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Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 §1.3 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题
一、函数极限的定义 [复习及问题的引入] 数列{xn = f (n)}可看成自变量为n的函数,定义域为N+. 数列xn的极限为a即当n→∞时，对应函数值f (n)无限接近于确定的数a。 函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限。 两种情形时函数的极限： ⑴自变量任意接近有限值(x→x0)时, 对应函数值的变化情形； ⑵自变量的绝对值无限增大(x→∞)时, 对应函数值的变化情形。
一、函数极限的定义 1、x→∞时, f(x)的极限 ⑴引例 问题1：y=f(x)在x →∞的过程中, 对应函数值f(x)无限接近于确定值A。 如图可知，当|x|无限增大时， f(x)无限接近于1, 即x→∞时, f(x)→1。 问题2: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
一、函数极限的定义 ⑵定义 ①如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在着正数X，使得当|x|>X 时，恒有|f (x) -A|< ε成立，则称x 趋于无穷大时函数f (x)以A为极限。记为： ②“ε -X”定义 ③x→+∞及x→-∞情形
一、函数极限的定义 ⑶几何意义
一、函数极限的定义 例1 证 ⑷水平渐近线
一、函数极限的定义 2、x→x0时, f(x)的极限 ⑴引例 问题1：函数y=f(x)在x → x0的过程中， 对应函数值f(x)无限接近于确定值A。 在x=1时， g(x)有定义，f(x)无定义，如图可知，当x从左从右无限趋近于1时， g(x)与 f(x)都无限接近于2。 问题2: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
一、函数极限的定义 ⑵定义 ①设f (x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的e >0,总存在d>0, 使得当0<|x-x0|<d , 恒有|f (x) -A|<e成立，则称x→ x0时函数f (x)以常数 A为极限，记为 ②“ε -δ”定义 注：
一、函数极限的定义 ⑶几何意义
一、函数极限的定义 例2 证 例3 证
一、函数极限的定义 例4 证 函数在点x =1处没有定义.
一、函数极限的定义 例5 证
一、函数极限的定义 ⑷单侧极限 例如: ①左极限 ②右极限
一、函数极限的定义 注： ③极限存在定理： 例6 证 不存在. 左右极限存在但不相等,
二、函数极限的性质 1、唯一性 定理1 注：以下仅以 形式为代表给出函数极限的一些定理，其它形式类推之。
二、函数极限的性质 1、唯一性 定理1 注：以下仅以 形式为代表给出函数极限的一些定理，其它形式类推之。 2、局部有界性 定理2 证
二、函数极限的性质 3、局部保号性 定理3 证：就 A > 0 的情形证明。
二、函数极限的性质 定理3' 推论
二、函数极限的性质 4、子列收敛性(函数与数列极限的关系) 定理4 证：
二、函数极限的性质 例如: 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.
二、函数极限的性质 例7 证 二者不相等,
§1.3 函数的极限 一、函数极限的定义 函数极限的统一定义 [复习及问题的引入] 1、x→∞时, f(x)的极限 2、x→x0时, f(x)的极限 二、函数极限的性质 1、唯一性 2、局部有界性 3、局部保号性 4、子列收敛性 三、小结
过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 函数极限的统一定义
§1.3 函数的极限 一、函数极限的定义 函数极限的统一定义 [复习及问题的引入] 1、x→∞时, f(x)的极限 2、x→x0时, f(x)的极限 二、函数极限的性质 思考题 1、唯一性 2、局部有界性 3、局部保号性 4、子列收敛性 作业: 第 37~38 页. 1⑷；2⑴；4；6. 三、小结
！思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在.
练 习 题 一、填空题:
