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FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES. Tema 9. FUNCIÓN CÚBICA. Tema 9.3 * 1º BCS. FUNCIÓN CÚBICA. Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así: f(x) = a.x 3 + b.x 2 + c.x + d

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  1. FUNCIONES ELEMENTALES Tema 9 Matemáticas Aplicadas CS I

  2. FUNCIÓN CÚBICA Tema 9.3 * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I

  3. FUNCIÓN CÚBICA • Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así: • f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d • Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”. • La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es que su forma de expresión algebraica es un polinomio. • Para representarla de forma gráfica, por ahora, estudiaremos de ella principalmente los puntos de corte con los ejes y el signo de la función. Matemáticas Aplicadas CS I

  4. y 27 • Sea y = x3 • Tabla de valores • x y • -3 -27 • -2 -8 • -1 -1 • 0 0 • 1 1 • 2 8 • 3 27 8 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -8 Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”. -27 Matemáticas Aplicadas CS I

  5. Dominio, imagen y simetría. • DOMINIO • Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d • Todo valor de x tiene su correspondiente imagen. • El dominio de f(x) será: Dom f(x) = R • RECORRIDO • La imagen de una función cúbica, al igual que el dominio es R • Se designa así: Img f(x) = R • SIMETRÍA IMPAR • Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d • Veamos si hay simetría impar: • f(-x) = a.(-x)3 + b.(-x)2 + c.(-x) + d • f(-x) = - a.x3 + b.x2 – c.x + d • Luego - f(-x) = a.x3 - b.x2 + c.x - d • En las funciones cúbicas habrá simetría IMPAR si b=d=0 Matemáticas Aplicadas CS I

  6. Cortes con los ejes • Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d • CORTES CON EL EJE Y • Cortará al eje de ordenadas, Y, cuando x=0 • Luego: y = a.03 + b.02 + c.0 + d = d • El punto de corte será: Pc = (0, d) • CORTES CON EL EJE X • Cortará al eje de las x cuando y=0 • Luego: 0=a.x3 + b.x2 + c.x + d  Ecuación de tercer grado. • Las tres raíces de la ecuación, si existen, serán los puntos de corte de la función con el eje de las x. • Al menos habrá una raíz real, y por tanto un punto de corte. • Cortes: Pc = (x1, 0), Pc = (x2, 0), Pc = (x3, 0) Y X Pc Pc Pc Pc V Matemáticas Aplicadas CS I

  7. Ejemplo 1 • Sea la función: f(x) = x3 –3x + 2 • Cortes con ejes de coordenadas: • Con OY: f(0) = 2  Pc(0,2) • Con OX: 0 = x3 –3x + 2 • Factorizando por Ruffini: • f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1) • Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) • Signo de la función (intervalos): • En (-oo, -2)  f(-3)=-27+9+2 =-16 < 0 • En (-2, 1)  f(0) = 0 – 0 +2 =2 > 0 • En (1, +oo)  f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 > 0 • Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc Pc Pc Matemáticas Aplicadas CS I

  8. Ejemplo 2 • Sea la función f(x) = - x3 + 4x • Cortes con ejes de coordenadas: • Con OY: f(0) = 0  Pc(0,0) • Con OX: 0 = - x3 + 4x • Factorizando el polinomio: • f(x) = – x (x2 – 4) = – x.(x + 2)(x – 2) • Pc(0,0) , Pc(-2, 0), Pc(2, 0) • Signo de la función (intervalos): • En (-oo, -2)  f(-3)= -(-27)-12 = 15 > 0 • En (-2, 0)  f(-1) = -(-1) – 4 = -3 < 0 • En (0, 2)  f(1) = -1 + 4 = 3 > 0 • En (2, +oo)  f(3) = - 27 + 12 = -15 < 0 • Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc Pc Pc Matemáticas Aplicadas CS I

  9. Pc • Ejemplo 3 • Sea la función: f(x) = 8 – x3 • Cortes con ejes de coordenadas: • Con OY: f(0) = 8  Pc(0,8) • Con OX: 0 = 8 – x3 • Factorizando por Ruffini: • f(x) = (x – 2).(– x2 – 2.x – 4) • Pc(2, 0) • Signo de la función (intervalos): • En (-oo, 2)  f(0) = 8 > 0 POSITIVO • En (2, +oo)  f(3) = 8 – 27 = – 19 < 0 NEGATIVO • Y ya podemos hacer un esbozo de la función. Pc Matemáticas Aplicadas CS I

  10. FUNCIÓN POLINÓMICA • EJEMPLO DE FUNCIÓN POLINÓMICA DE ORDEN CUATRO • Representar la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2 • CORTES CON LOS EJES • Puntos de corte con los ejes. • Con OY  x = 0  y = 0  Pc (0,0) • Con OX  y = 0  (1/4).x4 – 2.x2 = 0 • Sacando factor común a x2 • x2 [ (1/4).x 2 – 2 ]= 0 • x2 = 0  x=0  Pc(0, 0) • (1/4).x 2 – 2 = 0  x 2 = 8  x = ± 2√2 • Luego los otros dos puntos de corte son: Pc ( - 2√2 , 0) y Pc ( + 2√2, 0) • Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden. Matemáticas Aplicadas CS I

  11. Ejemplo 1 Signo de la función • Tenemos la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2 • Factorizada queda: • y = (1/4).x2.(x2 – 8) • y = (1/4).x2.(x– √8)(x + √8) • y = (1/4).x2.(x– 2√2)(x + 2√2) • Se halla el signo de cada factor: - oo – 2√2 0 2√2 +oo ( x + 2√2 ) - + + + + + + + (1/4).x2 - - - + ( x – 2√2 ) f(x) + - - + Matemáticas Aplicadas CS I

  12. Tendencia y Simetría • TENDENCIA O RAMAS ASINTÓTICAS • Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(- oo)4 – 2.(- oo)2 = + oo • x  - oo • Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(oo)4 – 2.(oo)2 = + oo • x  + oo • SIMETRÍAS • f ( - x) = (1/4).(-x)4 – 2.(-x)2 = (1/4).x4 – 2.x2 • Vemos que presenta simetría par, pues f (x) = f ( - x) • Al tener simetría par (es función par) No puede tener simetría impar. Matemáticas Aplicadas CS I

  13. Sea la función: • y = (1/4).x4 – 2.x2 • Tabla de valores • x y • -3 2 • -2√2 0 • -2 - 4 • -1 -1,75 • 0 0 • 1 -1,75 • 2 - 4 • 2√2 0 • 3 2 y -3 -2 -1 0 1 2 3 x Matemáticas Aplicadas CS I

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