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STRUTTURA DI. Argomenti della lezione. Prodotto scalare in R n. Distanza in R n. Topologia di R n. Vettori di R n. X 1. X 2. X 3. •. •. •. X n. Vettore colonna. X =. (X 1, X 2, X 3,. X n ). •. •. •. = X. •. Vettore riga. X T =. X TT.

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Presentation Transcript

Argomenti della lezione

  • Prodotto scalare in Rn

  • Distanza in Rn

  • Topologia di Rn



X1

X2

X3

Xn

Vettore colonna

X =


(X1, X2, X3,

Xn)

= X

Vettore riga

XT =

XTT


Prodotto scalare in uno spazio vettoriale V sul corpo R


Un prodotto scalare

è un’applicazione bilineare

simmetrica

definita positiva

su V x V a valori in R


s: V x V

R

Simmetria

Omogeneità

Additività

Positività

soddisfa le seguenti proprietà


s: V x V

R

(S1) x, y V s(x, y) = s(y, x)

A

Î

simmetria

(S2) x, y V a

R s(ax, y) =

A

A

Î

Î

omogeneità

soddisfa le seguenti proprietà

a • s(x, y)


s: V x V

R

(S3) x, y, z V s (x + z, y) =

A

Î

additività

(S4) x

s (x,x) > 0 e s (x,x)

V

A

Î

Þ

= 0 x = 0

positività

s (x, y) + s (z, y)


s(x, y) = x, y = (x, y) = x y

n

x,y = x y = xT y = Si=1xiyi

Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni

In Rn si ha pure la notazione

nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne delle matrici


y1

y2

n

S

y3

xTy = (x1 x2 x3 xn)

=

xi yi

i = 1

yn


Disuguaglianza di

Buniakovski

Cauchy

Schwarz


In particolare, in Rn

Indicheremo con x o con x

la norma o modulo del vettore

_______

|x| =   xi 2

x Î V(x Î Rn)


CASO DI

R2 o R3


u v= u v cos q

u

q

v

u v < u v


Distanza in Rn


Proprietà della distanza

(D1) (simmetria)

(D2) (positività)

(D3) (disuguaglianza triangolare)


Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn .

s x0

x02

= (x01, x02)T

x0

x01


Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn .

b2

a2

a1

b1



Punti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiunti

x

y

.


è punto interno

è punto esterno

è punto di frontiera

per W


interno

esterno

di frontiera

per Wè punto


ad