il problema matematico L’ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO Dati nel piano due punti F1 ed F2, si dice ellisse E il luogo geometrico dei punti P di  per cui è costante la somma delle distanze da F1 ed F2: E = (P\ PF1+PF2 = 2a; 2a>F1F2 ) I punti F1 ed F2 si dicono fuochi dell’ellisse

12. Equazione dell’ellisse Siano F1(c;0) ed F2(-c;0), con c0+, i fuochi e P(x;y) il punto generico dell’ellisse che verifica la condizione: PF1+PF2 = 2a (a0+) dovrà naturalmente risultare 2a>2c cioè a>c

13. Equazione canonica dell’ellisse L’equazione canonica dell’ellisse assume la forma: con a2-c2=b2

14. Proprietà dell’ellisse • L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi coordinati

15. Proprietà dell’ellisse La curva è compresa nel rettangolo delimitato dalle rette x=a, x=-a y=b, y=-b

16. Eccentricità Si definisce eccentricità dell’ellisse il rapporto e=c/a Essendo: b2=a2-c2cioè c2=a2-b2 con0<e<1

17. Il problema fisico • Fu quello di stabilire la “struttura fisica” delle leggi del moto dei pianeti cheorbitano intorno al Sole • Struttura fisica significa, qui, individuazione delle grandezze fisiche che intervengono nel fenomeno • Individuazione delle equazioni che regolano il moto, e del ruolo che queste ultime giocano nel processo di comprensione della stabilità dell’universo • Le grandezze fisiche in gioco sono: A, dA/dt, L, m, M, v, ω, p, T, r, G

18. Due ragioni del perché Kepleroscelse come orbita l’ellisse Keplero trascorse tanto tempo studiando, con i dati di Tycho, l’orbita di Marte, che rivelava essere tutt’altro che una circonferenza. Alcuni punti del cerchio non collimavano con i dati di Tycho: Keplero rilevò uno scostamento di 8’ di arco dalle osservazioni di Brahe. Keplero sapeva che Brahe era stato un osservatore troppo accurato per poter commettere un errore di 8’! Quindi….. 1

19. Due ragioni del perché Kepleroscelse come orbita l’ellisse L’ellisse è una sezione conica, il cui contorno è il risultato del taglio trasversale di un cono circolare. La forma di questo contorno dipende dall’ inclinazione del taglio rispetto alla base del cono. La forma ottenuta è circolare se, e solo se, il taglio viene effettuato parallelamente alla base del cono. Per Keplero ciò significava che la possibilità che un pianeta percorresse un’orbita circolare era praticamente nulla, cioè 1/∞! 2

20. Il moto di un pianeta • La figura mostra un pianeta dimassa m che si muove su un’orbita ellittica intorno al Sole che ha la massa M (M>>m)

21. La 2a legge in forma schematica

22. La 2a legge in termini qualitativi La 2a legge afferma che il pianeta si muove: • più lentamente quando è più lontano dal Sole (afelio) • più rapidamente quanto più è vicino al Sole (perielio)

23. Dal punto di vista dinamico L’area dello spicchio ombreggiato equivale quasi esattamente all’area coperta nel tempo t dal segmento r che congiunge il Sole al pianeta. L’area A dello spicchio è uguale all’area di un triangolo mistilineo con base l’arco s e altezza r: A=½base altezza=½sr=½(r)r≅½r2 Quest’espressione di A diventa sempre più esatta quando t , e con esso , tende a 0.

24. Durante l’intervallo t il raggio r ruota intorno a S di un angolo 

25. La rapidità istantanea (velocità areolare)Å=dA/dt con la quale viene descritta l’area è: Å=dA/dt=½r2d/dt=½r2 dove  è la velocità angolare del segmento rotante r che congiunge il pianeta al Sole.

26. Ecco l’aspetto vettoriale del moto • Il vettore p è la quantità di moto del pianeta • Il vettore L è il momento angolare del pianeta rispetto al Sole, cioè: L=rp=rmv L=rm(v sinθ)=rmv=rmωr=mr2ω Eliminando r2ω fra le due equazioni si ottiene: dA/dt=L/2m

27. Significato della 2a legge dA/dt=L/2m • Se il sistema è isolato L non varia e il secondo membro è costante. • Viceversa, se il secondo membro è costante, allora la velocità areolare è costante e vale la 2a legge di Keplero.

28. La 3a legge Consideriamo un’orbita circolare di raggio r: per la 2a legge di Newton:F=ma per pianeta in orbita. Sostituendo a F l’espressione della legge di gravitazioneF=GMm/r2 e all’accelerazione centripetaa=ω2r si ottiene:

29. quindi: (F) = m (a) (GMm/r2)=m (ω2r) Confrontando e sostituendo a ω=2/T, (con T periodo del moto) si avrà: T2=(42/GM)r3

30. Limiti di validità • I ragionamenti sono validi nel nostro caso solo se le orbite sono circolari ma le leggi sono universalmente valide anche per orbite ellittiche • La nostra dimostrazione è stata svolta nel caso di pianeti che ruotano intorno al Sole ma le leggi sono universali e valide in ogni rivoluzione planetaria o galattica • L’assunzione di base è che la massa M del Sole sia molto più grande della massa m del pianeta in modo tale che il cento di massa del sistema pianeta-Sole (M+m) sia praticamente al centro del Sole • Il sistema di riferimento è preso rispetto al Sole

31. L’esattezza delle tre leggi di Keplero Le leggi di Keplero sono state confermate sperimentalmente in modo irrefutabile. Ma ci vollero ancora più di 50 anni prima che se ne potessero conoscere anche le cause: si è dovuto aspettare Isaac Newton per avere il quadro completo della teoria meccanico-gravitazionale

32. Proposte di attività sperimentali per la costruzione di un’ellisse • Metodo della moneta obliqua • Metodo della deformazione del cerchio • Metodo del disco rotante in una teglia • Metodo dell’inviluppo delle tangenti • Metodo del filo teso • Metodo della torcia inclinata

33. 1. Ellisse = moneta obliqua

34. 2. Ellisse = deformazione di un cerchio Si avvolge un foglio di carta su una bottiglia e si traccia una circonferenza con un compasso. Distendendo il foglio si ha un’ellisse, la cui forma dipende: • dall’apertura del compasso • dal diametro della bottiglia cilindrica

35. 3. Ellisse = disco rotante in una teglia Si ha una teglia con un foglio da disegno incollato sul fondo. Un disco circolare di cartone, di diametro d=½D avente un foro non nel centro, si fa rotolare senza strisciare nella teglia. La punta nel foro disegna un’ellisse. La forma dipende: • dalla posizione del foro • dal diametro della teglia

36. 4. Ellisse = inviluppo delle tangenti Con un cerchio di carta si segna un punto (fuoco F) non nel centro (fuoco F’). Si piega il disco in modo che un punto del bordo coincida con il punto segnato. Ripetere l’operazione parecchie volte usando diversi punti del bordo.Si ottengono diverse piegature che sono le tangenti che inviluppano l’ellisse. La forma dipende: • dalla posizione del fuoco F • dal diametro del cerchio

37. 5. Ellisse = filo teso Si fissano due puntine su un’asticella di legno su cui vi è fissato un foglio. Si fa un anello di filo e si disegna l’ellisse tenendo teso il filo. La forma dipende: • distanza delle puntine • lunghezza del filo

38. 6. Ellisse = torcia elettrica inclinata Avvolgete attorno a una torcia elettrica un foglio di alluminio con un forellino di circa 0,5 cm. Dirigete sul piano il cono di luce uscente dal forellino. Se la torcia è perpendicolare al piano otterrete un cerchio. A mano a mano che inclinate la torcia, il cerchio si trasforma in un’ellisse. La forma dipende: • diametro del foro • distanza della torcia dal piano

39. LINKS • Gioca con Keplero • Animazione • Mappa teorie astronomiche 1 • Mappa teorie astronomiche 2 • Keplero: vita ed opere • Le leggi di Keplero • Keplero:la vita e e le opere • Simulazione (NASA)

40. Bibliografia minima • T.S.Kuhn, La rivoluzione copernicana, Torino, Einaudi, 1972; • L.Motz-J.H.Weaver, La storia della fisica, Bologna, Cappelli Editore, 1991; • D.Halliday-R.Resnik-J.Walker, Meccanica, Bologna, Zanichelli, 2001; • A.Braccesi, Una storia della fisica classica, Bologna, Zanichelli, 1992; • G.Gamow, Biografia della fisica, Milano, 1961;