FRAKTÁLY A NELINEÁRNA ANALÝZA ČASOVÝCH RADOV

1. FRAKTÁLY A NELINEÁRNA ANALÝZA ČASOVÝCH RADOV Mária Markošová

2. Fraktály Problém: Meranie dĺžky čínskeho múra Rôzne atlasy dávajú rôzne údaje , v rozpatí 2 - 8 tisíc km. Prečo? (Podobný problém je s pobrežím Nórska) - múr je nesúvislý, niektorí nezahrnuli medzery - niektorí nezahrnuli rozpadnuté časti - ……možné iné vysvetlenia Najpravdepodobnejšia odpoveď: Čínsky múr je fraktál

3. Problém merania “objemu” veľmi zložitých objektov Letecký pohľad na múr rôzne meradlá Pohľad zboku

4. “Objemom” 1-d objektu je jeho dĺžka - počet 1-d “kociek” o dĺžke l pokrývajúcich objekt, ktorý možno vnoriť do 1-d priestoru o veľkosti L

5. “Objemom” 2-d objektu je jeho plocha L l

6. D- dimenzionálny objekt Ak D je celé číslo, máme normálny objekt, ak D nie je celé číslo, máme fraktálny objekt, je fraktálna dimenzia objektu.

7. Príklady Kochova krivka n- iteračný krok

8. Čo vyjadruje fraktálna dimenzia? Fraktálna dimenzia vystihuje rozloženie objektu do priestoru: - ak je medzi 0 a 1, objekt sa sklada z “bodov” rozložených do línie (Cantorov prach) -ak je medzi 1 a 2, objekt sa skladá z 1-d štruktúr rozložených do plochy ( Kochova krivka) -ak je medzi 2 a 3, objekt sa skladá z plošných štruktúr rozložených do priestoru

9. Charakteristiky fraktálu (príklad: Kochova krivka) 1. Sebepodobnosť (aj štatistická) 2. Štruktúra na veľkom rozsahu škál 3. Objem rastie so zjemňovaním merania cez niekoľko rádov. Nech L je konšt. A d dimenzia priestoru vnorenia, potom Ak ,potom V(l)=konšt. Ak potom

10. log V(l) log 1/l

11. Typy fraktálov 1. Deterministické fraktály - tvorené determinist. pravidlom - jednoškálové (Kochova krivka, snehová vločka) - multiškálové (Dvojškálový Cantorov prach) - fraktálne funkcie (Weierstrass - Mandelbrotova) 2. Náhodné fraktály - tvorené nedeterminist. pravidlom 3. Zložené fraktály - zjednotenie viacerých podfraktálov 4. Multifraktály

12. Multifraktály Procesy, prebiehajúce na fraktálnych a nefraktálnych podložkách, vytvárajú stacionárne pravdepodobnostné distribúcie. Príklad: Koral je prírodný fraktál. Jeho rast je pravdepodobnejší na špičkách vetiev ako v pazuchách distribúcia pravdepodobnosti rastu Netriviálnu, zložitú pravdepodobnostnú distribúciu nazývame multifraktálom

13. 3 1 6 2 0 1 Príklad - multifraktál na intervale (0,1) 1. iteračný krok 2. Iteračný krok

14. Ako charakterizovať multifraktál? Ktoré oblasti najviacej prispievajú k celkovej pravdepodobnosti ak zjemňujeme meranie (teda zvyšujeme počet iteračných krokov n)? - stredná oblasť: ale je len jedna -oblastí s pravdepod. je mnoho, ale ich pravdepod. sa blíži k nule - najviac prispievajú oblasti, pre ktoré platí: je ich a tvoria subfraktál o fraktálnej dimenzii

15. q-ty moment pravdepodobnosti oblastí Ku q-tej mocnine pravdepodobnosti jednotlivých oblastí Cantorovej množiny rozhodujúco prispievajú oblasti , ktorých je a tvoria subfraktál o fraktálnej dimenzii . spektrum je jednou z charakteristík multifraktálu

16. Najpoužívanejšia charakteristika - Renyiho zovšeobecnené dimenzie - pravdepod. i-tej oblasti - fraktálna dimenzia - informačná dimenzia - korelačná dimenzia

17. Nelineárna analýza časových radov Dynamický systém: Je to systém, ktorého stav sa s časom mení. Je popísaný dynamickými rovnicami: - spojitý -diskrétny - vektor parametrov

18. Nelineárny dynamický systém: Ak sa na pravej strane dynamických rovníc vyskytujú aj nelineárne členy. Stavové veličiny dynamického systému: Menia sa s časom a určujú stav systému v danom okamihu: Stavový priestor: Priestor určený nezávislými stavovými veličinami.

19. Príklad Dynamické rovnice nelin. kyvadla stavový (fázový) priestor

20. Ak meriame len ako sa mení jedna veličina dynamického systému s časom, dostaneme časový rad, ktorý má pri nelin. dyn. systémoch komplikovanú (fraktálnu) štruktúru.

21. Fázový (stavový) priestor nelineárneho dynamického systému Pod analýzou nelin. dyn. systému rozumieme analýzu jeho stavového priestoru: -aká je jeho dimenzionalita -fixné body -periodické trajektórie -kváziperiodické trajektórie -chaotické, podivné atraktory

22. Fixné body atraktor repulzor

23. Periodické trajektórie periodický atraktor periodický repulzor

24. Chaotický atraktor: má vo fázovom priestore multifraktálny charakter a dá sa popísať pomocou spektra zovšeobecnených dimenzií Typ atraktora je invariantný voči zmene súradníc

25. Vlastnosti chaotického atraktora Statické: Multifraktálna štruktúra Dynamické: 1.Všetky trajektórie vo fázovom (stavovom) priestore ) v okolí atraktora k nemu konvergujú. 2. Vnútri atraktora sa pamäť o počiatočnom stave systému rýchlo stráca (Lyapunove exponenty)

26. Nelineárna analýza časových radov Cieľ: -Zrekonštruovať atraktor z merania jednej jeho komponenty v čase (Takensova veta) -Analyzovať dynamický systém: nájsť spektrum zovšeobecnených dimenzií, napr.

27. Čo hovorí Takensova veta? V podstate to, že z časového priebehu jednej komponenty deterministického dynamického systému možno tento systém zrekonštruovať. Príklad: Pohyb bodu po kružnici dynamické rovnice

28. y A x Stavový (fázový) priestor a atraktor Stav systému v čase t je určený bodom

29. x t Nech z merania poznáme len časový priebeh x(t) - časový rad

30. Ako z časového radu zrekonštruovať pôvodný atraktor? - stav systému v čase t Pôvodný atraktor zrekonštruujeme s využitím časovo posunutej x – ovej komponenty podstata Takensovej vety

31. x(t) Čo urobí plot ? m=2 Problémy: voľba posunu skreslenie atraktora dim. priestoru vnorenia m a m : parametre rekonštrukcie

32. Problém priestoru vnorenia –pojem typickosti 1. Máme v rovine dve priamky V typickom prípade sa pretínaju vjednom bode. Ak sa dve priamky typicky nemajú pretínať, musia byť vnorené do 3d priestoru.

33. Máme 1d objekt v 3d priestore, nech nemá žiaden priesek samého so sebou. Je možné ho v typickom prípade vnoriť do 2d priestoru a zachovať jeho topologické vlastnosti (t.j. žiaden priesek samého so sebou)? Nie! Aby sme dostali topologicky ekvivalentný výsledok, priestor vnorenia musí byť minimálne 2d+1, ak d je dimenziou objektu.

34. Čo to znamená pre rekonštrukciu atraktora ? • volíme 2d+1 časovo posunutých súradníc v časovom rade: • , , , …, • skonštruujeme 2d+1 rozmerný stavový priestor • zrekonštruujeme atraktor z časového radu • spočítame jeho spektrum zovšeobecnených dimenzií

35. Ako hľadať dimenziu priestoru vnorenia? • Metóda falošných susedov: • Predpokladáme, že je minimálna dimenzia priestoru vnorenia. • Teda susedia bodu v skutočnom atraktore sa namapujú do susedných bodov tohto bodu v zrekonštruovanom atraktore a topologická štruktúra sa zachová. • Susedia susedov sa opať mapujú do ich blízkosti. • Ak , potom sa k bodu mapujú aj falošní susedia. • Algoritmus: • -zvolíme m a zrekonštruujeme atraktor • - pre každý bod nájdeme najbližšieho suseda a spočítame vzdialenosť • -iterujeme oba body v a počítame pomer ich novej a povodnej vzdialenosti

36. Zlomok falošných susedov 1 2 3 4 d • ak je zlomok bodov, pre ktorý je tento pomer veľký, musíme zvoliť ešte vačšie m • tento zlomok by mal klesať s rastúcim m m=2

37. Problém voľby posunu v čase je velmi malé – lineárna závislosť a , atraktor sa nerozvinie je veľmi veľké – skreslenie, zašumenie atraktora

38. Ako zvoliť správny časový posun? -existuje množstvo metód voľby časového posunu -najčastejšie používaná metóda: interval poklesu autokorelačnej funkcie na polovicu Ak potom

39. Iné metódy hľadania 1. Vzájomná informácia Pravdepodobnosť, že pozorovaná hodnota je v i-tom intervale a pozorovaná hodnota o vzdialená je v j-tom intervale. Pravdepodobnosť, že hodnota časového radu je v i-tom intervale. Ak S má minimum, t=

40. Lorenzov dynamický systém , r, b sú parametre

41. x(t) t 1 0.5 1 2 3 dimenzia vnorenia zlomok fal. susedov