10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

1. 10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

2. 10.1 Pendahuluan Kombinatorial (combinatoric) adalahcabang matematika yang mempelajaripengaturan objek-objek. Solusi yang ingindiperolehadalahjumlahcara pengaturanobjek-objektertentudidalam himpunannya. Tigacontohberikutdapat memperjelasmasalah yang menyangkut Kombinatorial i) Misalnomor plat mosildinegar X terdiriatas 5 angka yang diikutioleh 5 huruf. Angka pertamatidakboleh 0. Berapabanyaknomor plat mobil yang dapatdibuat?

3. ii) Sandi-lewat (password) sistemkomputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiapkarakter Bolehberupahurufbesarataukecilatauangka. Berapabanyaksandi-lewat yang dapatdibuat? iii) Dari 20 anggotafraksi X di DPR akandibentuk sebuahkomisi yang beranggotakan 65orang. Berapabanyakcaramemilihanggotakomisi Bilaseoranganggota yang bernama A harus termasukdidalamkomisitersebut? Cara konvensional yang dapatditempuhuntuk menyelesaikanpersoalandiatasadalahdengan mengenumerasiseluruhkemungkinanjawaban.

4. Mengenumerasiberartimencacahataumenghitung satu per satusetiapkemungkinanjawaban. Jikajumlahobjeksedikitkitamasihmungkinmelakukanenumerasiterhadapkemungkinanjawaban yang ada. Tapijikaukutanobjeknyabesarmakamelakukanenumerasiterhadapseluruhkemungkinanjawabanmenjaditidakefisien, karenamembutuhkanwaktu yang banyak, ditambahlagikemungkinankesalahanlebihbesar. Untukukuranobjek yang besarkitaperlumenggunakansuatucara yang lebihefisien. Cara tsb. dikenaldengan “Kombinatorial”.

5. 10.2 Percobaan Kombinatorialdidasarkanpadahasil yang diperolehdarisuatupercobaan (experiment). Percobaanadalahprosesfisik yang hasilnyadapatdiamati. Contoh-contohpercobaandanhasilnya. Melempardadu Hasilpercobaan yang mungkindariprosesmelempardaduadalah 6 kemungkinan, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. ii) Melemparkoin Hasilpercobaanmelemparsebuahkoinmenghasilkan 2 kemungkinan, yaitumukaataubelakang.

6. iii) Memilih 5 orangwakildari 100 mahasiswa. Hasil yang diperolehadalahperwakilan yang beranggotakan 5 orangmahasiswa. Kemungkinanperwakilan yang dapatdibentukcukupbesar, sehinggasulituntudilakukanprosesenumerasi. iv) Menyusunjumlahkata yang panjangnya 5 huruf yang dapatdibentukdarihuruf-huruf a, b, c, d, e dantidakbolehadahuruf yang berulang. Hasil yang diperolehadalahuntai (string) yang tersusunatashuruf-huruftersebut, misalnya, abcde, abced, acdeb, …

7. 10.3 Kaidahdasarmenghitung Duabuahkaidahdasarmenghitungdalambidangkombinatorialadalahkaidahperkalian (rule of product) dankaidahpenjumlahan (rule of sum). KaidahPerkalian (Rule of Product) Bilapercobaan 1 mempunyaiphasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilpkemungkinanjawaban), percobaan 2 mempunyaiqhasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilqkemungkinanjawaban), makabilapercobaan 1 dan2 dilakukanakanterdapatpxqhasilpercobaan (menghasilkanpx qkemungkinanjawaban).

8. KaidahPenjumlahan (Rule of Sum) Bilapercobaan 1 mempunyaiphasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilpkemungkinanjawaban), percobaan 2 mempunyaiqhasilpercobaan yang mungkinterjadi (menghasilqkemungkinanjawaban), makabilahanyasatupercobaansaja yang dilakukan ( percobaan 1 ataupercobaan 2), makaterdapatp + qkemungkinanhasilpercobaan (menghasilkanp +qkemungkinanjawaban).

9. Perhatikankatadanpadaaturanperkaliansertakataataupadaaturanpenjumlahan. Keduakatainiadalahkunciuntukmengidentifikasiapakahsuatupersoalanmenghitungdiselesaikandengankaidahperkalianataupenjumlahan. Kaidahperkalianberartimenyatakanbahwakeduapercobaandilakukansecarasimultanatarserentak. Sedangkankaidahpenjumlahankeduapercobandilakukansecxaratidaksimultan. Contohberikutmemperlihatkanpenggunaankaidahperkaliandanpenjumlahanuntukmenghitungpengaturanobjek-objek. Kita harusdapatmenganalisiskapanmenggunakankaidahperkaliandankapanmenggunakankaidahpenjumlahan.

10. Contoh 6. 1 Sebuahrestoranmenyediakan lima jenismakanan, yaitu, nasigoreng, roti, sotoayam, sate, dan sop. Sedangkanminumantersediasusu, kopi, danteh. Jikasetiaporangbolehmemesansatujenismakanan dansatujenisminuman, berapabanyakpasangan makanandanminuman yang dapatdipesan? Penyelesaian: Untukmembantupenyelesaian, kitadapat menggunakan diagram pohonuntukmenentukan jumlahpasanganmakanandanminuman

11. Kemungkinanmakanan danminuman yang dapat dipesanadalah: Nasigorengdansusu Nasigorengdan kopi Nasigorengdanteh Rotidansusu Rotidan kopi Rotidanteh Soto ayamdansusu Soto ayamdan kopi Soto ayamdanteh Sate ayamdansusu Sate ayamdan kopi Sate ayamdanteh Sop ayamdansusu Sop ayamdan kopi Sop ayamdanteh susu susu susu susu susu Nasigoreng kopi kopi kopi kopi kopi teh teh teh teh teh Roti Soto ayam Sate Sop Jumlahpasangan = 15

12. Contoh 6. 2 JabatanKetuaHimpunandptdidudukiolehmahasiswaangkatan 1997 atauangkatan 1998. Jikaterdapat 45 orangmahasiswaangkatan 1997 dan 52 orangmahasiswaangkatan 1998, berapacaramemilihjabatanketuahimpunan? Penyelesaian: Jabatan yang tersediahanyasatu yang dapatdidudukiolehsalahsatumahasiswadarikeduaangkatan. Karenaada 45 mahasiswadariangkatan 1997, berartiada 45 kemungkinanuntukmemilihmahasiswadariangkatantersebut. Sedangkanuntukmemilihsalahsatumahasiswaangkatan 1998 terdapat 52 kemungkinan. Jadijumlahcarauntukmemilihsalahsatudarikeduaangkatantsb. adalah 45 + 52 = 97 cara

13. Contoh 6. 3 Sekelompokmahasiswaterdiridari 4 orangmahasiswadan 3 orangmahasiswi. Berapajumlahcarauntuk memilihseorangmahasiswadanseorangmahasiswidarikelompoktersebut? Penyelesaian: MisalmahasiswaterdiridariA, B, C, danD. MahasiswiterdiridariK, L, danM. Jumlahcarauntukjmemilihseorangmahasiswadanseorangmahasiswiadalah 4 x 3 = 12 cara.

14. Contoh 6. 4 Misalhimpunan A = { a, b, c} danhimpunan B = {1, 2, 3}. Berapabanyakpasanganterurut (ordered pairs) yang dapatdibentukdarianggotahimpunan A dananggotahimpunan B? Penyelesaian: Jumlahpasangan yang dapatdibentukadalah: R = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} atau 3 x 3 = 9 cara

15. 10.4 PerluasanKaidahmenghitung Kaidakperkaliandanpenjumlahandapatdiperluashinggamengandunglebihdariduapercobaan. Jika n buahpercobaanmasing-masingmempunyai p1, p2, … , pn, hasilpercobaan yang mungkinterjadi yang dalamhalini pitidakbergantungpadapilihansebelumnya, makajumlahhasilpercobaan yang mungkinterjadiadalah: p1 x p2 x p1 x p2 x … x pnuntukkaidahperkalian. p1 + p2 + p1 + p2 +…+ pnuntukkaidahpenjumlahan

16. Contoh 6. 5 Jikaterdapat3 pertanyaanyang masing-masingmempunyai2 pilihanjawaban (S atau B), berapakahkemungkinankombinasijawaban yang dapatdibuat? Penyelesian: B B B B S S B S B B S S S S 23 = 8 kemungkinan

17. Contoh 6. 6 Berapabanyakkata yang terdiridari 5 huruf yang dibentukdarihuruf-huruf a, b, c, d, e jikatidakbolehadahuruf yang berulang. b) Berapabanyakkata yang terdiridari 5 huruf yang dibentukdarihuruf-huruf a, b, c, d, e jikapengulanganhurufdiperbolehkan. c) Berapabanyakjumlahkatapada a) yang diawalihuruf a. d) Berapabanyakjumlahkatapada a) yang tidakdiawalihuruf a. Penyelesaian:

19. Penyelesaian: Potongan program mempunyai m buahkalang (loop). Setiapkalangkei (i = 1, 2, 3, …, m) dieksekusisebanyakni kali dandieksekusitidakbersamaan Contoh 6. 7 Berapanilaiksesudah potongan program berikutdieksekusi? k = 0 for p1 = 1 to n1 do k = k + 1 for p2 = 1 to n2 do k = k + 1 for p3 = 1 to n3 do k = k + 1 ⋮ for pm = 1 to nm do k = k + 1 Padasetiapkalangnilai k selaluditambah 1. Kalangpertamamenghasilkan k = n1 Kalangkeduamenghasilkan k = n2 Kalangketigamenghasilkan k = n3 Kalangke-m menghasilkan k = nm Nilai k padaakhir program adalah k = n1 + n2 + n3 + … + nm

20. Contoh 6. 8 Berapanilaiksesudah potongan program berikutdieksekusi? k = 0 for p1 = 1 to n1 do for p2 = 1 to n2 do for p3 = 1 to n3 do k = k + 1 Penyelesaian: Potongan program mempunyai m buahkalang (loop) bersarang (nested). Setiapkalangkei (i = 1, 2, 3) dieksekusisebanyakni kali dandieksekusisecarabersamaan Padaakhirkalangketiga, nilai k menjadi n3. Padaakhirkalangkedua, nilai k menjadi atau n3 . n2 Padaakhirkalangpertama, nilai k menjadi atau n3 . n2 . n1

21. 10.5 PrinsipInklusi-Ekslusi Teorema Misal A1 , A2 , … Anadalahhimpunanberhingga, maka:

22. n = 2 • |A1⋃ A2| = |A1| + |A2| – |A1⋂ A2| S A2 A1

23. n = 3 • |A1⋃ A2 ⋃ A3 | = |A1| + |A2| + |A3| – |A1⋂ A2| – |A1⋂ A3| – |A2⋂ A3| + |A1⋂ A2 ⋂ A3| S A1 A2 A3

24. n = 4 • |A1⋃ A2 ⋃ A3⋃ A4 | = |A1| + |A2| + |A3| – |A1⋂ A2| • – |A1⋂ A2⋂ A3| – |A1⋂ A2⋂ A4| – |A1⋂ A3⋂ A4| – |A2⋂ A3⋂ A4| • + |A1⋂ A2 ⋂ A3⋂ A3| A1 S A2 A3 A4

25. Contoh 6.9 Tentukanbanyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 yang dapatdibagi 3 atau 8. Penyelesaian: Banyakbilangan = S = 155 – 71 + 1 = 85 Misal : |A| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi3 |B| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi8 |A⋂B| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi3 dan 8 |A⋃B| = banyakbilanganmulaidari 71 sampaidengan 155 habisdibagi3 atau 8

26. Ingat!

27. S B A 24 4 7 50

28. 10.6 Permutasi