當力只與位置有關時的運動方程式
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當力只與位置有關時的運動方程式. 簡諧運動. Simple Harmonic Motion. 任一個周期運動,在平衡點附近,都是簡諧運動!. 一個簡諧運動,有一個內在的振動頻率!. F ( x ). x. 正力為排斥力,力為負則為吸引力. 摩擦力的根源是原子力或分子力. 原子力是由電磁力產生. 電偶極. + + +. - - -. + + +. - - -. 感應形成電荷分布不均. 原子力 Lennard-Jones. 與萬有引力定律不同,此式只是一個近似!. 在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。.

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當力只與位置有關時的運動方程式

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Presentation Transcript


當力只與位置有關時的運動方程式


簡諧運動

Simple Harmonic Motion

任一個周期運動,在平衡點附近,都是簡諧運動!

一個簡諧運動,有一個內在的振動頻率!


F(x)

x

正力為排斥力,力為負則為吸引力

摩擦力的根源是原子力或分子力


原子力是由電磁力產生


電偶極

+

+

+

-

-

-

+

+

+

-

-

-

感應形成電荷分布不均


原子力 Lennard-Jones

與萬有引力定律不同,此式只是一個近似!


在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

力與距平衡點的位移成正比,即簡諧運動!


簡諧運動

一個簡諧運動,只由一個常數決定!


簡諧運動

找到兩個解


定理

如果已找到兩個函數

都滿足方程式

那麼任一線性組合

也滿足該齊次方程式!

得證


簡諧運動的解

正弦函數與餘弦函數的兩次微分都和負的自己成正比!

很容易找到兩個解

也是解!

那麼任一線性組合

a,b由起始條件決定

這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件,因此是唯一的解!

不用再找了!


較容易明瞭的表示式


xm及ω的物理意義:振幅及角頻率。

xm振幅是振動的極大值


週期函數

角頻率


xm及ω的物理意義:振幅及角頻率。


動畫 Simulation


一個簡諧運動,有一個內在的振動頻率!


假想圓是一個很好的工具,但不是真的有一個圓!

簡諧運動中的每一個階段對應圓周運動中到達的角-----相角 Phase


http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102


相角 ϕ的物理意義,假想圓上的出發角度。

動畫 Simulation


第一個震盪比第二個震盪領先相角120°


不是只有彈簧才是簡諧運動!

小角度近似:


電磁震盪


RLC電路


原子力 Lennard-Jones


在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

力與距平衡點的位移成正比,即簡諧運動!

彈力常數即是通過平衡點的切線斜率!


5Q

Q

q

Q

5Q

任何一個在平衡點附近的小規模運動都是簡諧運動!

F

45°


60゜

45゜

M2

M1


許多物體的震盪也是簡諧運動

所以也可以用同樣的這些名詞,如振幅、周期、相角來描述!


鋼條的震動


鋼條的震盪不只一種:扭曲!


有些震盪是非常扭曲複雜的!


震盪模式有很多種:

不同模式周期不同


物體的振動

http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E&NR=1


為什麼稱為簡諧運動?

任一和諧(週期)函數可以寫成一系列簡諧運動函數的疊加。

Fourier Series


Damped Oscillation 阻尼震盪

阻力項大致與彈力項相差90°相角。

動畫 Simulation


振幅呈現指數衰減!


指數遞減


http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124


阻尼可以大到連一次震盪都未完成!


101五十噸的阻尼球


若想使彈簧繼續震盪,必須施以一周期性的外力。


http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm


風吹或地震對101即是外力!


電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。


外力下的震盪 Forced Oscillation

週期外力的角頻率

彈簧內在的角頻率


之前的解

一個解

代入運方左邊等於零


猜測

因為它的兩次微分還是正比於同樣的正弦函數!

代入

得到一個解

彈簧的反應依然是簡諧運動,但周期是施力的周期,而不是彈簧的自然周期!

但振幅的大小卻與施力週期密切相關:

共振 Resonance

施力的頻率愈接近彈簧的自然頻率,反應愈強,能量的輸入愈好。


加上一個

調整xs中的 a,b 以滿足起始條件

這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件,因此是唯一的解!

不用再找了!


Forced Oscillation

與外力的振幅成正比

以外力的頻率來震盪,而不是彈簧的自然頻率!

外力頻率越接近彈簧的自然頻率,震動也就越大!

追求物理學三大定律


施力週期越接近自然周期,彈簧的反應越大!

共振 Resonance


考慮摩擦阻力後

共振曲線的寬度與阻力大小成正比


共振曲線的寬度與阻力大小成正比


物理教科書上出現最多的一個圖形。


http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm


模擬

http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124


實際影片

http://techtv.mit.edu/collections/physicsdemos/videos/769-mit-physics-demo----driven-mechanical-oscillator


建築與物體必須避免其自然周期與外力的施力週期接近的狀況。

地面因地震而震盪


但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


Tacoma Narrows Bridge


Takoma Bridge


http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs


吸收


彈簧的能量守恆


守恆量


量子彈簧

e

一個彈簧的起始條件包含確定的位置與速度

量子彈簧上的粒子,位置與動量是無法同時確定的!


量子彈簧

e

量子彈簧的能量不是連續的,

而是固定量子的整數倍的離散型式。

量子(Quantum)的大小與頻率成正比!

h: Planck Constant


量子彈簧的行為非常類似數目可改變的一群粒子

粒子最重要的就是不可分割性


基本粒子

量子彈簧

e


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