第四章
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第四章. 功 与 能. 动能定理. F. F. 1. a. mv 2. 2. a. A. =. F. r. cos. Δ. r. Δ. E k =. =. F. r. Δ. § 1 、. 一、动能 E k. 单位: J. 状态量、标量。. 二、功 A. 单位: J. 1. 恒力的功. 过程量、标量。. 功是力的空间累积效应. 示功图. F cos a. F. o. s. s. s. 1. 2. d s. d A. a. d r. F. a. =. F. d s.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


6924569

第四章

功 与 能


6924569

动能定理

F

F

1

a

mv2

2

a

A

=

F

r

cos

Δ

r

Δ

Ek =

=

F

r

Δ

.

§1、

一、动能 Ek

单位:J

状态量、标量。

二、功 A

单位:J

1. 恒力的功

过程量、标量。

功是力的空间累积效应


6924569

示功图

F cosa

F

o

s

s

s

1

2

ds

dA

a

dr

F

a

=

F

ds

cos

.

.

F

d

r

F

ds

=

=

.

ò

F

cos

a

ds

ò

A

=

F

dr

=

2. 变力的功

取ds足够小,在这段位移内

力的变化可略,即 F 恒定。

元功:

寻找: F = f1(s), a = f2(s).


6924569

又:

F

Fx

i

Fy

j

Fz

+

=

+

k

而:

dr

=

dx

i

+

d

y

j

+

dz

k

=

Fx

dx

+

Fy

dy

+

Fz

dz

.

dA

F

dr

=

ò

ò

ò

ò

ò

ò

dx

dx

+

+

Fy

Fy

=

=

Fx

Fx

dy

dy

+

+

Fz

Fz

dz

dz

.

A

ò

=

F

dr

F

cos

a

ds

ò

=

.

ò

A

=

F

dr

合力的功等于各分力功之和。


6924569

功的几何意义:

示功图

F (s)

s

2

ò

A

=

F (s) ds

s

1

F

o

s

s

s

1

2

ds

Δ

A

N

=

平均功率:

Δ

t

.

F

A

dA

dr

Δ

lim

N

=

=

=

瞬时功率:

dt

t

dt

Δ

t

Δ

0

.

F

=

v

功在数值上等于示

功图曲线下的面积。

3. 功率


6924569

三、动能定理

mv dv

m ds

Ftds

matds

ò

ò

ò

ò

=

=

=

=

dv

dt

a

1

1

dr

=

m

v

m

v

2

2

2

2

F

0

= Ek2 Ek1 = ΔEk

A = ΔEk

F

cos

a

ds

ò

=

.

ò

A

=

F

dr

合力的功 =力的作用前后动能的增量

功是能量交换、变化的一种量度,

功是过程量,与能量变化的结果相联系。


6924569

如图,当质点从 A 点沿逆时针方向走过 3/4 圆周到达 B 点,重力作多少功?

解:

B

R

A

·

ò

ò

dx

+

Fy

=

Fx

dy

B

B

·

A

A

A

B

.

A

ò

=

F

dr

ò

dy

=

Fy

A

[例1]

=-mgR


6924569

T

H

= ò(m - kh )g dh

0

1

m’g

= mgH - kgH2

2

从 H深的井中把 m kg 的水

匀速地提上来。但每升高 1m,漏水 k kg,把水提到井口,作功为多少?

[例2]

解:

∵匀速∴T = m’g

A = ò Tdh


6924569

§2、

势能

y

a

dr

b

y

y

.

dA

G

dr

=

a

b

G

(

m

g

j

)

i

d

y

j

)

.

(

d

x

=

+

o

x

mg

dy

=

A

mg

dy

(

m

y

m

y

)

ò

g

g

=

=

b

a

.

A

G

dr

0

ò

=

=

一、保守力的功

1. 重力的功

若物体从a出发经任意路径回到a点,则有:

在重力场中,物体沿任意闭合路径一周,

重力所作的功为零。


6924569

.

F

ds

0

=

或:若

ò

:沿任意闭合路径积分.

ò

保守力的定义:

若F 对物体所作的功决定于始末位置而与路径无关,则称 F 为保守力。

则 F为保守力。

由动能定理A = DEk

得到: 功是能量交换、变化的一种量度,

而保守力所作的功只取决于始末位置,说明该能量只与位置有关,称为位能即势能。


6924569

A保

=

DE

p

A保

=

(

mg

y

mg

y

)

b

a

=

(

E

E

)

pb

pa

=

E

Δ

p

.

A

G

dr

0

ò

=

=

∴ 只有保守力才能引入势能的概念。

∴ 重力是保守力

保守力的功等于系统势能增量的负值。


6924569

弹簧

自然长度

F

o

x

x

F

=

kx

dA

F

dx

kx

dx

=

=

x

ò

b

A

kx

dx

=

1

1

x

A保

(

)

=

kx

2

kx

2

a

a

2

2

b

.

A

1

F弹

dr

0

ò

(

E

E

)

E

=

=

=

Δ

=

2

Epa = kx

p

pb

pa

2

a

2.弹性力的功

∴ 弹性力是保守力


6924569

3. 万有引力的功

b

r

b

dr

.

太阳

dr

dA

F

dr

=

θ

Mm

m

.

.

r

dr

r

=

G

F

r

地球

3

M

r

a

a

Mm

r dr

=

G

r

r dr

3

r

GMm

GMm

dr

(

)

(

)

A

=

G

Mm

=

ò

b

r

r

r

= r dr cosq

r

2

b

a

a

.

A

F万

dr

0

ò

=

=

= r dr

∴ 万有引力是保守力


6924569

GMm

GMm

(

)

(

)

(

)

=

=

E

E

A保

r

r

pb

pa

b

a

A保

=

DE

p

GMm

E

=

r

pa

a

E

=

Δ

p

则:a点的势能为:

保守力所的功 = 系统势能增量的负值。


6924569

.

b

F

dr

ò

=

(

E

E

)

.

.

.

b

b

(0)

A保

pb

pa

a

E

E

E

F

F

F

dr

dr

dr

ò

ò

ò

=

=

=

pa

pa

pa

a

a

a

+ Epb

=

E

Δ

p

若取 Epb = 0

则 a点的势能为:

物体在a 点的势能等于将物体从该点移到

零势能处保守力所作的功。


6924569

讨论:

1. 势能为系统所有。

2.保守力才有势能的概念。

3. 势能是物体位置的单值函数。


6924569

二、

A

F

=

F

A

+

+

F

A

F

A

+

+

A

F

+

+

A

F

=

A

+

A

+

A

非保内

非保内

保内

保内

= Ekb- Eka

非保内

保内

(

)

A

=

E

E

pb

pa

保内

功能原理

质点的动能定理:

A = Ekb- Eka

将动能定理推广到质点系 :


6924569

(

)

A

=

E

E

pb

pa

保内

(

A

+

A

E

E

)

= Ekb- Eka

pb

pa

非保内

A

+

A

非保内

A

+

A

+

A

(

= Ekb- Eka

)

(

)

=

E

+

E

E

+

E

非保内

保内

pb

ka

pa

kb

= DE

A

+

A

非保内

= DE

系统的功能原理:


6924569

机械能守恒定律

(

)

(

)

A

+

A

=

E

+

E

E

+

E

pb

ka

pa

kb

非保内

若:

A

+

A

=

0

非保内

则:

E

+

E

E

+

E

C

=

=

pb

pa

ka

kb

§3、

一、机械能守恒定律:

或: DEk + DEp = 0

动能和势能之间可相互相转换,但总量不变。

机械能守恒定律 : 如果一个系统只有保

守内力作功,则系统的总机械能保持不变。

或:如果外力和非保守内力所的功之和为零,则系统的总机械能保持不变。 


6924569

(孤立系统)

二、能量守恒定律

A = DEk

A

+

A

+

A

=

非保内

保内

找到

D

A

=

E

p

保内

A

+

A

=

DE + DE

k

p

非保内

由动能定理A = DEk

A、功是能量交换、变化的一种量度,

功是过程量,与能量变化的结果相联系。

通过对力和功的分解

B、无功则能量不生不灭,但能互相转换 。


6924569

A

= DU +

DE + DE

可得

k

p

A

+

A

=

DE + DE

k

p

非保内

应能找到 A非保内 = - DU

则:当 A外= 0时(系统不与外界交换能量)

得: DU +DEk + DEp = 0

即: U + Ek + Ep = 常量

得:孤立系统各能量之间可相互相转换

但总量不变。


6924569

重力势能  Ep = mgh

1

1

1

1

2

弹性势能

2

2

2

2

弹簧自然长度

弹簧平衡长度

弹簧任意长度

o

m

m

x0

x0

x

x

q

2

2

Ek0+ kx - mgx0sinq

= Ek+ kx - mgxsinq

0

1

2

2

Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx

Ep = kx

2

0

f0 = - kx0 = - mg sinq

取弹簧原长位置为

零势能位置

设:弹簧为任意位置物体的动能为 Ek

求:弹簧为平衡位置物体的动能为 Ek0

∵只有保守内力作功 ∴机械能守恒


6924569

1

1

1

2

2

2

弹簧任意长度

o

m

x0

x

q

x

2

2

Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx

0

Ek 0 = Ek + k (x–x0 )

2

x–x0 :离开平衡位置位移

Ek 0 = Ek + Ep弹

注意:式中无重力势能项.

若 将弹簧的平衡位置设为坐标原点和零

势能点,机械能守恒式中不再有重力势能项。

重力势能隐含于弹性势能中。


6924569

设地球半径为R。一质量为m的

物体,从静止开始在距地面 R 处自由下落。

求:它到达地球表面时的速度。

GMm

m

解:

=

E

pa

2

R

a

GMm

R

E

=

b

pb

R

地球

R

M

GMm

GMm

1

mv

2

0

=

+

+

2

R

R

2

GM

v

=

R

[例1]

由机械能守恒定律:


6924569

设两个粒子之间相互作用力为排斥力,

其大小与它们之间的距离r的函数关系为:

f = k/r4,试求两个粒子相距为 r 时的

势能(设相互作用为零的地方势能为零)。

解:

.

E

f

dr

ò

=

p

r

1

dr

kr -3

kr -4

ò

=

=

3

r

k

=

3r3

r

[例2]

当 r →∞时, f = 0


6924569

如图,已知:M、m、h、 m = 0 ,试求:由静止开始从 a1运动到 a2 时小车的速率。

2

2

=

2

s

+

h

l

d

s

d

l

s

=

l

d

l

d

H

d

t

d

t

=

v =

d

t

d

t

s

V

s

d

s

=

mgH = mv2+ MV2

l

h

l

d

t

a

M

M

H = -

1

1

h

h

v

m

2

2

sina2

sina1

H

m

[例3]

解:

∵m = 0 ∴ DE = 0

= cosa2·V

……


6924569

v

k

V

∵ SF = 0

M

m

∴ DP = 0

12

12

12

MV2

mv2

kx2

= +

如图所示,质量为 m 与 M 的两木块,与弹簧接触,现用两木块将弹簧压缩 l 距离然后由静止释放, 求两木块的最大动能。

[例4]

解:

∵只有弹力作功 ∴ DE = 0

mv + MV = 0

……


6924569

v10

v20

v1

v2

F1

F2

∵ SF = 0 ∴ DP = 0

m1

m2

m1

m2

碰撞期间

m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20

、碰撞

(极为短暂时间的相互作用)

§4

选择系统,使 F冲力为内力,其他力均可略

即:碰撞期间动量守恒

解方程缺条件


6924569

m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20

( m1+ m2)v = m1v10 + m2v20

分类:

弹性碰撞DEk = 0

非弹性碰撞 DEk<0

完全非弹性碰撞 DEk<0

碰撞后物体一起运动

即:弹性碰撞

DEk = 0

完全非弹性碰撞


6924569

已知子弹质量是m,木块质量是M,弹簧的倔强系数是k,子弹射入木块后,弹簧被压缩的距离为 s ,求子弹的速度。

设木块与平面间的滑动摩擦系数为m。

[例1]

-m(m+M )gs = ks2 - (m+M )V2

∴Dp = 0

M

1

1

v

2

2

m

A

+

A

= DE

非保内

解:

∵ m和M碰撞

∵有摩擦

∴用功能原理

mv = (m+M )V


6924569

p129-4-10质量为m1 和m2 的物体同倔强系数为k 的弹簧连结,安放在光滑的水平面上,弹簧开始处在自由长度。现有一质量为m3 的子弹以速度v 沿弹簧长度方向水平射入m1 物体内,求弹簧最大压缩量。

m2

m1

v

m3

∴Dp1 = 0

∴Dp2 = 0

以后∵ SF外= 0

[例2]

解:

∵ m1 和m3 碰撞

m3v = (m1+ m3)v1

∵有弹簧

∴DE2 = 0

弹簧最大压缩时,物体速度相同


6924569

m2

m1

v

1

1

1

2

2

2

(m1+m3)v1 = (m1+m2+m3)v2+ kx

m3

2

2

2

1

x = m3v [ — ]

2

1

1

k (m1+m2+m3)

k (m1+m3)

m3v = (m1+ m3)v1

(m1+ m3)v1 = (m1+ m2 + m3)v2


6924569

F

B

A

[ 3]

F ≠ 0

M = 0 ,

DL = 0

L = r mv

LA = LB , EkA < EkB

[ E ]


6924569

.

F

ds

0

=

.

(0)

A保

E

F

dr

ò

=

pa

a

若:

若:

A

+

A

=

0

非保内

则:

E

+

E

E

+

E

C

=

=

pb

pa

ka

kb

= DE

=

E

Δ

p

(

)

(

)

A

+

A

=

E

+

E

E

+

E

ò

pb

ka

pa

kb

非保内

保守力的定义:

则称 F为保守力。

则 a点的势能为:

系统的功能原理:


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