Download
1 / 64
660 likes | 1.29k Views
Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe. Bartłomiej Pawlik, 29 kwietnia 2009r. I. Wstęp. I. Wstęp. I. Wstęp. I. Wstęp. I. Wstęp. I. Wstęp. Wymiarem nazywamy liczbę współrzędnych, które są niezbędne do precyzyjnego określenia położenia punktu w danej przestrzeni. I. Wstęp.
E N D
Hipersześciany i przestrzenie wielowymiarowe Bartłomiej Pawlik, 29 kwietnia 2009r.
I. Wstęp • Wymiarem nazywamy liczbę współrzędnych, które są niezbędne do precyzyjnego określenia położenia punktu w danej przestrzeni.
I. Wstęp • Wymiarem nazywamy liczbę współrzędnych, które są niezbędne do precyzyjnego określenia położenia punktu w danej przestrzeni. • Wymiar jestnajwiększą możliwą liczbą prostych prostopadłych przechodzących przez jeden punkt danej przestrzeni.
II. Hipersześciany • Sześcianem (heksaedrem)nazywamy wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów.
II. Hipersześciany • Sześcianem (heksaedrem)nazywamy wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów. Sześcian jest obiektem trójwymiarowym.
II. Hipersześciany • Sześcianem (heksaedrem)nazywamy wielościan foremny o sześciu bokach w kształcie identycznych kwadratów. Sześcian jest obiektem trójwymiarowym. Aby skonstruować sześcian, wystarczy złożyć ze sobą sześć kwadratów, które są obiektami dwuwymiarowymi.
II. Hipersześciany • Sześcian o boku można zdefiniować również jako zbiór punktów przestrzeni kartezjańskiej o współrzędnych spełniających układ nierówności dla pewnego układu współrzędnych.
II. Hipersześciany • Hipersześcianem nazywamy uogólnienie sześcianu w n-wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich .
II. Hipersześciany • Hipersześcian o krawędzi długości aw n-wymiarowej przestrzeni kartezjańskiej jest zbiorem jej punktów o współrzędnych , które spełniają układ nierówności dla pewnego układu współrzędnych.
II. Hipersześciany • Hipersześcian o krawędzi długości w n-wymiarowej przestrzeni kartezjańskiej jest zbiorem jej punktów o współrzędnych , które spełniają nierówność dla pewnego układu współrzędnych.
II. Hipersześciany • Hipersześciany:
II. Hipersześciany • Hipersześciany:
II. Hipersześciany • Hipersześciany:
II. Hipersześciany • Hipersześciany:
III. Podstawowe własności hipersześcianów • Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi
III. Podstawowe własności hipersześcianów • Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi np. odcinek – 2 wierzchołki
III. Podstawowe własności hipersześcianów • Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi np. sześcian – 8 wierzchołków
III. Podstawowe własności hipersześcianów • Liczba wierzchołków n-wymiarowego hipersześcianu wynosi np. tesserakt – 16 wierzchołków
III. Podstawowe własności hipersześcianów 2. Hipersześcian n-wymiarowy jest złożony z 2n hipersześcianów (n-1)-wymiarowych.
III. Podstawowe własności hipersześcianów 2. Hipersześcian n-wymiarowy jest złożony z 2n hipersześcianów (n-1)-wymiarowych. Ściślej rzecz biorąc, hipersześcian n-wymiarowy ma 2n ścian (n-1)-wymiarowych, będących również hipersześcianami.
III. Podstawowe własności hipersześcianów 2. Hipersześcian n-wymiarowy jest złożony z 2n hipersześcianów (n-1)-wymiarowych. Ściślej rzecz biorąc, hipersześcian n-wymiarowy ma 2n ścian (n-1)-wymiarowych, będących również hipersześcianami. Przykładowo kwadrat ma cztery ściany jednowymiarowe (odcinki), sześcian ma sześć ścian będących kwadratami. Analogicznie tesserakt ma osiem ścian trójwymiarowych (komórek), będących sześcianami, a penterakt (hipersześcian pięciowymiarowy) ma dziesięć ścian czterowymiarowych, będących tesseraktami.
III. Podstawowe własności hipersześcianów 3. Objętość (n-wymiarowa miara Lebesgue’a) hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem .
III. Podstawowe własności hipersześcianów 3. Objętość (n-wymiarowa miara Lebesgue’a) hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem . Uwaga! To, co tutaj nazywamy objętością, w przypadku kwadratu jest powszechnie znane jako jego pole, a w przypadku odcinka jako jego długości.
III. Podstawowe własności hipersześcianów 3. Objętość (n-wymiarowa miara Lebesgue’a) hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem . Ogólnie rzecz ujmując za jednostkę objętości w przestrzeni n-wymiarowej przyjmuje się n-wymiarowy hipersześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w rozpatrywanym systemie miar (przykładową długością krawędzi jednostkowej może być 1 metr).
III. Podstawowe własności hipersześcianów 4. Długość przekątnej n-wymiarowego hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem .
III. Podstawowe własności hipersześcianów 4. Długość przekątnej n-wymiarowego hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem . Uwaga!Za przekątną n-wymiarowego hipersześcianu uznajemy taką jego przekątną, która nie jest jednocześnie przekątną żadnego zawartego w nim hipersześcianu o wymiarze mniejszym niż n.
III. Podstawowe własności hipersześcianów 4. Długość przekątnej n-wymiarowego hipersześcianu o boku a wyraża się wzorem . Z powyższego wzoru wynika, że długość przekątnej odcinka o boku a wynosi a, długość przekątnej odpowiedniego sześcianu wynosi , a przekątna tesseraktu ma długość 2a.
III. Podstawowe własności hipersześcianów 5. Promień hiperkuli wpisanej w hipersześcian wyraża się wzorem: .
III. Podstawowe własności hipersześcianów 6. Promień hiperkuli wpisanej w hipersześcian wyraża się wzorem: . 7. Promień hiperkuli opisanej na hipersześcianie wyraża się wzorem: .
III. Podstawowe własności hipersześcianów 8. Wzór na objętość n-wymiarowej hiperkuli wpisanej w n-wymiarowy hipersześcian to:
III. Podstawowe własności hipersześcianów 8. Wzór na objętość n-wymiarowej hiperkuli wpisanej w n-wymiarowy hipersześcian to: 9. Wzór na objętość n-wymiarowej hiperkuli opisanej na n-wymiarowym hipersześcianie to:
IV. Konstrukcja hipersześcianów Konstrukcja sześcianu:
IV. Konstrukcja hipersześcianów Konstrukcja sześcianu:
IV. Konstrukcja hipersześcianów Konstrukcja kwadratu:
IV. Konstrukcja hipersześcianów Konstrukcja tesseraktu:
V. Płaszczaki Płaszczak – popularnonaukowa nazwa oznaczające istoty istniejące w przestrzeni dwuwymiarowej (np. na płaszczyźnie lub powierzchni kuli).
V. Płaszczaki Płaszczak – popularnonaukowa nazwa oznaczające istoty istniejące w przestrzeni dwuwymiarowej (np. na płaszczyźnie lub powierzchni kuli). Edwin Abbott – angielski teolog i znawca literatury, twórca idei płaszczaków.
