當力只與位置有關時的運動方程式
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當力只與位置有關時的運動方程式. 簡諧運動. Simple Harmonic Motion. 任一個周期運動,在平衡點附近,都是簡諧運動!. 一個簡諧運動,有一個內在的振動頻率!. F ( x ). x. 正力為排斥力,力為負則為吸引力. 摩擦力的根源是原子力或分子力. 原子力是由電磁力產生. 電偶極. + + +. - - -. + + +. - - -. 感應形成電荷分布不均. 原子力 Lennard-Jones. 與萬有引力定律不同,此式只是一個近似!. 在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。.

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Presentation Transcript

簡諧運動

Simple Harmonic Motion

任一個周期運動,在平衡點附近,都是簡諧運動!

一個簡諧運動,有一個內在的振動頻率!


F(x)

x

正力為排斥力,力為負則為吸引力

摩擦力的根源是原子力或分子力



電偶極

+

+

+

-

-

-

+

+

+

-

-

-

感應形成電荷分布不均


Lennard jones
原子力 Lennard-Jones

與萬有引力定律不同,此式只是一個近似!


在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

力與距平衡點的位移成正比,即簡諧運動!


簡諧運動在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

一個簡諧運動,只由一個常數決定!


簡諧運動在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

找到兩個解


定理在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

如果已找到兩個函數

都滿足方程式

那麼任一線性組合

也滿足該齊次方程式!

得證


簡諧運動的解 在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

正弦函數與餘弦函數的兩次微分都和負的自己成正比!

很容易找到兩個解

也是解!

那麼任一線性組合

a,b由起始條件決定

這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件,因此是唯一的解!

不用再找了!


較容易明瞭的表示式在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。


x在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。m及ω的物理意義:振幅及角頻率。

xm振幅是振動的極大值


週期函數在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

角頻率


x在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。m及ω的物理意義:振幅及角頻率。


動畫 在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。Simulation


一個簡諧運動,有一個內在的振動頻率!在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。


假想圓是一個很好的工具,但不是真的有一個圓!假想圓是一個很好的工具,但不是真的有一個圓!

簡諧運動中的每一個階段對應圓周運動中到達的角-----相角 Phase


http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102


相角 http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102ϕ的物理意義,假想圓上的出發角度。

動畫 Simulation


第一個震盪比第二個震盪領先相角http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102120°


不是只有彈簧才是簡諧運動!http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102

小角度近似:


電磁震盪http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102


RLChttp://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102電路


Lennard jones1
原子力 http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=102Lennard-Jones


在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

力與距平衡點的位移成正比,即簡諧運動!

彈力常數即是通過平衡點的切線斜率!


5Q在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

Q

q

Q

5Q

任何一個在平衡點附近的小規模運動都是簡諧運動!

F

45°


60在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。゜

45゜

M2

M1


許多物體的震盪也是簡諧運動在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

所以也可以用同樣的這些名詞,如振幅、周期、相角來描述!


鋼條的震動在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。


鋼條的震盪不只一種:在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。扭曲!


有些震盪是非常扭曲複雜的!在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。


震盪模式有很多種:在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

不同模式周期不同


物體的振動在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E&NR=1


為什麼稱為簡諧運動?在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。

任一和諧(週期)函數可以寫成一系列簡諧運動函數的疊加。

Fourier Series


Damped Oscillation 在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。阻尼震盪

阻力項大致與彈力項相差90°相角。

動畫 Simulation


振幅呈現在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。指數衰減!


指數遞減在力為零的平衡點附近,力的區線大致上可以用一條直線來近似。


http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124


阻尼可以大到連一次震盪都未完成!http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124


101http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124五十噸的阻尼球


若想使彈簧繼續震盪,必須施以一周期性的外力。若想使彈簧繼續震盪,必須施以一周期性的外力。


http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm若想使彈簧繼續震盪,必須施以一周期性的外力。


風吹或地震對若想使彈簧繼續震盪,必須施以一周期性的外力。101即是外力!


電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。


外力下的震盪 電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。Forced Oscillation

週期外力的角頻率

彈簧內在的角頻率


之前的解電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

一個解

代入運方左邊等於零


猜測電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

因為它的兩次微分還是正比於同樣的正弦函數!

代入

得到一個解

彈簧的反應依然是簡諧運動,但周期是施力的周期,而不是彈簧的自然周期!

但振幅的大小卻與施力週期密切相關:

共振 Resonance

施力的頻率愈接近彈簧的自然頻率,反應愈強,能量的輸入愈好。


加上一個電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

調整xs中的 a,b 以滿足起始條件

這個函數同時滿足運動方程式以及兩個起始條件,因此是唯一的解!

不用再找了!


Forced Oscillation電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

與外力的振幅成正比

以外力的頻率來震盪,而不是彈簧的自然頻率!

外力頻率越接近彈簧的自然頻率,震動也就越大!

追求物理學三大定律


施力週期越接近自然周期,彈簧的反應越大!電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

共振 Resonance


考慮摩擦阻力後電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

共振曲線的寬度與阻力大小成正比


共振曲線的寬度與阻力大小成正比電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。


物理教科書上出現最多的一個圖形。電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。


http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。


模擬電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

http://www.phy.ntnu.edu.tw/moodle/mod/resource/view.php?id=124


實際影片電磁波打在一個點電荷上的散射現象,也是如此。

http://techtv.mit.edu/collections/physicsdemos/videos/769-mit-physics-demo----driven-mechanical-oscillator


建築與物體必須避免其自然周期與外力的施力週期接近的狀況。建築與物體必須避免其自然周期與外力的施力週期接近的狀況。

地面因地震而震盪


但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


Tacoma Narrows Bridge但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


Takoma Bridge但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


http://www.youtube.com/watch?v=3mclp9QmCGs但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


吸收 但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


彈簧的能量守恆但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


守恆量但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。


量子彈簧但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。

e

一個彈簧的起始條件包含確定的位置與速度

量子彈簧上的粒子,位置與動量是無法同時確定的!


量子彈簧但很多情況下外力會自動使施力週期調整為彈簧的自然周期。

e

量子彈簧的能量不是連續的,

而是固定量子的整數倍的離散型式。

量子(Quantum)的大小與頻率成正比!

h: Planck Constant


量子彈簧的行為非常類似數目可改變的一群粒子量子彈簧的行為非常類似數目可改變的一群粒子

粒子最重要的就是不可分割性


基本粒子量子彈簧的行為非常類似數目可改變的一群粒子

量子彈簧

e


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