課後照顧師資班 -- 數學作業指導

1. 課後照顧師資班--數學作業指導 許 長 壽 高雄市陽明國小

2. 課後照顧數學作業指導 1.認識92數學正綱 2.數學成語謎 3.數學指導的技巧 4.常見的數學問題釐清 5.數學益智遊戲 6.數學網路資源 7.玻利亞解題四步驟 8.結語

3. 92正綱的實施狀況 • 目前實施89年暫綱的年級 4年級、5年級、6年級 (但是教材均有融入92年綱要) • 目前實施92年正綱的年級 1年級、2年級、3年級及國中所有年級 預計99年9月時國中小均實施92年正綱

4. 國小數學課程標準之發展史(1) • 57年以前：八次課程標準修訂（民國18年,20年,21年,25年,31年,37年,41年,51年）。 • 57～64年：國民小學數學暫行課程標準。 • 學科名稱由「算術」改為「數學」。 • 九年國教開始實施。 • 64～82年：國民小學數學課程標準。 • 用皮亞傑的理論當基礎。 • 開始大量使用數學教具。 • 課程最穩定的時代。

5. 國小數學課程標準之發展史(2) • 82～90年：82年版課程標準。 • 主張知識是由學童主動建構的。 • 捨棄64年版某些難以和學童解釋的數學項目。 • 90～94年：九年一貫數學領域課程暫行綱要。 • 94年以後：94年修訂版九年一貫數學領域課程綱要。

6. 國小數學教科書之發展史 • 64年以前：由國立編譯館本聘請專家編寫。(舟山模式) • 64～82年：由板橋教師研習會先編寫實驗課本，實驗後再修正成部編本。(板橋模式) • 82～90年：部編本及民間版本混用。 • 90～94年：只有民間版。 • 94年以後：民間版本以及部編本混用。 (目前國小只有數學有部編本)

7. 82年課程標準的教學特色 • 鼓勵兒童勇於表達自己的解題方式，能夠以多元的態度來欣賞別人的想法。 • 教學方式的多元化。課堂不是只有教師的單向授課。課堂上教師讓學童能分組合作解題，也能適時給予學童發表討論的機會。

8. 暫行綱要的缺失 • 對於學生計算能力不足的疑慮。 • 無法銜接高中數學課程。 • 教材落後別的國家。 • 以階段畫分的能力指標在一綱多本政策下的缺失。 • 時數縮減。

9. 92綱要的特色 • 傳統的國中課程大部份再納入，能與高中數學課程銜接。 • 在各階段能力指標下再訂各年級的分年細目。 • 實施時程按步就班。 • 提高時數。(用上限15%，再加一彈性課程） • 一年級就出現直式紀錄。 • 整數加減乘除計算不限位數。 • 電算器很晚才引入。

10. 92綱要與世界各國接軌 • 這樣的標準，我們可以在以1999年加州課程標準或 2000年NCTM 的課程標準；新加坡；日本；中國（上海）；香港等不同國家的教科書版本裡看到。

11. 92綱要的能力指標及分年細目。 • 第一階段：一至三年級 • 由第一階段的能力指標再細分為1，2，3年級的分年細目。 • 第二階段：四至五年級 • 第三階段：小六及國一 • 第四階段：國二及國三

12. 暫行綱要能力指標說明： • N-1-1能初步掌握非負整數數詞序列的規律，並能以具體的量、聲音、圖像、數字，進行說、讀、聽、寫、做的活動，表徵2000以內的數。 • N-1-2能掌握10、100、1000和1及100和10之間的關係，做數的二階單位化聚。

13. 92正綱能力指標說明(一) N-1-01能說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大 小，並作位值單位的換算。 1-n-01能認識100以內的數及「個位」、「十位」的 位名，並進行位值單位的換算。 1-n-02能認識1元、5元、10元、50元等錢幣幣值， 並做1元與10元錢幣的換算。 1-n-03能運用數表達多少、大小、順序。 1-n-07能進行2個一數、5個一數、10個一數等活動。

14. 92正綱能力指標說明(二) 2-n-01能認識1000以內的數及「百位」的位 名，並作位值單位換算。 2-n-02 能認識錢幣的幣值有100元、500元等， 並作10元與100元錢幣的換算。 2-n-03能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並 在具體情境中認識遞移律。（同2-a-01） 2-a-01能用＜、＝與＞表示數量大小關係，並在 具體情境中認識遞移律。（同2-n-03） 3-n-01能認識10000以內的數及「千位」的位 名，並進行位值單位換算。

15. 92正綱國民小學階段的目標 • 第一階段：能掌握數、量、形的概念。 • 第二階段：能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數字感。 • 小學畢業前：能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。

16. (1)較大整數的讀法 • 英文數字的書寫習慣，是從右邊數起，每三位加逗號(，)如：1,234,567 或432,567,890 • 中文數字是每四位為一單位，但書寫習慣是不加任何記號 • 為了方便讀出數字，可仿英文寫數字的方法，從右邊數起，每四位數字畫一個虛線，如此就很方便可以讀出數字，又不容易寫錯 如123 4567 或4 3256 7890

17. (2)整數的位值單位換算 • ( )個十萬是一億。 • ( )個千萬是十億。 ( )個百萬是千億。 • ( )個十萬是一千萬。 ( )個萬是一億。

18. (3)學生計算錯誤的可能原因 • 題目抄下來抄錯 • 把運算符號看錯 • 計算未完成 • 數字寫不清楚 • 位值未對齊而算錯 • 數字沒有寫清楚而算錯 • 答案抄錯 • 計算錯誤 如: 128 × 312 256 128 1536 乘數百位的3尚未算，就以為算完了

19. (4)學生寫應用題的錯誤的可能原因 • 題意不瞭解 • 搞不清楚已知什麼?要求什麼? • 計算題會犯的錯誤 • 未寫答 • 答未寫單位 • 答的單位寫錯 • 未看清楚問什麼單位 • 要同單位才可相加減 一瓶礦泉水重600公克，同樣的礦泉水5瓶重幾公斤? 600 ×5=3000 答：3000公斤 一片磁片厚5毫米，一本書厚0.3公分，磁片和書共幾公分? 5+0.3=5.3 答：5.3公分

20. (5)有單位和無單位的區別： • 例1：小明有 塊餅乾，吃掉了 塊餅乾，還剩多少塊餅乾？ • 例2：小明有 塊餅乾，吃掉了 ，還剩多少塊餅乾？ 例1及例2的題目中，只差在「 塊餅乾」和「 」 例1中， 及 皆為同單位,故直接用減法即可，解法： 例2中， 無單位,故是吃掉全部的 也就是剩下全部的 解法：

21. (6)加法常見的錯誤 • 忘了進1 • 不對稱相加 • 把加0當成乘以0(N+0=0) • 應進1卻借1 • 進位時多進了1 • 不該進1卻進1 • 跨越進位 • 基本加法不熟

22. (7)減法常見的錯誤 • 忘了借1 • 不對稱相減 • N-0=0 • 應借1卻進1 • 借位時多借了1 • 不該借1卻借1 • 跨越借位 • 基本減法不熟 • 大數減小數 • 不夠減用0代替 • 忘了加被減數

23. (8)生活數學 • 生活上，許多商家賣商品時，常常用9這個數字來賣，如99,199,299,……等，如此我們可以用估算，算出大概的錢，也可算出正確的錢 • 一件衣服199元，買4件大概要多少錢? 199接近200，200× 4=800 大約800元 • 一件衣服199元，買4件要多少錢?199接近200，200× 4=800，800-4=796 • 買四件衣服，各是99,199,399,499元， 大概要多少錢？

24. (9)減法的另一種算法 • 500-136，這類題目對某些學生是有困難的，如果學生一直教不會，其實可以用另一種技巧來算 • 500-136=499-135將被減數和減數同時少1，其差不變 • 4000-2835=( )-( )

25. (10)適當用交換律來算乘法 • (1)較多位數在被乘數， 較少位數在乘數 例1:72×456，可用456×72來算 (2)將0省略不算後，較多位數在被乘數，較少位數在乘數 例2:800×75，可用75×800來算 (3)同數字的乘法，放在乘數， 例2:88×74，可用74×88來算 如: 74 × 88 592 592 6512

26. (11)個位數字是5自乘的計算 • 假設這個數的十位數字是a，因為個位數字是5，那麼這個數字就是10a+5。 由上面公式就可知道，末二位數字一定是25，至於百位以上的數字，則是十位數字×(十位數字+1)。 例如：35×35的百位以上的數字就是3×4=12，因此答案就是1225 請心算出：75×75=( )

27. (12)格乘法的介紹 要做476×753，先畫3×3的格子，將被乘數寫在上面，再把乘數寫在右邊， 最後的答案就是在外圍的數字358428。 • 請用格乘法計算89×78

28. (13)整數乘法常犯的錯誤 • 忘了進位 • 把乘0當作加0 • 把積的位置放錯 • 乘錯 • 加錯 • 進位後要先加再乘(正確為先被再加) • (1) 74 (2) 60× 8 × 5 • 562 305 • 612 (4) 26×104 × 8 2448 488 6128568

29. (14)以四捨五入法算到小數第幾位時，是否要多算一位？(14)以四捨五入法算到小數第幾位時，是否要多算一位？ 以四捨五入法求到小數第二位 【例1】 【例2】 【例3】 3 7 0.12 0.14 0.66 8)1.0 7 )1.0 6)4.0 8 7 3 6 20 30 40 16 28 36 4 2 4 4恰好是8的一半， 2比7的一半少， 4比6的一半大， 所以下一位商是5， 所以下一位商小於5， 所以下一位商大於5， 因此要進位， 因此不進位， 因此要進位， 答案是0.13 答案是0.14 答案是0.67

30. (15)利用同餘法來驗算(一） • 在數學上，要找出同餘的數很簡單，只要將這個數分解成每個數字，再相加即可，如果這個數還是大於9，就再將這個數分解成每個數字，再相加即可，一直算到這個數字是個位數字為止。如果這個數字是9，則與它同餘的數字就是0。 • 如：345和12同餘(3+4+5)，也和3同餘(1+2)。 • 又如：729和18同餘(7+2+9)，也和9同餘(1+8)，也和0同餘。

31. (15)利用同餘法來驗算(二） 986 (23) (5) + 237 (12) (3) 1223 (8) 因為5+3=8，所以表示我們算對的機會很大。 7637 (23) (5) - 958 (22) (4) 6689 (29) (11) (2) 因為5-4=1≠2，所以表示我們一定算錯哦！請再重新算一遍哦！

32. (15)利用同餘法來驗算(三） 370 (10) (1) × 425 (11) (2) 1850 740 1480 156250 (19) (10) (1) • 因為1×2=2≠1，所以表示我們一定算錯哦！請再重新算一遍哦！ 258 (15)(6) (10)(1)28)7249 (22)(4) 56 164 140 249 224 25 (7) 因為1×6+7=13，13同餘於4，所以表示我們算對的機會很大。 用同餘來驗算除法，也需用被除數＝除數×商＋餘數

33. (16)除法估商法則(一) • 除9同被，末位加1 • 某數除以9，其估商可為某數相同之數；末位時其估商為某數加1。 (除9是指除數的最高位數字是9，以下同此說明) 1△△△÷9△=1 2△△△÷9△=2　 除 3△△△÷9△=3 4△△△÷9△=4 9 5△△△÷9△=5 6△△△÷9△=6 同 7△△△÷9△=7 8△△△÷9△=8 被 9小△△÷9大=9 9同△△÷9同=1 大同 9大△△÷9小=1 前進 2 94) 2162 181 9) 162 94) 9870 9 72 9 978) 94866

34. (16)除法估商法則(二) 5 86) 4386 1 8) 9160 9 84) 75684 3 823) 288873 • 除8加1 • 某數除以8，其估商可為該某數加1。 1△△△÷8△=2 2△△△÷8△=3 　 除 3△△△÷8△=4 4△△△÷8△=5 8 5△△△÷8△=6 6△△△÷8△=7 加 7△△△÷8△=8 8小△△÷8大=9 1 8同△△÷8同=1 8大△△÷8小=1 大同 9△△△÷8△=1 前進

35. (16)除法估商法則(三) 1 75) 900 7 7) 539 1 2 710) 106720 4 732) 333972 • 除7加1（四以下加1）又有加2（五以上加2） • 1,2,3,4等數除以7，其估商為原數加1；又5,6除以7，其估商為原數加2。 1△△△÷7△=2 2△△△÷7△=3 　 四以下 3△△△÷7△=4 加 1 4△△△÷7△=5 5△△△÷7△=7 五以上 6△△△÷7△=8 加 2 7小△△÷7大=9 7同△△÷7同=1 7大△△÷7小=1 大同 8△△△÷7△=1 前進 9△△△÷7△=1

36. (16)除法估商法則(四) 4 69) 2967 6 6) 456 5 63) 3642 1 623) 7750 • 除6加2 • 某數除以6，其估商可為該某數加2。 1△△△÷6△=3 2△△△÷6△=4 　 除 3△△△÷6△=5 6 4△△△÷6△=6 加 5△△△÷6△=7 2 6小△△÷6大=9 6同△△÷6同=1 6大△△÷6小=1 大同 7△△△÷6△=1 8△△△÷6△=1 前進 9△△△÷6△=1

37. (16)除法估商法則(五) 2 57) 1824 6 5) 320 7 6 52) 3744 9 54) 52608 • 除5雙倍 • 某數除以5，其估商可為某數的2倍。 1△△△÷5△=2 除 2△△△÷5△=4 5 3△△△÷5△=6 雙 4△△△÷5△=8 倍 5小△△÷5大=9 5同△△÷5同=1 5大△△÷5小=1 6△△△÷5△=1 大同 7△△△÷5△=1 8△△△÷5△=1 前進 9△△△÷5△=1

38. (16)除法估商法則(六) 3 47) 1824 7 4) 300 2 42) 9660 9 426) 40044 • 除4雙頭 • 雙頭是被除數及除數，某數除以4其估商可為被除數與除數4之和或差。 1△△△÷4△=3(4-1) 除 4 2△△△÷4△=6(4+2) 3△△△÷4△=7(4+3) 雙 頭 4小△△÷4大=9 4同△△÷4同=1 4大△△÷4小=1 5△△△÷4△=1 6△△△÷4△=1 大同 7△△△÷4△=1 8△△△÷4△=2 前進 9△△△÷4△=2

39. (16)除法估商法則(七) 2 31) 7316 6 3) 201 2 3 38) 9500 3 36) 13644 • 除3三倍 • 某數除以3，其估商可為某數的3倍。 1△△△÷3△=3 除 3 2△△△÷3△=6 3小△△÷3大=9 三倍 3同△△÷3△=1 3大△△÷3小=1 4△△△÷3△=1 5△△△÷3△=1 6△△△÷3△=2 大同 7△△△÷3△=2 8△△△÷3△=2 前進 9△△△÷3△=3

40. (16)除法估商法則(八) 1 29) 3770 5 2) 114 2 3 27) 621 8 9 267) 225081 • 除2作5 • 某數除以2，其估商可為5。 1△△△÷2△=5 除2作5 2小△△÷2大=9 2同△△÷2同=1 2大△△÷2小=1 3△△△÷2△=1 4△△△÷2△=2 5△△△÷2△=2 6△△△÷2△=3 大同 7△△△÷2△=3 8△△△÷2△=4 前進 9△△△÷2△=4

41. (16)除法估商法則(九) 2(自行估商) 15) 3120 7(1比6少5) 16) 1152 5(0比9少5) 19) 1056 9(0比1少1) 112) 10165 • 除1繁雜，牢記另表 • 被除數2以上，則自行估商 • 被除數和除數同時為1，可看下表 被除數少除數1，2時，商即作9 被除數少除數3，4時，商即作8 被除數少除數5，6時，商即作7 被除數少除數7，8時，商即作6 被除數少除數9 　時，商即作5 (此處的被除數與除數的比較是比被除數與除數的次高位數字)

42. (17)整數除法常犯的錯誤 51 230 6) 312 2)406 30 4 12 6 6 6 6 0 61 19) 1139 114 19 19 0 • 算出來的餘數比除數大或和除數一樣 • 把0記錯位置 • 估錯商 • 用大數減小數 • 乘錯 • 減錯 • 不知道哪個是餘數?哪個是商 • 被除數和除數顛倒

43. (18)除法、分數及比 • 4÷5到底是五分之四，還是四分之五呢？ 4 4 4 = ÷ = ： 5 55 • 6:4=( ) • 30÷40=( )

44. (19)誰當被除數?誰當除數 • 由於三年級引入除法時，幾乎都是大數除以小數，因此養成學生大數才能除以小數的迷思概念，到四年級，學到除法可用分數表示，以及商可為小數，學生便對應用題中，哪一個要當被除數，哪一個要當除數感到混淆。 • 其實可用題目的“每…”或“一…”來尋得蛛絲馬跡，因為“每…”或“一…”就是把原來的個數做等分，所以它後面所接的數，一定當除數，而另一個數就是被除數。 • 例１：3個人分4個大餅，每人得幾個大餅？ 題目是問「每人得幾個大餅」，所以「人」當除數 解法為4÷3 • 例２：小明走6步可走5公尺,平均一步走幾公尺? 解法為5÷6

45. (20)小數加減法常犯的錯誤 • 與整數加減法同樣的錯誤 • 位值沒有對齊 • 小數末尾是0未處理 • 忘了點小數點 • 小數點點錯位置 小數加減法只要對齊小數點，位值就會自動對齊 • (1) 3.2 (2) 7.6＋4－5.6 • 3.6 2.0 • 6.1 (4) 1 2.7－1.8 ＋ 1.2 4 3 1.3 9

46. (20)小數乘法常犯的錯誤 • 與整數乘法同樣的錯誤 • 小數末尾是0未處理 • 忘了點小數點 • 小數點對齊(與加法搞混) • 小數點點錯位置(正確為：被乘數和乘數小數點後面的位數之和) 小數乘法是唯一不用對齊位值的直式計算，且學生容易搞混加減法和乘法 • (1) 3.4 (2) 0.6×4 × 5 • 12.6 3.0 • 0.8 (4) 1.2 7× 0.2 × 0.4 1.6 5.0 8

47. (21)小數除法常犯的錯誤 • 與整數除法同樣的錯誤 • 商的小數點寫錯位置 • 餘數的小數點寫錯位置 • 忘了點小數點 • 搞不清楚要求什麼？(有時候除到商為整數即可，要寫餘數，有時候又四捨五入到小數第一位） 除數是小數的除法，商的小數點要與新被除數的小數點對齊，而餘數要與舊的小數點對齊

48. (22)整數四則計算常犯的錯誤 • 忘了要先乘除後加減 • 忘了將還沒有算的數字抄下來 整數四則計算的三個原則： (1)有括號先算 (2)先乘除後加減 (3)由左至右 例1：5+3 ×4 =8 ×4 =32 例2：700-125-45-65 =575-45(少了-65) =530-65 =465

49. (23)利用長度的單位關係，導出面積和體積的單位關係(一)(23)利用長度的單位關係，導出面積和體積的單位關係(一) 先回到1平方公尺的定義，1平方公尺就是邊長為1公尺的正方形面積。 換個說法就是邊長為100公分的正方形面積。 那邊長為100公分的正方形面積，就可以用正方形面積公式來算，也就是邊長×邊長，代入100公分(cm)×100公分(cm)=10000平方公分(cm2)。(算這個算式時，不但要算100×100=10000，也要算cm×cm= cm2) 如此可以推出1平方公尺(m2)=10000平方公分(cm2)

50. (23)利用長度的單位關係，導出面積和體積的單位關係(二)(23)利用長度的單位關係，導出面積和體積的單位關係(二) 先回到1立方公尺的定義，1立方公尺就是邊長為1公尺的正方體體積。 換個說法就是邊長為100公分的正方體體積。 那邊長為100公分的正方體體積，就可以用正方體體積公式來算，也就是邊長×邊長×邊長，代入100公分(cm)×100公分(cm)×100公分(cm)=1000000立方公分(cm3)。(算這個算式時，不-但要算100×100×100=1000000，也要算cm×cm×cm = cm3) 如此可以推出1立方公尺(m3)=1000000立方公分(cm3)