Modelos matemáticos para o problema de carregamento de contêineres considerando carga fracionada em múltiplos destinos

1. Modelos matemáticos para o problema de carregamento de contêineres considerando carga fracionada em múltiplos destinos Leonardo Junqueira Reinaldo Morabito Denise Sato Yamashita

2. Definição do Problema • Deseja-se carregar um caminhão (ou contêiner) e distribuir a carga em diferentes destinos • O caminhão deve percorrer um roteiro de entrega, saindo de um depósito (onde ele é carregado) e descarregar a carga em diferentes destinos. • Após realizar todas as entregas, o caminhão pode retornar, vazio, para o depósito. • Objetivo: como planejar o carregamento do caminhão, levando em consideração o roteiro do caminhão, para evitar desperdícios de tempo descarregando e recarregando caixas.

3. Caminhão sendo descarregado ao longo de cinco destinos.

4. Duas adaptações do modelo com um destino • Formulação: “Versão Divisória” • Formulação: “Versão Tetris” • Consideração: Admite-se que o contêiner tem um comprimento suficientemente grande para empacotar todas as caixas de todos os destinos.

5. Procedimento 1 (“Versão Divisória”) • Seja um roteiro com n destinos que um contêiner deve percorrer • Em cada destino k=1,...n tem-semktipos de caixas do tipo i=1, ..., mk com bi caixas de dimensões (li,wi,hi). • Note que k=1se refere ao conjunto de caixas que são carregadas primeiro e descarregadas por último. Conseqüentemente, k=nse refere ao conjunto de caixas que são carregadas por último e descarregadas primeiro.

6. Idéia do procedimento: • Para cada destino k: • Resolver o problema de carregamento minimizando o comprimento do contêiner

7. aipqrstu: parâmetro • 1 se a caixai, quando empacotada com seu canto inferior frontal esquerdo na posição (p,q,r), não permite que outra caixa qualquer ocupe a posição (s,t,u) dentro dela. • 0, caso contrário.

8. xipqr: variável de decisão • 1 se a caixaié empacotada com seu canto inferior frontal esquerdo na posição (p,q,r), i=1,...,m, 0≤ p ≤L-li, 0 ≤ q ≤ W-wi e 0 ≤ r ≤ H-hi • 0, caso contrário

9. Variável de decisão real L’k(k = 1,...,n) para o comprimento mínimo necessário para empacotar todas as caixas do destino k.

10. Para k = 1,...,n, resolva a formulação abaixo: Sujeito a: Retorne

11. Se então a solução é factível. Obs: otimização não leva em consideração caixas de destinos diferentes - solução final obtida é uma composição de n soluções localmente ótimas.

12. Solução para caixas de três destinos. Observe que é criada uma “divisória” (imaginária) entre as caixas de dois destinos consecutivos dentro do caminhão

13. Procedimento 2 (“Versão Tetris”) • Variável de decisão real L’para o comprimento mínimo necessário para empacotar todas as caixas de todos os n destinos. • Variável de decisão binária xipqrreferente à posição da caixa no contêiner

14. Sujeito a: Faça k = 1 e resolva a formulação abaixo: Fixe associadas às caixas deste destino k = k+1, e resolva o modelo acima emk. Repetir para todos n destinos.

15. Exemplo de empacotamento das caixas na versão 2 (“Tetris”).

16. Note nesta formulação que considerações de orientação, limite de peso, estabilidade e empilhamento também podem ser facilmente incorporadas. • Observe que as caixas de um destino, uma vez fixadas, não podem mais ser rearranjadas, o que pode implicar na “perda” da solução ótima global.

17. Resultados Computacionais • Modelos foram implementados na linguagem de modelagem GAMS (versão 22.7), e o solver CPLEX (versão 11.0), com parâmetros default. • Todos os experimentos foram realizados em um microcomputador PC Pentium D (3.2 GHz, 2.0 GB).

18. Exemplos gerados aleatoriamente. • Contêineres de dimensões iguais a L = W = H = 10 • 3 destinos diferentes. • Para os modelos com estabilidade, o valor α =1, isto é, a base de todas as caixas devem ter 100% de suporte.

19. Modelo Divisória

20. Modelo Tetris

21. Solução Divisória sem estabilidade Solução Divisória com estabilidade

22. Solução Tetris sem estabilidade Solução Tetris com estabilidade

23. Próximos Passos • Realizar experimentos computacionais adicionais • Incluir alternativas para lidar com “buracos” • Abordagem (na sua versão atual) está limitada a resolver apenas problemas de tamanho bem moderado • Desenvolver procedimentos para resolver problemas mais realistas de carregamento de contêineres.