Il progetto dei regolatori

1. Il progetto dei regolatori Ing. Giuseppe Fedele Dip. Elettronica, Informatica e Sistemistica Università degli Studi della Calabria Email: fedele@si.deis.unical.it

2. R(s) E(s) U(s) C(s) G(s) Y(s) + - H(s) Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare delle specifiche assegnate nel dominio del tempo e della frequenza: precisione stabilità velocità di risposta

3. precisione • errori a regime in risposta ai segnali tipici • sensibilità ai disturbi additivi e parametrici Intesa in senso lato di “comportamento dinamico soddisfacente” in quanto la stabilità in senso stretto è sempre sottintesa stabilità • massima sovraelongazione nella risposta al gradino • picco di risonanza • margini di ampiezza e di fase • coefficiente di smorzamento dei poli dominanti velocità di risposta • tempo di ritardo • tempo di salita • tempo di assestamento • banda passante

4. Alcune specifiche sono relative alla risposta a segnali tipici, altri alla risposta armonica; molti dell’uno e dell’altro sono, grosso modo, equivalenti. L’unico modo per porre in relazione, sia pure in modo approssimato, i parametri che riguardano la risposta armonica e quelli che riguardano la risposta a un segnale tipico è ipotizzare che il sistema in retroazione si comporti approssimativamente come un sistema del secondo ordine o comunque abbia un numero limitato di poli dominanti.

5. R(s) E(s) U(s) K G(s) Y(s) + - H(s) Errore a regime E’ un indice di quanto la risposta a regime si discosta dal valore desiderato. Ma:

6. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - H(s) Errore a regime Da un punto di vista teorico l’obiettivo non può essere mai raggiunto. Infatti se per assurdo E(s)=0, allora Y(s)=G(s)E(s)=0 e H(s)Y(s)=0. Per cui E(s)=R(s)-H(s)Y(s)=R(s) contro l’ipotesi che E(s)=0.

7. Margini di stabilità Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso. Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato.

8. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - H(s) Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di fase L’angolo che manca alla fase della funzione d’anello per raggiungere π in corrispondenza della pulsazione di cross-over, cioè della pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario. Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

9. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - H(s) Rappresenta di quanto l’ordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω) sta al di sotto dell’asse ωin corrispondenza della pulsazione . Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di guadagno Il sistema è stabile

10. Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

11. CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over , per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π. Criterio di stabilità di Bode

12. Coefficienti di sensibilità Variazioni parametriche su G

13. Coefficienti di sensibilità Variazioni parametriche su H

14. Funzione di sensibilità

15. 1 Sistama PASSA-BASSO Attenua tutte le sinusoidi con ; lascia invariate quelle con . 2 Sistama PASSA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con e . 3 Sistama ARRESTA-BANDA Attenua tutte le sinusoidi con . Banda passante Dai diagrammi di Bode dei moduli, abbiamo visto tipologie di sistemi come: 1 2 3

16. Banda passante Si definisce LARGHEZZA DI BANDA l’intervallo di frequenze in cui il modulo della funzione di trasferimento ad anello chiuso non è mai inferiore a 3db del valore che esso assume quando ω=0 rad/sec.

17. La retroazione aumenta la larghezza di banda (ma diminuisce il guadagno a centro banda). Osservazione:

19. Banda passante e coefficiente di smorzamento L’unica soluzione accettabile è quella positiva.

20. Banda passante e coefficiente di smorzamento La banda passante è dunque proporzionale alla pulsazione naturale ed è funzione del coefficiente di smorzamento. Diminuisce all’aumentare del coefficiente di smorzamento.

21. Banda passante e tempo di salita Abbiamo già visto che il tempo di salita aumenta all’aumentare del coefficiente di smorzamento: Esiste quindi un certo legame tra la banda passante e la prontezza del sistema (intesa come tempo di salita). Più la banda passante del sistema è grande, più il sistema è pronto (cioè i tempi di salita sono piccoli). Esiste una relazione empirica tra tempo di salita e banda passante:

22. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Abbiamo visto che: Pulsazione di risonanza Picco di risonanza Un picco di risonanza elevato, indica la presenza di una coppia di poli dominanti, a ciclo chiuso, con un basso coefficiente di smorzamento, che potrebbero generare una risposta transitoria non desiderata.

23. Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità

24. Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Altrimenti non inseguirei il segnale di ingresso. Un buon margine di ampiezza assicura un buon coefficiente di smorzamento.

25. Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Un buon margine di fase assicura un buon coefficiente di smorzamento.

26. Correlazione tra coefficiente di smorzamento e margini di stabilità Margini di stabilità piccoli W(iω) ha un massimo

27. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema del secondo ordine La funzione di trasferimento G(s) assume modulo unitario in corrispondenza della pulsazione In corrispondenza di tale pulsazione, la fase vale Quindi il margine di fase del sistema è

28. Correlazione tra risposta transitoria al gradino e risposta in frequenza per un sistema del secondo ordine

29. Cancellazione SI/NO? Non si può mai cancellare un polo instabile!!!

30. Reti correttrici Quando il progettista deve soddisfare le specifiche assegnate, deve modificare la configurazione del sistema introducendo, in punti opportuni della catena, reti elettriche di tipo passivo o attivo al fine di migliorare le prestazioni statiche e dinamiche del sistema.

31. Rete ritardatrice

32. Rete ritardatrice

33. Rete ritardatrice Posto: Viene prima il polo e poi lo zero.

34. Rete ritardatrice Attenuazione alle alte frequenze con sfasamento, praticamente trascurabile Effetto utile:

35. Per simmetria è centrale rispetto a e , ma poiché la scala è logaritmica: Rete ritardatrice

36. Rete ritardatrice

37. Rete ritardatrice Il massimo ritardo di fase che si può ottenere dalla rete è l’angolo che la tangente al cerchio forma con l’asse reale:

38. Rete ritardatrice Lo stesso risultato si ottiene anche per via analitica:

39. Rete ritardatrice Il progetto della rete ritardatrice può praticamente essere eseguito imponendo l’attraversamento ad una pulsazione desiderata senza alterare di troppo la fase. Tuning pratico della rete • Dai diagrammi di Bode della fdt di anello L(iω) si calcola la pulsazione ω* a cui corrisponde un margine di fase pari al margine di fase desiderato (φm*), aumentato di un margine di sicurezza (5-10°) per compensare le approssimazioni • La rete deve far sì che a questa pulsazione il guadagno d’anello diventi unitario e quindi si impone che il fattore di attenuazione introdotto sia • Affinché lo sfasamento della rete non influenzi in modo apprezzabile la pulsazione di attraversamento, si pone • Si ricava

40. Rete ritardatrice Se mettessi lo zero della rete proprio nel punto in cui voglio avere la nuova intersezione, lo sfasamento introdotto dalla rete peggiorerebbe il margine di fase. Posso però spostare lo zero una decade prima del punto che ho scelto in modo che lo sfasamento intervenga prima. Osservazioni:

41. Rete ritardatrice Osservazioni: L’inconveniente della rete è la riduzione del guadagno alle alte frequenze, cioè della larghezza di banda che si traduce in una risposta transitoria meno pronta.

42. Rete ritardatrice Formule di inversione L’obiettivo è identificare delle formule per il progetto dei gradi di libertà al fine di assegnare una certa pulsazione di attraversamento e un certo margine di fase desiderati. Dati valori desiderati identificare delle formule per trovare i parametri (α,τ) della rete che alla pulsazione ω= ωc* attenui di M* e sfasi di φ*.

43. Rete ritardatrice Formule di inversione

44. Rete ritardatrice Formule di inversione Mentre è facile verificare che il range dei parametri garantisce α<1 e τ>0, per avere α>0, occorre che M*<cos φ*, infatti:

45. Rete ritardatrice Formule di inversione

46. Rete ritardatrice Formule di inversione • Dati del problema • funzione d’anello L(s) • pulsazione di attraversamento desiderata ωc* e margine di fase desiderato φm* Algoritmo per il progetto della rete ritardatrice Step1: Calcolare Step2: Calcolare verificando Step3: Calcolare (α,τ) mediante le formule di inversione.

47. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - Esempio (Rete ritardatrice) • Determinare il valore di K ed i parametri di una rete ritardatrice da inserire in modo da soddisfare le seguenti specifiche: • Errore a regime al gradino unitario minore del 1% • Margine di fase di circa 45°

48. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - Esempio (Rete ritardatrice)

49. Esempio (Rete ritardatrice) Verifichiamo la stabilità al variare di K

50. Esempio (Rete ritardatrice)